1、山东省济南市章丘市第四中学2019-2020学年高二数学下学期第五次质量检测试题（含解析）一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的1.已知复数，则在复平面内对应点所在象限为（ ）A. 第一象限B. 第二象限C. 第三象限D. 第四象限【答案】B【解析】【分析】对复数进行化简，从而得到，再得到在复平面内对应点所在象限.【详解】，则，在复平面内对应点为，在第二象限故选B.【点睛】本题考查复数的计算，共轭复数，复数在复平面对应的点，属于简单题.2.2020年春节突如其来的新型冠状病毒肺炎在湖北爆发，一方有难八方支援，全国各大医院抽调精兵强将
2、参加武汉疫情狙击战，全国各地的白衣天使走上战场的第一线，他们分别乘坐6架我国自主生产的“运20”大型运输机，编号分为1，2，3，4，5，6号，同时到达武汉天河飞机场，每五分钟降落一架，其中1号与6号相邻降落的概率为（ ）A. B. C. D. 【答案】D【解析】【分析】根据捆绑法以及古典概型的概率计算公式即可求出【详解】六架飞机降落的排列总数为，而1号与6号相邻降落的排列总数为，所以所求事件的概率为.故选：D.【点睛】本题主要考查古典概型的概率计算公式的应用以及利用捆绑法解决排列中的相邻问题，属于基础题3.如图，空间四边形中，点在线段上，且，点为的中点，则（ ）A. B. C. D. 【答案】
3、A【解析】【分析】由题意，把三个向量看作是基向量，由图形根据向量的线性运算，将用三个基向量表示出来，即可得到答案，选出正确选项.【详解】解：，故选：A.【点睛】本题考点是空间向量基本定理，考查了用向量表示几何的量，向量的线性运算，解题的关键是根据图形把所研究的向量用三个基向量表示出来，本题是向量的基础题.4.设是函数的导函数，将和的图象画在同一个直角坐标系中，不可能正确的是（ ）A. B. C. D. 【答案】D【解析】解析：检验易知A、B、C均适合，不存在选项D的图象所对应的函数，在整个定义域内，不具有单调性，但y=f（x）和y=f（x）在整个定义域内具有完全相同的走势，不具有这样的函数，故
4、选D5.的展开式的各项系数和为243，则该展开式中的系数是（ ）A. 5B. C. D. 100【答案】C【解析】【分析】的展开式的各项系数和为的值，求出的值，根据产生的项可求其系数【详解】解：，所以=展开式中的系数是：故选：C【点睛】考查二项展开式中各项系数的和的求法和求特定的项；基础题.6.从1，2，3，4，5，6，7，8，9中不放回地依次取2个数，事件A为“第一次取到的是奇数”，B为“第二次取到的是3的整数倍”，则（ ）A. B. C. D. 【答案】B【解析】【分析】由条件概率的定义，分别计算即得解.【详解】由题意事件为“第一次取到的是奇数且第二次取到的是3的整数倍”：若第一次取到的为
5、3或9，第二次有2种情况；若第一次取到的为1，5，7，第二次有3种情况，故共有个事件由条件概率的定义：故选：B【点睛】本题考查了条件概率的计算，考查了学生概念理解，分类讨论，数学运算的能力，属于中档题.7.在四面体ABCD中，则异面直线AB与CD所成角的余弦值为（ ）A. B. C. D. 【答案】D【解析】【分析】以为原点，如图建立空间直角坐标系，分别求向量的坐标，根据公式求解.【详解】在四面体中，平面，所以以为原点，为轴，为轴，过点作的平行线为轴，如图建立空间直角坐标，则，设异面直线与所成的角为，则.故选：D【点睛】本题考查空间向量解决异面直线所成的角，意在考查计算能力，简单的推理证明，属
