1、考点十 三角恒等变换与解三角形 第一部分 刷考点A卷 一、选择题1(2019全国卷)已知 0，2，2sin2cos21，则 sin()A15B 55C 33D2 55答案 B解析 由 2sin2cos21，得 4sincos2cos2.又0，2，tan12，sin 55.故选 B.2(2019辽宁丹东质量测试二)若 tan4 3，则 sin2cos2()A35B25C1D3答案 A解析 因为 tan4 3tantan41tantan43tan2，所以 sin2cos2sin2cos2sin2cos22sincoscos2sin2cos22tan11tan235，故选 A.3(2019湖北 4
2、月调研)已知 3sinxcosx 22，则 cosx3()A12B 24C 23D34答案 B解析 由 3sinxcosx 22，得 2sinx6 22，所以 cosx3 sinx6 24，故选 B.4(2019山西吕梁阶段性测试一)已知ABC 的三个内角 A，B，C 所对的边长分别为 a，b，c，若 2cosBac，则该三角形一定是()A等腰三角形B直角三角形C等边三角形D等腰直角三角形答案 A解析 由 2cosBac得 2a2c2b22acac，即 c2b2，bc，ABC为等腰三角形，故选 A.5(2019湖南湘东五校联考)已知 sin()12，sin()13，则 log 5tantan2
3、 等于()A2B3C4D5答案 C解析 因为 sin()12，sin()13，所以 sincoscossin12，sincoscossin13，所以 sincos 512，cossin 112，所以tantan5，所以 log5tantan2log5524.故选 C.6如果等腰三角形的周长是底边长的 5 倍，那么它的顶角的余弦值为()A 518B34C 32D78答案 D解析 根据题意可设此三角形的三边长分别为 2t,2t，t，由余弦定理得它的顶角的余弦值为2t22t2t222t2t78.7在ABC 中，角 A，B，C 的对边分别是 a，b，c，若 a，b，c 成等比数列，且 a2c2acbc
4、，则cbsinB()A 32B2 33C 33D 3答案 B解析 由 a，b，c 成等比数列得 b2ac，则有 a2c2b2bc，由余弦定理得 cosAb2c2a22bc bc2bc12，故 A3，对于 b2ac，由正弦定理得，sin2BsinAsinC 32 sinC，由正弦定理得，cbsinBsinCsin2B sinC32 sinC2 33.8(2019山东栖霞模拟)设锐角三角形 ABC 的内角 A，B，C 所对的边分别为 a，b，c，若 a2，B2A，则 b 的取值范围为()A(0,4)B(2,2 3)C(2 2，2 3)D(2 2，4)答案 C解析 a2，B2A，02A2，AB3A，
5、23A，6A3，又 0A4，22 cosA 32，由正弦定理得ba12b2cosA，即 b4cosA，2 24cosA2 3，则 b 的取值范围为(2 2，2 3)，故选 C.二、填空题9(2019吉林联合模拟一)已知 sin10mcos102cos40，则 m_.答案 3解析 由 sin10mcos102cos40得 sin10mcos102cos(1030)232 cos1012sin10，所以 m 3.10(2019江西景德镇第二次质检)公元前 6 世纪，古希腊的毕达哥拉斯学派通过研究正五边形和正十边形的作图，发现了黄金分割值约为 0.618，这一数值也可以表示为 m2sin18.若 m
6、2n4，则m nsin63 _.答案 2 2解析 因为 m2sin18，m2n4，所以 n4m244sin2184cos218，所以m nsin63 2sin182cos18sin632 2sin1845sin632 2.11(2019河南八市重点高中模拟)已知点(3，a)和(2a,4)分别在角 和角45的终边上，则实数 a 的值是_答案 6解析 由题得 tana3，tan(45)tan11tana311a3 42a，所以 a25a60，解得 a6 或1，当 a1 时，两个点分别在第四象限和第二象限，不符合题意，舍去，所以 a6.12(2019华南师大附中一模)在ABC 中，a，b，c 为A，
7、B，C的对边，a，b，c 成等比数列，ac3，cosB34，则ABBC_.答案 32解析 因为 a，b，c 成等比数列，所以 b2ac.又因为 ac3，cosB34.根据余弦定理得b2a2c22accosB(ac)22ac2accosB，所以 ac322ac32ac，解得 ac2，所以ABBCcacos(B)accosB23432.三、解答题13(2019河北保定二模)已知ABC 中，A4，cosB35，AC8.(1)求ABC 的面积；(2)求 AB 边上的中线 CD 的长解(1)cosB35，且 B(0，)，sinB 1cos2B45，sinCsin(AB)sin(AB)sinAcosBco
