1、第九编 解析几何9.1直线的倾斜角与斜率基础自测1.设直线l与x轴的交点是P，且倾斜角为,若将此直线绕点P按逆时针方向旋转45，得到直线的倾斜角为+45，则的范围为 .答案 01352.（2008全国文）曲线y=x3-2x+4在点（1，3）处的切线的倾斜角为 .答案 453.过点M（-2，m），N（m，4）的直线的斜率等于1，则m的值为 .答案 14.已知直线l的倾斜角为，且0135，则直线l的斜率取值范围是 .答案 （-,-1）0，+）5.若直线l经过点（a-2，-1）和（-a-2，1）且与经过点（-2，1），斜率为-的直线垂直，则实数a的值为 .答案 -例1 若，则直线2xcos+3y+1
2、=0的倾斜角的取值范围是 .答案 例2 （14分）已知直线l1:ax+2y+6=0和直线l2:x+(a-1)y+a2-1=0,（1）试判断l1与l2是否平行；（2）l1l2时，求a的值.解 （1）方法一 当a=1时，l1:x+2y+6=0,l2:x=0,l1不平行于l2;当a=0时，l1:y=-3,l2:x-y-1=0,l1不平行于l2;2分当a1且a0时，两直线可化为l1:y=-3,l2:y=-(a+1),l1l2，解得a=-1, 5分综上可知，a=-1时，l1l2，否则l1与l2不平行. 6分方法二 由A1B2-A2B1=0，得a（a-1）-12=0，由A1C2-A2C10，得a(a2-1
3、)-160, 2分l1l24分a=-1, 5分故当a=-1时，l1l2，否则l1与l2不平行.6分（2）方法一 当a=1时，l1:x+2y+6=0,l2:x=0,l1与l2不垂直，故a=1不成立.8分当a1时，l1:y=-x-3,l2:y=-(a+1),12分由=-1a=.14分方法二 由A1A2+B1B2=0，得a+2(a-1)=0a=.14分例3 已知实数x,y满足y=x2-2x+2 (-1x1).试求：的最大值与最小值.解 由的几何意义可知，它表示经过定点P（-2，-3）与曲线段AB上任一点（x,y)的直线的斜率k,如图可知：kPAkkPB,由已知可得：A（1，1），B（-1，5），k8
4、，故的最大值为8，最小值为.1.直线xcos+y+2=0的倾斜角的取值范围是 .答案 2.已知两条直线l1:(3+m)x+4y=5-3m,l2:2x+(5+m)y=8.当m分别为何值时，l1与l2:（1）相交？（2）平行？（3）垂直？ 解 m=-5时，显然，l1与l2相交；当m-5时，易得两直线l1和l2的斜率分别为k1=-，k2=-，它们在y轴上的截距分别为b1=，b2=.（1）由k1k2,得-，m-7且m-1.当m-7且m-1时，l1与l2相交.（2）由,得，m=-7.当m=-7时，l1与l2平行.（3）由k1k2=-1,得-=-1，m=-.当m=-时，l1与l2垂直.3.若实数x,y满足
5、等式(x-2)2+y2=3，那么的最大值为 .答案 一、填空题1.直线xcos+y-1=0 (R)的倾斜角的范围是 .答案 2.（2009姜堰中学高三综合练习）设直线l1:x-2y+2=0的倾斜角为,直线l2:mx-y+4=0的倾斜角为,且=+90,则m的值为 .答案 -23.已知直线l经过A（2，1），B（1，m2）（mR）两点，那么直线l的倾斜角的取值范围是 .答案 4.已知直线l1：y=2x+3，直线l2与l1关于直线y=x对称，直线l3l2，则l3的斜率为 .答案 -25.若直线l沿x轴负方向平移3个单位，再沿y轴正方向平移1个单位后，又回到原来位置，那么直线l的斜率是 .答案 -6.