6、于基础题型.8.已知定义在上的函数的导函数为，且对任意都有，则不等式的解集为（ ）A. B. C. D. 【答案】B【解析】【分析】先构造函数，求导得到在R上单调递增，根据函数的单调性可求得不等式的解集.【详解】构造函数， ， .又任意都有.在R上恒成立. 在R上单调递增.当时，有，即的解集为.【点睛】本题主要考查利用函数的单调性解不等式，根据题目条件构造一个新函数是解决本题的关键.二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求全部选对的得5分，部分选对的得3分，有选错的得0分9.给出下列命题，其中正确的命题有（ ）A. 设具有相关关系的两个变量
7、x，y的相关系数为r，则越接近于0，x，y之间的线性相关程度越高B. 随机变量，若，则C. 公共汽车上有10位乘客，沿途5个车站，乘客下车的可能方式有种D. 回归方程为中，变量y与x具有正的线性相关关系，变量x增加1个单位时，y平均增加0.85个单位【答案】BD【解析】【分析】A.根据相关系数的应用，即可做出判断；B.由正态分布可知，且，计算的值；C.根据分步计数原理直接计算结果；D.根据回归方程的形式，即可做出判断.【详解】A.设具有相关关系的两个变量的相关系数为，则越接近于0， 之间的线性相关程度越弱，故A不正确；B. 随机变量，则，若，则，得，故B正确；C.由分步计数原理可知，每位乘客下
8、车方法有5种，所以乘客下车的可能方式有种，故C不正确；D.由回归方程的形式可知，变量y与x具有正的线性相关关系，变量x增加1个单位时，y平均增加0.85个单位，故D正确.故选：BD【点睛】本题考查回归方程，分步计数原理，正态分布方差的性质，以及相关系数的辨析，属于基础题型.10.如图，正方体的棱长为1，则下列四个命题正确的是（ ）A. 直线BC与平面所成的角等于B. 点C到面的距离为C. 两条异面直线和所成的角为D. 三棱柱外接球表面积为【答案】ABD【解析】【分析】对选项A，首先连接，交于点，易证平面，从而得到为直线与平面所成的角，再根据即可判断选项A正确.对选项B，根据平面，得到为点到面的
9、距离，再计算即可判断选项B正确.对选项C，首先连接，根据，得到为异面直线和所成的角，再计算即可判断选项C 错误.对选项D，根据三棱柱的外接球与正方体的外接球相同，计算正方体的外接球即可判断选项D正确.【详解】对选项A，如图所示：连接，交于点.因为正方体，所以四边形为正方形，.又因为平面，平面，所以.平面.所以为直线与平面所成的角，又因为，故选项A正确.对选项B，由上知：平面，所以为点到面的距离.又因为正方体边长为，所以，故选项B正确.对选项C，如图所示：连接，.因为，所以为异面直线和所成的角.又因为，所以，故选项C错误.对选项D，因为三棱柱的外接球与正方体的外接球相同，设外接球半径为，.，故选
10、项D正确.故选：ABD【点睛】本题主要考查了线面成角，异面直线成角，同时考查了点到面的距离和三棱柱的外接球，属于简单题.11.针对时下的“抖音热”，某校团委对“学生性别和喜欢抖音是否有关”作了一次调查，其中被调查的男女生人数相同，男生喜欢抖音的人数占男生人数的，女生喜欢抖音的人数占女生人数，若有的把握认为是否喜欢抖音和性别有关则调查人数中男生可能有（ ）人附表：附：A. B. C. D. 【答案】BC【解析】分析】设男生的人数为，列出列联表，计算出的观测值，结合题中条件可得出关于的不等式，解出的取值范围，即可得出男生人数的可能值.【详解】设男生的人数为，根据题意列出列联表如下表所示：男生女生合
11、计喜欢抖音不喜欢抖音合计则，由于有的把握认为是否喜欢抖音和性别有关，则，即，得，则的可能取值有、，因此，调查人数中男生人数的可能值为或.故选：BC.【点睛】本题考查利用独立性检验求出人数的可能取值，解题时要列举出列联表，并结合临界值表列不等式求解，考查计算能力，属于中等题.12.对于函数，下列说法正确的是（ ）A. 在处取得极大值B. 有两个不同的零点C. D. 若在上恒成立，则【答案】ACD【解析】【分析】对于选项A、C，只需研究的单调性即可；对于选项B，令解方程即可；对于选项D，采用分离常数，转化为函数的最值即可.【详解】由已知，令得，令得，故在上单调递增，在单调递减，所以的极大值为，A正
