1、压轴题(二)第二部分刷题型12已知双曲线 C：x2a2y2b21(a0，b0)的离心率 e2 33，对称中心为 O，右焦点为 F，点 A 是双曲线 C 的一条渐近线上位于第一象限内的点，AOFOAF，OAF 的面积为 3 3，则双曲线 C 的方程为()A.x236y2121 B.x23y21 C.x212y241 D.x29y231 答案 D 解析 因为 eca2 33，所以baca21 33，所以 tanAOFba 33，所以AOF6，又因为AOFOAF，所以|AF|OF|c，OAF6，AFO23.又因为 SOAF3 3，所以12ccsin23 3 3.所以 c212，a234c29，b21
2、3a23.所以双曲线 C 的方程为x29y231.16祖暅是我国南北朝时期杰出的数学家和天文学家祖冲之的儿子，他提出了一条原理：“幂势既同，则积不容异”，这里的“幂”指水平截面的面积，“势”指高，这句话的意思是两个等高的几何体，若在所有等高处的水平截面的面积相等，则这两个几何体体积相等，一般大型热电厂的冷却塔大都采用双曲线型，设某双曲线型冷却塔是曲线x2a2y2b21(a0，b0)与直线x0，y0 和 yb 所围成的平面图形绕 y 轴旋转一周所得，如图所示，试应用祖暅原理类比求球体体积公式的方法，求出此冷却塔的体积为_ 答案 43a2b 解析 如题图，A 点在双曲线上，B 点在渐近线上，则图中
3、圆环的面积为 x2Ax2Ba2y2Ab2 a2 ayAb2a2，从而根据祖暅原理可知，该双曲线型冷却塔挖出一个以渐近线为母线的圆锥后的几何体的体积等于底面半径为 a、高为 b 的圆柱的体积，所以此冷却塔的体积为 a2b13a2b43a2b.20(2019安徽蚌埠第三次质检)已知点 M(2,0)是椭圆 C：x2a2y2b21(ab0)的左顶点，且椭圆 C 的离心率为 32.(1)求椭圆 C 的标准方程；(2)矩形 ABCD 的四个顶点均在椭圆 C 上，求矩形 ABCD 的面积的最大值 解(1)依题意，M(2,0)是椭圆 C 的左顶点，所以 a2.又 eca 32，所以 c 3，b1，所以椭圆 C
4、 的标准方程为x24y21.(2)由对称性可知，设 A(x0，y0)，其中 x0y00，则 B(x0，y0)，C(x0，y0)，D(x0，y0)，所以|AB|2|x0|，|AD|2|y0|，S 矩形 ABCD4|x0y0|，因为 S2矩形ABCD16x20y20，又 y201x204，所以 S2矩形ABCD16x20y204x4016x204(x202)216，而 x20(0,4)，故当 x202 时，S2矩形ABCD取得最大值 16，所以矩形 ABCD 的面积的最大值为 4.21(2019河南开封三模)已知函数 f(x)exa，g(x)a(x1)(常数 aR 且 a0)(1)当 g(x)与
5、f(x)的图象相切时，求 a 的值；(2)设 h(x)f(x)g(x)，若 h(x)存在极值，求 a 的取值范围 解(1)设切点为 A(x0，ex0a)，因为 f(x)ex，所以过 A 点的切线方程为 ye x0ae x0(xx0)，即 ye x0 xx0e x0e x0a，由题意，得e x0a，e x0 x0e x0aa，解得 ae.(2)依题意，h(x)a(x1)(exa)，则 h(x)a(xexa)，当 a0 时，令(x)xexa，则(x)(x1)ex，令(x)0，则 x1，令(x)0，则 x1，所以当 x(，1)时，(x)单调递减；当 x(1，)时，(x)单调递增若 h(x)存在极值，则(x)min(1)1ea0，所以 a(0，)，又 a(0，)时，(a)a(ea1)0，所以，a(0，)时，(x)在(1，)存在零点 x1，且在 x1 左侧(x)0，在 x1 右侧(x)0，即 h(x)存在变号零点当 a0 时，h(x)在(，1)上单调递增，在(1，)上单调递减若 h(x)存在极值，则 h(x)maxh(1)a(1ea)0，即1ea0，所以 a1e，0 时，(x)在(1，)存在零点 x2，且在 x2 左侧(x)0，即 h(x)存在变号零点所以，若 h(x)存在极值，a1e，0(0，)本课结束
