1、24平面向量的数量积24.1平面向量数量积的物理背景及其含义教材研读预习课本P103105，思考以下问题1怎样定义向量的数量积？向量的数量积与向量数乘相同吗？2向量b在a方向上的投影怎么计算？数量积的几何意义是什么？3向量数量积的性质有哪些？4向量数量积的运算律有哪些？要点梳理1向量的数量积的定义(1)两个非零向量的数量积已知条件向量a，b是非零向量，它们的夹角为定义a与b的数量积(或内积)是数量|a|b|cos记法ab|a|b|cos(2)零向量与任一向量的数量积规定：零向量与任一向量的数量积均为0.2向量的数量积的几何意义(1)投影的概念向量b在a的方向上的投影为|b|cos.向量a在b的
2、方向上的投影为|a|cos.(2)数量积的几何意义数量积ab等于a的长度|a|与b在a的方向上的投影|b|cos的乘积3向量数量积的性质设a与b都是非零向量，为a与b的夹角(1)abab0.(2)当a与b同向时，ab|a|b|.当a与b反向时，ab|a|b|.(3)aa|a|2或|a|.(4)cos.(5)|ab|a|b|.4向量数量积的运算律(1)abba(交换律)(2)(a)b(ab)a(b)(结合律)(3)(ab)cacbc(分配律)自我诊断判断(正确的打“”，错误的打“”)1两个向量的数量积仍然是向量()2若ab0，则a0或b0.()3若a与b的夹角为，则cos0ab0.()4若abb
3、c，则ac.()答案1.2.3.4.思考：要求ab，需要知道哪些量？提示：需要知道|a|，|b|及cos. 已知|a|4，|b|5，当(1)ab；(2)ab；(3)a与b的夹角为30时，分别求a与b的数量积. 思路导引利用数量积的定义求解解(1)ab，若a与b同向，则0，ab|a|b|cos04520；若a与b反向，则180，ab|a|b|cos18045(1)20.(2)当ab时，90，ab|a|b|cos900.(3)当a与b的夹角为30时，ab|a|b|cos304510.求平面向量数量积的步骤是：(1)求a与b的夹角，0，180；分别求|a|和|b|；(3)求数量积，即ab|a|b|c
4、os，要特别注意书写时a与b之间用实心圆点“”连结，而不能用“”连结，也不能省去跟踪训练已知|a|4，|b|7，且向量a与b的夹角为120，求(2a3b)(3a2b)解(2a3b)(3a2b)6a24ab9ba6b26|a|25ab6|b|2642547cos120672268.思考：如何求向量的模？提示：|a|. (1)已知e1，e2是平面单位向量，且e1e2.若平面向量b满足be1be21，则|b|_.(2)已知向量a，b的夹角为45，且|a|1，|2ab|，则|b|_.解析(1)令e1与e2的夹角为，e1e2|e1|e2|coscos.又0180，60.b(e1e2)0，b与e1，e2的
5、夹角均为30，be1|b|e1|cos301，从而|b|.(2)a，b的夹角为45，|a|1，ab|a|b|cos45|b|，|2ab|244|b|b|210，|b|3.答案(1)(2)3求向量的模的常见思路及方法(1)求模问题一般转化为求模的平方，与向量数量积联系，并灵活应用a2|a|2，勿忘记开方(2)aaa2|a|2或|a|，可以实现实数运算与向量运算的相互转化跟踪训练(1)已知非零向量a2b2c，|b|c|1，若a与b的夹角为，则|a|_；(2)已知向量a、b满足|a|2，|b|3，|ab|4，则|ab|_.解析(1)由于cab，所以c2|a|2|b|22|a|b|，整理得|a|22|
6、a|0，所以|a|2或|a|0(舍去)(2)由已知，|ab|4，|ab|242，a22abb216.(*)|a|2，|b|3，a2|a|24，b2|b|29，代入(*)式得42ab916，即2ab3.又|ab|2(ab)2a22abb243910，|ab|.答案(1)2(2)题型三向量的夹角和垂直问题思考1：已知向量a与b，如何求a与b的夹角？提示：利用cos，求出cos，然后借助0，求.思考2：当向量ab时有ab0，反之成立吗？提示：不成立ab0，有可能a0或b0. 设n和m是两个单位向量，其夹角是60，求向量a2mn与b2n3m的夹角思路导引先求a、b的模，再求a与b的数量积，代入夹角公式
7、解|n|m|1且m与n夹角是60，mn|m|n|cos6011.|a|2mn| ，|b|2n3m| ，ab(2mn)(2n3m)mn6m22n26121.设a与b的夹角为，则cos.又0，故a与b的夹角为.变式若将本例中m与n的夹角改为90，求向量a2mn与b2n3m夹角的余弦值解由题意知mn0，|a|2mn|，|b|2n3m|，而ab(2mn)(2n3m)mn6m22n24设向量a与向量b夹角为，cos.求向量夹角时，应先根据公式把涉及到的量先计算出来再代入公式求角，注意向量夹角的范围是0，跟踪训练已知|a|5，|b|4，且a与b的夹角为60，则当k为何值时，向量kab与a2b垂直？解要想(
8、kab)(a2b)，则需(kab)(a2b)0，即k|a|2(2k1)ab2|b|20，52k(2k1)54cos602420，解得k，即当k时，向量kab与a2b垂直课堂归纳小结1.本节课的重点是向量数量积的定义以及向量数量积的性质、运算律，难点是向量数量积的几何意义2要掌握与数量积相关的三个问题(1)向量数量积的运算，见典例1；(2)向量的模，见典例2；(3)向量的夹角和垂直问题，见典例3.3要注意区分向量数量积与实数运算的区别(1)在实数运算中，若ab0，则a与b中至少有一个为0.而在向量数量积的运算中，不能从ab0推出a0或b0.实际上由ab0可推出以下四种结论：a0，b0；a0，b0
9、，a0，b0；a0，b0，但ab.(2)在实数运算中，若a，bR，则|ab|a|b|，但对于向量a，b，却有|ab|a|b|，当且仅当ab时等号成立这是因为|ab|a|b|cos|，而|cos|1.(3)实数运算满足消去律：若bcca，c0，则有ba.在向量数量积的运算中，若abac(a0)，则向量c，b在向量a方向上的投影相同，因此由abac(a0)不能得到bc.(4)实数运算满足乘法结合律，但向量数量积的运算不满足乘法结合律，即(ab)c不一定等于a(bc)，这是由于(ab)c表示一个与c共线的向量，而a(bc)表示一个与a共线的向量，而c与a不一定共线.1已知向量a，b和实数，下列选项中
10、错误的是()A|a|2a2 B|ab|a|b|C(ab)ab D|ab|a|b|解析|ab|a|b|cos|，选B.答案B2已知|a|，|b|2，ab3，则a与b的夹角是()A150 B120 C60 D30解析cos，而0，180，120.答案B3已知平面向量a，b满足|a|3，|b|2，a与b的夹角为60，若(amb)a，则实数m的值为()A1 B0 C2 D3解析(amb)a，(amb)a0，即a2mba0，|a|2m|a|b|cos600，32m230，m3.答案D4已知|a|b|2，a与b的夹角为，则b在a上的投影为_解析b在a方向上的投影为|b|cos21.答案15已知|a|b|5，向量a与b的夹角为，则|ab|_，|ab|_.解析|ab| 5.|ab|5.答案55