12、确；又令得，即，当只有1个零点，B不正确；，所以，故C正确；若在上恒成立，即在上恒成立，设，令得，令得，故在上单调递增，在单调递减，所以，故D正确.故选：ACD【点睛】本题考查利用导数研究函数的性质，涉及到函数的极值、零点、不等式恒成立等问题，考查学生的逻辑推理能力，是一道中档题.三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分13.若函数，则的值为_【答案】24【解析】【分析】求得函数的导数，令，求得，得到，代入，即可求解.【详解】由题意，函数，则，令，可得，解得，所以，则.故答案为：.【点睛】本题主要考查了导数的运算，以及导数值的计算，其中解答中熟记导数的运算公式是解答的关键，着重考查运算与
13、求解能力.14.在某校举行的数学竞赛中，全体参赛学生的竞赛成绩近似服从正态分布,已知成绩在到分之间的学生有名，若该校计划奖励竞赛成绩在分以上（含分）的学生，估计获奖的学生有_.人（填一个整数）（参考数据：若有，【答案】20【解析】【分析】根据正态分布函数可知，从而可确定竞赛分数在到分之间的概率为，进而求得参赛学生总数；利用竞赛成绩在分以上所对应的概率可求得获奖学生数.【详解】由题意可得：，若参赛学生的竞赛分数记为，则参赛的学生总数为：人获奖的学生有：人本题正确结果：【点睛】本题考查正态分布的实际应用问题，关键是能够利用原则确定区间所对应的概率，从而求得总数，属于基础题.15.为了宣传校园文化，
14、让更多的学生感受到校园之美，某校学生会组织了6个小队在校园最具有代表性的3个地点进行视频拍摄，若每个地点至少有1支小队拍摄，则不同的分配方法有_种（用数字作答）【答案】540【解析】分析】首先将6个小队分成三组，有三种组合，然后再分配，即可求出结果【详解】（1）若按照进行分配有种方案；（2）若按照进行分配有种方案；（3）若按照进行分配有种方案；由分类加法原理，所以共有种分配方案【点睛】本题主要考查分类加法计数原理，以及排列组合的相关知识应用易错点是平均分配有重复，注意消除重复16.已知三棱锥的四个顶点在球的球面上，是边长为正三角形，分别是的中点，则球的体积为_【答案】【解析】【分析】由已知设出
15、，分别在中和在中运用余弦定理表示，得到关于x与y的关系式，再在中运用勾股定理得到关于x与y的又一关系式，联立可解得x，y，从而分析出正三棱锥是，两两垂直的正三棱锥，所以三棱锥的外接球就是以为棱的正方体的外接球，再通过正方体的外接球的直径等于正方体的体对角线的长求出球的半径，再求出球的体积.【详解】在中，设，,，因为点，点分别是，的中点，所以，在中，在中，整理得，因为是边长为的正三角形，所以，又因为，所以，由，解得，所以又因为是边长为的正三角形，所以，所以，所以，两两垂直，则球为以为棱的正方体的外接球，则外接球直径为，所以球体积为,故答案为.【点睛】本题主要考查空间几何体的外接球的体积，破解关键
16、在于熟悉正三棱锥的结构特征，运用解三角形的正弦定理和余弦定理得出三棱锥的棱的关系，继而分析出正三棱锥的外接球是以正三棱锥中互相垂直的三条棱为棱的正方体的外接球，利用正方体的外接球的直径等于正方体的体对角线的长求解更方便快捷，属于中档题四、解答题：本题共6小题，共70分解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤17.正四棱柱，中，E为中点，F为AD中点（1）证明：平面；（2）若直线AC与平面所成的角为，求的长【答案】（1）见解析；（2）【解析】【分析】（1）法1：以A为坐标原点，为轴，为轴，为轴， 建立空间直角坐标系，求出平面的一个法向量，由，证出，再由线面平行的判定定理即可证出；法2：连接交
