1、第22练平面向量中的线性问题题型一平面向量的线性运算例1如图，正方形ABCD中，点E是DC的中点，点F是BC的一个三等分点，那么等于()A.B.C.D.破题切入点顺次连接，选好基底答案D解析在CEF中，有.因为点E为DC的中点，所以.因为点F为BC的一个三等分点，所以.所以，故选D.题型二平面向量基本定理及其应用例2如图，在平行四边形ABCD中，M，N分别为DC，BC的中点，已知c，d，试用c，d表示，.破题切入点利用平面向量基本定理，用基底表示其余向量解在ADM中，c.在ABN中，d.由得(2dc)，(2cd)题型三平面向量的坐标运算例3平面内给定三个向量a(3,2)，b(1,2)，c(4,
2、1)(1)求满足ambnc的实数m，n；(2)若(akc)(2ba)，求实数k；(3)若d满足(dc)(ab)，且|dc|，求d.破题切入点向量坐标表示下的线性运算解(1)由题意得(3,2)m(1,2)n(4,1)，所以得(2)akc(34k,2k)，2ba(5,2)，由题意得2(34k)(5)(2k)0，解得k.(3)设d(x，y)，则dc(x4，y1)，ab(2,4)由题意得得或d(3，1)或(5,3)总结提高(1)平面向量的性线运算主要包括加减运算和数乘运算，正确把握三角形法则和多边形法则，准确理解数与向量乘法的定义，这是解决向量共线问题的基础(2)对于平面向量的线性运算问题，要注意其与
3、数的运算法则的共性与不同，两者不能混淆，如向量的加法与减法要注意向量的起点和终点的确定，灵活利用三角形法则、平行四边形法则同时抓住两条主线：一是基于“形”，通过作出向量，结合图形分析；二是基于“数”，借助坐标运算来实现1已知点A(1,3)，B(4，1)，则与向量同方向的单位向量为()A(，) B(，)C(，) D(，)答案A解析由题意知(3，4)，所以与同方向的单位向量为(，)2(2014课标全国)设D，E，F分别为ABC的三边BC，CA，AB的中点，则等于()A. B.C. D.答案C解析如图，()2.3(2014天津)已知菱形ABCD的边长为2，BAD120，点E，F分别在边BC，DC上，
4、BEBC，DFDC.若1，则等于()A. B.C. D.答案C解析，()()22()4422()24()21.2().(1)(1)(1)22()(1)2()1，()1，即().由解得.4(2014福建)设M为平行四边形ABCD对角线的交点，O为平行四边形ABCD所在平面内任意一点，则等于()A. B2C3 D4答案D解析因为点M为平行四边形ABCD对角线的交点，所以点M是AC和BD的中点，由平行四边形法则知2，2，故4.5.如图，平面内有三个向量，其中与的夹角为120，与的夹角为30，且|2，|，|2，若(，R)，则()A4，2 B，C2， D，答案C解析设与，同方向的单位向量分别为a，b，依
5、题意有4a2b，又2a，b，则2，所以2，.6如图所示，在ABC中，点O是BC的中点，过点O的直线分别交直线AB，AC于不同的两点M，N，若m，n (m，n0)，则的最小值为()A2 B4C. D9答案C解析.同理，M，O，N三点共线，故，即0，由于，不共线，根据平面向量基本定理得0且0，消掉即得mn2，故(mn)(54).7(2013江苏)设D，E分别是ABC的边AB，BC上的点，ADAB，BEBC.若12(1，2为实数)，则12的值为_答案解析如图，()，则1，2，12.8(2013四川)在平行四边形ABCD中，对角线AC与BD交于点O，则_.答案2解析由于ABCD为平行四边形，对角线AC
6、与BD交于点O，2，2.9(2014北京)已知向量a，b满足|a|1，b(2,1)，且ab0(R)，则|_.答案解析ab0，ab，|a|b|b|，|a|.又|a|1，|.10在平面内，已知|1，|，0，AOC30，设mn(m，nR)，则_.答案3解析因为AOC30，所以，30.因为mn，0，所以|2(mn)2m2|2n2|2m23n2，即|.又(mn)m2m，则|cos 30m，即1m，平方得m29n2，即9，所以3.11已知非零向量e1，e2不共线(1)如果e1e2，2e18e2，3(e1e2)，求证：A、B、D三点共线；(2)欲使ke1e2和e1ke2共线，试确定实数k的值(1)证明e1e
7、2，2e18e23e13e25(e1e2)5，与共线，且有公共点B，A、B、D三点共线(2)解ke1e2与e1ke2共线，存在，使ke1e2(e1ke2)，则(k)e1(k1)e2.由于e1与e2不共线，只能有k1.12已知点O为坐标原点，A(0,2)，B(4,6)，t1t2.(1)求点M在第二或第三象限的充要条件；(2)求证：当t11时，不论t2为何实数，A、B、M三点都共线；(3)若t1a2，求当且ABM的面积为12时a的值(1)解t1t2t1(0,2)t2(4,4)(4t2,2t14t2)当点M在第二或第三象限时，有故所求的充要条件为t20且t12t20.(2)证明当t11时，由(1)知(4t2,4t22)(4,4)，(4t2,4t2)t2(4,4)t2，不论t2为何实数，A、B、M三点共线(3)解当t1a2时，(4t2,4t22a2)又(4,4)，4t24(4t22a2)40，t2a2，故(a2，a2)又|4，点M到直线AB：xy20的距离d|a21|.SABM12，|AB|d4|a21|12，解得a2，故所求a的值为2.