8、sAsinB 22 35 22457 210，在ABC 中，由正弦定理，得 ACsinB ABsinC，即845 AB7 210，解得 AB7 2.ABC 的面积为 S12ABACsinA127 28 22 28.(2)解法一：在ACD 中，AD7 22，由余弦定理得 CD2827 222287 22 22 652，CD 1302.解法二：cosB354，A4，C 为锐角，故 cosC 1sin2C 210或cosCcosABcosAB 210.CACB2CD，4|CD|2(CACB)2|CA|22CACB|CB|264285 2 21050130，CD 1302.14(2019河南郑州第三次
9、质量检测)在ABC 中，AB2 3，AC 3，AD 为ABC 的内角平分线，AD2.(1)求BDDC的值；(2)求角 A 的大小解(1)在ABD 中，由正弦定理，得 BDsinA2ABsinADB，在ACD 中，由正弦定理，得 CDsinA2ACsinADC，sinADBsinADC，AC 3，AB2 3，BDDCABAC2.(2)在ABD 中，由余弦定理，得BD2AB2AD22ABADcosA2168 3cosA2，在ACD 中，由余弦定理，得 CD2AC2AD22ACADcosA274 3cosA2，所以168 3cosA274 3cosA24，解得 cosA2 32，又A20，2，A26
10、，即 A3.B卷 一、选择题1在ABC 中，角 A，B，C 所对的边分别是 a，b，c，A60，a4 3，b4，则 B()AB30或 B150BB150CB30DB60或 B150答案 C解析 A60，a4 3，b4，sinBbsinAa4sin604 312，ab，B60，B30，故选 C.2(2019江西新八校第二次联考)我国南宋著名数学家秦九韶提出了由三角形三边求三角形面积的“三斜求积”，设ABC 的三个内角 A，B，C所对的边分别为 a，b，c，面积为 S，则“三斜求积”公式为 S14a2c2a2c2b222，若 a2sinC2sinA，(ac)26b2，则用“三斜求积”公式求得ABC
11、 的面积为()A 32B 3C12D1答案 A解析 a2sinC2sinA，a2c2a，即 ac2，又(ac)26b2，a2c22ac6b2，即 a2c2b262ac642，则ABC 的面积为1422222 32，故选 A.3(2019湖北黄冈元月调研)已知 a，b，c 分别为ABC 的三个内角 A，B，C 的对边，已知 C45，c 2，ax，若满足条件的三角形有两个，则 x 的取值范围是()A 2x1B 2x2C1x2D1x 2答案 B解析 在ABC 中，由正弦定理得 asinA csinC，即 xsinA2sin45，可得 sinA12x，由题意得当 A0，34 时，满足条件的ABC 有两
12、个，所以 22 12x1，解得 2x2，则 a 的取值范围是(2，2)，故选 B.4若 sin2 55，sin()1010，且 4，32，则 的值是()A74B94C54 或74D54 或94答案 A解析 因为 4，所以 22，2，又 sin2 55，所以 22，4，2，所以 cos22 55.又，32，所以 2，54，故 cos()3 1010，所以 cos()cos2()cos2cos()sin2sin()2 55 3 1010 55 1010 22，又 54，2，故 74，选 A.5(2019河北邯郸一模)ABC 的内角 A，B，C 所对的边分别为 a，b，c，已知 absinC20si
13、nB，a2c241，且 8cosB1，则 b()A6B4 2C3 5D7答案 A解析 因为 absinC20sinB，所以由正弦定理得 abc20b，所以 ac20，又因为 a2c241，cosB18，所以由余弦定理，得 b2a2c22accosB412201836，所以 b6.6在ABC 中，角 A，B，C 的对边分别为 a，b，c，且满足 abc643，则sin2AsinBsinC()A1114B127C1124D 712答案 A解析 由已知得 b2a3，ca2，所以sin2AsinBsinC 2sinAcosAsinBsinC2acosAbc 127 cosA.因为 cosAb2c2a2
