1、24平面向量的数量积24.1平面向量数量积的物理背景及其含义教材研读预习课本P103105,思考以下问题1怎样定义向量的数量积?向量的数量积与向量数乘相同吗?2向量b在a方向上的投影怎么计算?数量积的几何意义是什么?3向量数量积的性质有哪些?4向量数量积的运算律有哪些?要点梳理1向量的数量积的定义(1)两个非零向量的数量积已知条件向量a,b是非零向量,它们的夹角为定义a与b的数量积(或内积)是数量|a|b|cos记法ab|a|b|cos(2)零向量与任一向量的数量积规定:零向量与任一向量的数量积均为0.2向量的数量积的几何意义(1)投影的概念向量b在a的方向上的投影为|b|cos.向量a在b的
2、方向上的投影为|a|cos.(2)数量积的几何意义数量积ab等于a的长度|a|与b在a的方向上的投影|b|cos的乘积3向量数量积的性质设a与b都是非零向量,为a与b的夹角(1)abab0.(2)当a与b同向时,ab|a|b|.当a与b反向时,ab|a|b|.(3)aa|a|2或|a|.(4)cos.(5)|ab|a|b|.4向量数量积的运算律(1)abba(交换律)(2)(a)b(ab)a(b)(结合律)(3)(ab)cacbc(分配律)自我诊断判断(正确的打“”,错误的打“”)1两个向量的数量积仍然是向量()2若ab0,则a0或b0.()3若a与b的夹角为,则cos0ab0.()4若abb
3、c,则ac.()答案1.2.3.4.思考:要求ab,需要知道哪些量?提示:需要知道|a|,|b|及cos. 已知|a|4,|b|5,当(1)ab;(2)ab;(3)a与b的夹角为30时,分别求a与b的数量积. 思路导引利用数量积的定义求解解(1)ab,若a与b同向,则0,ab|a|b|cos04520;若a与b反向,则180,ab|a|b|cos18045(1)20.(2)当ab时,90,ab|a|b|cos900.(3)当a与b的夹角为30时,ab|a|b|cos304510.求平面向量数量积的步骤是:(1)求a与b的夹角,0,180;分别求|a|和|b|;(3)求数量积,即ab|a|b|c
4、os,要特别注意书写时a与b之间用实心圆点“”连结,而不能用“”连结,也不能省去跟踪训练已知|a|4,|b|7,且向量a与b的夹角为120,求(2a3b)(3a2b)解(2a3b)(3a2b)6a24ab9ba6b26|a|25ab6|b|2642547cos120672268.思考:如何求向量的模?提示:|a|. (1)已知e1,e2是平面单位向量,且e1e2.若平面向量b满足be1be21,则|b|_.(2)已知向量a,b的夹角为45,且|a|1,|2ab|,则|b|_.解析(1)令e1与e2的夹角为,e1e2|e1|e2|coscos.又0180,60.b(e1e2)0,b与e1,e2的
5、夹角均为30,be1|b|e1|cos301,从而|b|.(2)a,b的夹角为45,|a|1,ab|a|b|cos45|b|,|2ab|244|b|b|210,|b|3.答案(1)(2)3求向量的模的常见思路及方法(1)求模问题一般转化为求模的平方,与向量数量积联系,并灵活应用a2|a|2,勿忘记开方(2)aaa2|a|2或|a|,可以实现实数运算与向量运算的相互转化跟踪训练(1)已知非零向量a2b2c,|b|c|1,若a与b的夹角为,则|a|_;(2)已知向量a、b满足|a|2,|b|3,|ab|4,则|ab|_.解析(1)由于cab,所以c2|a|2|b|22|a|b|,整理得|a|22|
6、a|0,所以|a|2或|a|0(舍去)(2)由已知,|ab|4,|ab|242,a22abb216.(*)|a|2,|b|3,a2|a|24,b2|b|29,代入(*)式得42ab916,即2ab3.又|ab|2(ab)2a22abb243910,|ab|.答案(1)2(2)题型三向量的夹角和垂直问题思考1:已知向量a与b,如何求a与b的夹角?提示:利用cos,求出cos,然后借助0,求.思考2:当向量ab时有ab0,反之成立吗?提示:不成立ab0,有可能a0或b0. 设n和m是两个单位向量,其夹角是60,求向量a2mn与b2n3m的夹角思路导引先求a、b的模,再求a与b的数量积,代入夹角公式
7、解|n|m|1且m与n夹角是60,mn|m|n|cos6011.|a|2mn| ,|b|2n3m| ,ab(2mn)(2n3m)mn6m22n26121.设a与b的夹角为,则cos.又0,故a与b的夹角为.变式若将本例中m与n的夹角改为90,求向量a2mn与b2n3m夹角的余弦值解由题意知mn0,|a|2mn|,|b|2n3m|,而ab(2mn)(2n3m)mn6m22n24设向量a与向量b夹角为,cos.求向量夹角时,应先根据公式把涉及到的量先计算出来再代入公式求角,注意向量夹角的范围是0,跟踪训练已知|a|5,|b|4,且a与b的夹角为60,则当k为何值时,向量kab与a2b垂直?解要想(
8、kab)(a2b),则需(kab)(a2b)0,即k|a|2(2k1)ab2|b|20,52k(2k1)54cos602420,解得k,即当k时,向量kab与a2b垂直课堂归纳小结1.本节课的重点是向量数量积的定义以及向量数量积的性质、运算律,难点是向量数量积的几何意义2要掌握与数量积相关的三个问题(1)向量数量积的运算,见典例1;(2)向量的模,见典例2;(3)向量的夹角和垂直问题,见典例3.3要注意区分向量数量积与实数运算的区别(1)在实数运算中,若ab0,则a与b中至少有一个为0.而在向量数量积的运算中,不能从ab0推出a0或b0.实际上由ab0可推出以下四种结论:a0,b0;a0,b0
9、,a0,b0;a0,b0,但ab.(2)在实数运算中,若a,bR,则|ab|a|b|,但对于向量a,b,却有|ab|a|b|,当且仅当ab时等号成立这是因为|ab|a|b|cos|,而|cos|1.(3)实数运算满足消去律:若bcca,c0,则有ba.在向量数量积的运算中,若abac(a0),则向量c,b在向量a方向上的投影相同,因此由abac(a0)不能得到bc.(4)实数运算满足乘法结合律,但向量数量积的运算不满足乘法结合律,即(ab)c不一定等于a(bc),这是由于(ab)c表示一个与c共线的向量,而a(bc)表示一个与a共线的向量,而c与a不一定共线.1已知向量a,b和实数,下列选项中
10、错误的是()A|a|2a2 B|ab|a|b|C(ab)ab D|ab|a|b|解析|ab|a|b|cos|,选B.答案B2已知|a|,|b|2,ab3,则a与b的夹角是()A150 B120 C60 D30解析cos,而0,180,120.答案B3已知平面向量a,b满足|a|3,|b|2,a与b的夹角为60,若(amb)a,则实数m的值为()A1 B0 C2 D3解析(amb)a,(amb)a0,即a2mba0,|a|2m|a|b|cos600,32m230,m3.答案D4已知|a|b|2,a与b的夹角为,则b在a上的投影为_解析b在a方向上的投影为|b|cos21.答案15已知|a|b|5,向量a与b的夹角为,则|ab|_,|ab|_.解析|ab| 5.|ab|5.答案55