17、于O，连接EO，OF，证出，且，从而证出，再利用线面平行的判定定理即可证出.（2）由，利用即可求解.【详解】（1）法1：以A为坐标原点，为轴，为轴，为轴， 建立空间直角坐标系，设，则，故，设平面的法向量，不妨取，得平面的一个法向量，又平面，所以平面法2：连接交于O，则O为中点连接EO，OF因为正四棱柱，所以，且，又因为E为中点，且中，O，F为中点，且，且为平行四边形，又平面，平面，所以平面（2），则直线AC与平面AED，所成的角为，即，解得，即的长为【点睛】本题考查了线面平行的判定定理、空间向量法根据线面角求线段长度，考查了基本运算求解能力，属于中档题.18.某企业新研发了一种产品，产品的成本
18、由原料成本及非原料成本组成，每件产品的非原料成本y（元）与生产该产品的数量x（千件）有关，经统计得到如下数据：x12345678y1126144.53530.5282524根据以上数据，绘制了散点图参考数据：（其中）183.40.340.1151.5336022385.8参考公式：对于一组数据，其回归直线的斜率和截距的最小二乘估计分别为：（1）观察散点图判断，与哪一个适宜作为非原料成本y与生产该产品的数量x的回归方程类型？（给出判断即可，不必说明理由）（2）根据（1）的判断结果及表中数据，建立y与x的回归方程（3）试预测生产该产品10000件时每件产品的非原料成本.【答案】（1）；（2）；（3
19、）21元【解析】【分析】（1）根据给定的散点图，结果函数的图象与性质，即可作差选择；（2）令，则，可转化为，利用回归系数的公式求得的值，进而得到回归方程；（3）把，代入回归方程，求得的值，即可得出结论.【详解】（1）由题意，根据题设中的散点图，可得这些点能比较均有的分布在的两侧，所以选择函数作为非原料成本y与生产该产品的数量x的回归方程类型（2）令，则，可转化为因为，所以则，所以，即（3）当（千件）时，所以预测生产该产品10000件时每件产品的非原料成本为21元【点睛】本题主要考查了回归直线方程的求解，以及回归直线方程的应用，其中解答中根据题设中的数据，结合公式准确计算是解答的关键，着重考查了
20、运算与求解能力.19.已知函数（1）若函数在处的切线与直线垂直，求函数的单调区间及函数在上的最大值和最小值；（2）若时，函数在区间上是减函数，求实数的取值范围.【答案】（1）单减区间为；单增区间为；最大值为， 最小值为 （2）【解析】【分析】（1）由求得a,b，得，求得f（x）的单调性求得最值，（2）由在区间上是减函数，得，分离a求解即可【详解】（1）与直线垂直的直线斜率为2，则 则，（），当时， ，递减；当时，递增.所以的单减区间为；的单增区间为. 因为在上减，在上增,又所以函数在上的最大值为， 最小值为 （2）若时， 若函数在区间上是减函数，则即，设，所以在上单调递增， 所以.【点睛】本题
21、考查函数的单调性与最值，考查不等式恒成立问题，注意转化化归的应用，考查运算能力，是中档题20.在四棱锥P-ABCD中，平面ABCD，E为PD的中点，点F在PC上，且（1）求证：平面平面PAD；（2）求二面角F-AE-P的余弦值【答案】（1）见解析；（2）【解析】【分析】（1）先证明，然后可证明平面PAD，从而得证面面垂直；（2）过点A作AD的垂线交BC于点M以为轴建立空间直角坐标系，用空间向量法求得二面角【详解】（1）证明：因为平面ABCD，平面ABCD，所以又因为，平面PAD，所以平面PAD又平面PCD，所以平面平面PAD（2）过点A作AD的垂线交BC于点M因为平面ABCD，平面ABCD，所
