1、第22练平面向量中的线性问题题型一平面向量的线性运算例1如图,正方形ABCD中,点E是DC的中点,点F是BC的一个三等分点,那么等于()A.B.C.D.破题切入点顺次连接,选好基底答案D解析在CEF中,有.因为点E为DC的中点,所以.因为点F为BC的一个三等分点,所以.所以,故选D.题型二平面向量基本定理及其应用例2如图,在平行四边形ABCD中,M,N分别为DC,BC的中点,已知c,d,试用c,d表示,.破题切入点利用平面向量基本定理,用基底表示其余向量解在ADM中,c.在ABN中,d.由得(2dc),(2cd)题型三平面向量的坐标运算例3平面内给定三个向量a(3,2),b(1,2),c(4,
2、1)(1)求满足ambnc的实数m,n;(2)若(akc)(2ba),求实数k;(3)若d满足(dc)(ab),且|dc|,求d.破题切入点向量坐标表示下的线性运算解(1)由题意得(3,2)m(1,2)n(4,1),所以得(2)akc(34k,2k),2ba(5,2),由题意得2(34k)(5)(2k)0,解得k.(3)设d(x,y),则dc(x4,y1),ab(2,4)由题意得得或d(3,1)或(5,3)总结提高(1)平面向量的性线运算主要包括加减运算和数乘运算,正确把握三角形法则和多边形法则,准确理解数与向量乘法的定义,这是解决向量共线问题的基础(2)对于平面向量的线性运算问题,要注意其与
3、数的运算法则的共性与不同,两者不能混淆,如向量的加法与减法要注意向量的起点和终点的确定,灵活利用三角形法则、平行四边形法则同时抓住两条主线:一是基于“形”,通过作出向量,结合图形分析;二是基于“数”,借助坐标运算来实现1已知点A(1,3),B(4,1),则与向量同方向的单位向量为()A(,) B(,)C(,) D(,)答案A解析由题意知(3,4),所以与同方向的单位向量为(,)2(2014课标全国)设D,E,F分别为ABC的三边BC,CA,AB的中点,则等于()A. B.C. D.答案C解析如图,()2.3(2014天津)已知菱形ABCD的边长为2,BAD120,点E,F分别在边BC,DC上,
4、BEBC,DFDC.若1,则等于()A. B.C. D.答案C解析,()()22()4422()24()21.2().(1)(1)(1)22()(1)2()1,()1,即().由解得.4(2014福建)设M为平行四边形ABCD对角线的交点,O为平行四边形ABCD所在平面内任意一点,则等于()A. B2C3 D4答案D解析因为点M为平行四边形ABCD对角线的交点,所以点M是AC和BD的中点,由平行四边形法则知2,2,故4.5.如图,平面内有三个向量,其中与的夹角为120,与的夹角为30,且|2,|,|2,若(,R),则()A4,2 B,C2, D,答案C解析设与,同方向的单位向量分别为a,b,依
5、题意有4a2b,又2a,b,则2,所以2,.6如图所示,在ABC中,点O是BC的中点,过点O的直线分别交直线AB,AC于不同的两点M,N,若m,n (m,n0),则的最小值为()A2 B4C. D9答案C解析.同理,M,O,N三点共线,故,即0,由于,不共线,根据平面向量基本定理得0且0,消掉即得mn2,故(mn)(54).7(2013江苏)设D,E分别是ABC的边AB,BC上的点,ADAB,BEBC.若12(1,2为实数),则12的值为_答案解析如图,(),则1,2,12.8(2013四川)在平行四边形ABCD中,对角线AC与BD交于点O,则_.答案2解析由于ABCD为平行四边形,对角线AC
6、与BD交于点O,2,2.9(2014北京)已知向量a,b满足|a|1,b(2,1),且ab0(R),则|_.答案解析ab0,ab,|a|b|b|,|a|.又|a|1,|.10在平面内,已知|1,|,0,AOC30,设mn(m,nR),则_.答案3解析因为AOC30,所以,30.因为mn,0,所以|2(mn)2m2|2n2|2m23n2,即|.又(mn)m2m,则|cos 30m,即1m,平方得m29n2,即9,所以3.11已知非零向量e1,e2不共线(1)如果e1e2,2e18e2,3(e1e2),求证:A、B、D三点共线;(2)欲使ke1e2和e1ke2共线,试确定实数k的值(1)证明e1e
7、2,2e18e23e13e25(e1e2)5,与共线,且有公共点B,A、B、D三点共线(2)解ke1e2与e1ke2共线,存在,使ke1e2(e1ke2),则(k)e1(k1)e2.由于e1与e2不共线,只能有k1.12已知点O为坐标原点,A(0,2),B(4,6),t1t2.(1)求点M在第二或第三象限的充要条件;(2)求证:当t11时,不论t2为何实数,A、B、M三点都共线;(3)若t1a2,求当且ABM的面积为12时a的值(1)解t1t2t1(0,2)t2(4,4)(4t2,2t14t2)当点M在第二或第三象限时,有故所求的充要条件为t20且t12t20.(2)证明当t11时,由(1)知(4t2,4t22)(4,4),(4t2,4t2)t2(4,4)t2,不论t2为何实数,A、B、M三点共线(3)解当t1a2时,(4t2,4t22a2)又(4,4),4t24(4t22a2)40,t2a2,故(a2,a2)又|4,点M到直线AB:xy20的距离d|a21|.SABM12,|AB|d4|a21|12,解得a2,故所求a的值为2.