14、2bc1124，所以sin2AsinBsinC1114.故选 A.7(2019闽粤赣三省十校联考)已知ABC 中，角 A，B，C 所对的边分别是 a，b，c，且cosCcosA2b 3c3a，点 M 在边 AC 上，且 cosAMB 217，BM 7，则 AB()A4B2C 2D 3答案 A解析 由正弦定理可知cosCcosA2sinB 3sinC3sinA，即 3sinAcosC2sinBcosA 3cosAsinC 3sin(AC)2sinBcosA，即 3sinB2sinBcosAcosA 32sinA12，cosAMB 217 sinAMB2 77，在AMB 中，BMsinAABsin
15、AMB，即 712 AB2 77，解得 AB4，故选 A.8(2019福建宁德第二次质量检查)如图，为了测量某湿地 A，B 两点间的距离，观察者找到在同一直线上的三点 C，D，E.从 D 点测得ADC67.5，从 C 点测得ACD45，BCE75，从 E 点测得BEC60.若测得 DC2 3，CE 2(单位：百米)，则 A，B 两点的距离为()A 6B2 2C3D2 3答案 C解析 根据题意，在ADC 中，ACD45，ADC67.5，DC2 3，则DAC1804567.567.5，则 ACDC2 3，在BCE 中，BCE75，BEC60，CE 2，则EBC180756045，则ECsinEBC
16、BCsinBEC，变形得 BCECsinBECsinEBC2 3222 3，在ABC 中，AC2 3，BC 3，ACB180ACDBCE60，则 AB2AC2BC22ACBCcosACB9，则 AB3，故选 C.二、填空题9已知 cos6 sin()4 35，20，则 cos23 _.答案 725解析 依题意得 cos6 sin()32 cos12sinsin 32 cos32sin 3sin6 4 35，sin6 45，cos23 cos26 12sin26 12452 725.10.2cos10sin20sin70的值是_答案 3解析 原式2cos3020sin20cos20 3cos20
17、cos20 3.11如图，在ABC 中，B45，D 是 BC 边上一点，AD5，AC7，DC3，则 AB 的长为_答案 5 62解析 在ACD 中，cosADC523272253 12，所以ADC120，所以ADB60.在ABD 中，由正弦定理，得 ABsin60 ADsin45，所以 AB5 62.12(2019安徽合肥模拟)在锐角ABC 中，内角 A，B，C 所对的边分别为 a，b，c，若 b 3，且满足(2ca)cosBbcosA0，则ABC 周长的取值范围是_答案(3 3，3 3解析 由(2ca)cosBbcosA0 及正弦定理知(2sinCsinA)cosBsinBcosA0，sin
18、C(2cosB1)0，sinC0，cosB12，又 B(0，)，B3，b 3，根据正弦定理得，asinA bsinB csinC2，ac2sinA2sinC2sin23 C 2sinC 3cosC3sinC2 3sinC6，又ABC 是锐角三角形，6C2，C63，23，sinC6 32，1，ac 的取值范围是(3，2 3，ABC 周长的取值范围是(3 3，3 3三、解答题13(2019河北示范性高中联合体 3 月联考)在ABC 中，3sinA2sinB，tanC2 2.(1)证明：ABC 为等腰三角形；(2)若ABC 的面积为 2 2，D 为 AC 边上一点，且 BD3CD，求线段CD 的长解
19、(1)证明：3sinA2sinB，3a2b，tanC2 2，cosC13，设ABC 的内角 A，B，C 的对边分别为 a，b，c，由余弦定理可得 c2a2b22abcosCa2b22a3a2 cosCb2，即 bc，则ABC 为等腰三角形(2)tanC2 2，sinC2 23，则ABC 的面积 S12absinC1232a22 23 2 2，解得 a2.设 CDx，则 BD3x，由余弦定理可得(3x)2x2224x13，解得 x1 7312(负根舍去)，从而线段 CD 的长为1 7312.14(2019山西晋城第三次模拟)如图所示，锐角ABC 中，AC5 2，点 D 在线段 BC 上，且 CD3 2，ACD 的面积为 6 6，延长 BA 至 E，使得 ECBC.(1)求 AD 的值；(2)若 sinBEC23，求 AE 的值解(1)在ACD 中，SACD12ACCDsinACD125 23 2sinACD6 6，所以 sinACD2 65，因为 0ACD90，所以 cosACD12 65215.由余弦定理得，AD2CD2CA22CDCAcosACD56，得 AD2 14.(2)因为 ECBC，所以 sinACEsin(90ACD)cosACD15.在AEC 中，由正弦定理得，AEsinACEACsinAEC，即AE155 223，所以 AE3 22.本课结束