22、以，建立如图所示的空间直角坐标系，则，因为E为PD的中点，所以所以，所以，所以设平面AEF的法向量为，则，令，则，于是又因为平面PAD的一个法向量为，所以由题知，二面角为锐角，所以其余弦值为【点睛】本题考查面面垂直的证明，考查空间向量法求二面角，证明面面垂直的关键是掌握面面垂直的判定定理，建立空间直角坐标系用向量法求二面角是立体几何中求空间角的常用方法，此方法用计算代替证明，考查学生的运算求解能力21.中央政府为了应对因人口老龄化而造成的劳动力短缺等问题，拟定出台“延迟退休年龄政策”为了了解人们对“延迟退休年龄政策”的态度，责成人社部进行调研人社部从网上年龄在15-65岁的人群中随机调查100
23、人，调查数据的频率分布直方图和支持“延迟退休”的人数与年龄的统计结果如下：年龄支持“延迟退休”的人数155152817（1）由以上统计数据填22列联表，并判断能否在犯错误的概率不超过005的前提下认为以45岁为分界点的不同人群对“延迟退休年龄政策”的支持度有差异；45岁以下45岁以上总计支持不支持总计参考数据：0.1000.0500.0100.0012.7063.8416.63510.828，其中（2）若以45岁为分界点，从不支持“延迟退休”的人中按分层抽样的方法抽取8人参加某项活动、现从这8人中随机抽2人记抽到45岁以上的人数为X，求随机变量X的分布列及数学期望【答案】（1）列联表见解析，在
24、犯错误的概率不超过0.05的前提下认为以45岁为分界点的不同人群对“延迟退休年龄政策”的支持度有差异；（2）分布列见解析，【解析】【分析】（1）由频率分布直方图知45岁以下与45岁以上各50人，得到列联表，利用公式求得的观测值，即可得到答案；（2）根据题意，得到X 的可能取值为0，1，2，求得相应的概率，利用公式，求得期望值.【详解】（1）由频率分布直方图知45岁以下与45岁以上各50人，故填充列联表如下：45岁以下45岁以上总计支持354580不支持15520总计5050100因为的观测值，所以在犯错误的概率不超过0.05的前提下认为以45岁为分界点的不同人群对“延迟退休年龄政策”的支持度有
25、差异（2）从不支持“延迟退休”的人中抽取8人，则45岁以下的应抽6人，45岁以上的应抽2人所以X 的可能取值为0，1，2则，；故随机变量X的分布列为：X012P所以【点睛】本题主要考查了独立性检验的应用，以及离散型随机变量的分布列及数学期望的计算，其中解答中认真审题，求得随机变量的取值，求得相应的概率，得出随机变量的分布列是解答的关键，着重考查分析问题和解答问题的能力.22.已知函数（1）讨论的单调性；（2）若存在两个极值点，证明：【答案】（1）见解析；（2）见解析【解析】分析：(1)首先确定函数的定义域，之后对函数求导，之后对进行分类讨论，从而确定出导数在相应区间上的符号，从而求得函数对应的
26、单调区间；(2)根据存在两个极值点，结合第一问的结论，可以确定，令，得到两个极值点是方程的两个不等的正实根，利用韦达定理将其转换，构造新函数证得结果.详解：（1）的定义域为，.（i）若，则，当且仅当，时，所以在单调递减.（ii）若，令得，或.当时，；当时，.所以在单调递减，在单调递增.（2）由（1）知，存在两个极值点当且仅当.由于的两个极值点满足，所以，不妨设，则.由于，所以等价于.设函数，由（1）知，在单调递减，又，从而当时，.所以，即.点睛：该题考查的是应用导数研究函数的问题，涉及到的知识点有应用导数研究函数的单调性、应用导数研究函数的极值以及极值所满足的条件，在解题的过程中，需要明确导数的符号对单调性的决定性作用，再者就是要先保证函数的生存权，先确定函数的定义域，要对参数进行讨论，还有就是在做题的时候，要时刻关注第一问对第二问的影响，再者就是通过构造新函数来解决问题的思路要明确.