6、（2008浙江理，11）已知a0,若平面内三点A（1，-a），B（2，a2），C（3，a3）共线，则a= .答案 1+7.已知点A（-2，4）、B（4，2），直线l过点P（0，-2）与线段AB相交，则直线l的斜率k的取值范围是 .答案 （-，-31，+）8.已知两点A（-1，-5），B（3，-2），若直线l的倾斜角是直线AB倾斜角的一半，则l的斜率是 .答案 二、解答题9.已知线段PQ两端点的坐标分别为（-1，1）、（2，2），若直线l：x+my+m=0与线段PQ有交点，求m的取值范围. 解 方法一 直线x+my+m=0恒过A（0，-1）点.kAP=-2，kAQ=，则-或-2，-m且m0.又m
7、=0时直线x+my+m=0与线段PQ有交点，所求m的取值范围是-m.方法二 过P、Q两点的直线方程为y-1=(x+1),即y=x+,代入x+my+m=0,整理，得x=-.由已知-1-2, 解得-m.10.已知直线l1:x+my+6=0,l2:(m-2)x+3y+2m=0,求m的值，使得：（1）l1与l2相交；（2）l1l2;(3)l1l2;(4)l1,l2重合.解 （1）由已知13m(m-2),即m2-2m-30,解得m-1且m3.故当m-1且m3时，l1与l2相交.（2）当1（m-2）+m3=0，即m=时，l1l2.(3)当=,即m=-1时，l1l2.（4）当=，即m=3时，l1与l2重合.
8、11.已知A（0，3）、B（-1，0）、C（3，0），求D点的坐标，使四边形ABCD为直角梯形（A、B、C、D按逆时针方向排列）.解 设所求点D的坐标为（x，y），如图所示，由于kAB=3，kBC=0，kABkBC=0-1，即AB与BC不垂直，故AB、BC都不可作为直角梯形的直角边.若CD是直角梯形的直角边，则BCCD，ADCD，kBC=0，CD的斜率不存在，从而有x=3.又kAD=kBC，=0，即y=3.此时AB与CD不平行.故所求点D的坐标为（3，3）.若AD是直角梯形的直角边，则ADAB，ADCD，kAD=，kCD=.由于ADAB，3=-1.又ABCD，=3.解上述两式可得此时AD与BC
9、不平行.故所求点D的坐标为,综上可知，使ABCD为直角梯形的点D的坐标可以为（3，3）或.12.已知两点A（-1，2），B（m，3）.（1）求直线AB的方程；（2）已知实数m，求直线AB的倾斜角的取值范围.解 （1）当m=-1时，直线AB的方程为x=-1,当m-1时，直线AB的方程为y-2=(x+1).（2）当m=-1时，=;当m-1时，m+1，k=（-，-，.综合知，直线AB的倾斜角.9.2 直线的方程、直线的交点坐标与距离公式基础自测1.下列四个命题中真命题的序号是 .经过定点P0（x0，y0）的直线都可以用方程y-y0=k（x-x0）表示经过任意两个不同点P1（x1,y1）,P2(x2,
10、y2)的直线都可以用方程（y-y1)(x2-x1)=(x-x1)(y2-y1)表示不经过原点的直线都可以用方程表示经过定点A（0，b）的直线都可以用方程y=kx+b表示答案 2.A、B是x轴上两点，点P的横坐标为2，且|PA|=|PB|，若直线PA的方程为x-y+1=0，则直线PB的方程为 .答案 x+y-5=03.（2008全国文）原点到直线x+2y-5=0的距离为 .答案 4.过点P（-1，2）且方向向量为a=（-1，2）的直线方程为 .答案 2x+y=05.一条直线经过点A（-2，2），并且与两坐标轴围成的三角形的面积为1，则此直线的方程为 .答案 x+2y-2=0或2x+y+2=0例1
11、 求适合下列条件的直线方程：（1）经过点P（3，2），且在两坐标轴上的截距相等；（2）经过点A（-1，-3），倾斜角等于直线y=3x的倾斜角的2倍.解 （1）方法一 设直线l在x,y轴上的截距均为a,若a=0，即l过点（0，0）和（3，2），l的方程为y=x，即2x-3y=0.若a0，则设l的方程为，l过点（3，2），a=5，l的方程为x+y-5=0,综上可知，直线l的方程为2x-3y=0或x+y-5=0.方法二 由题意知，所求直线的斜率k存在且k0,设直线方程为y-2=k(x-3),令y=0，得x=3-,令x=0,得y=2-3k,由已知3-=2-3k，解得k=-1或k=,直线l的方程为：y-
12、2=-（x-3）或y-2=(x-3),即x+y-5=0或2x-3y=0.（2）由已知：设直线y=3x的倾斜角为，则所求直线的倾斜角为2. tan=3,tan2=-.又直线经过点A（-1，-3），因此所求直线方程为y+3=-(x+1),即3x+4y+15=0.例2 过点P（2，1）的直线l交x轴、y轴正半轴于A、B两点，求使：（1）AOB面积最小时l的方程；（2）|PA|PB|最小时l的方程.解 方法一 设直线的方程为 (a2,b1),由已知可得.（1）2=1，ab8.SAOB=ab4.当且仅当=,即a=4,b=2时，SAOB取最小值4，此时直线l的方程为=1,即x+2y-4=0.（2）由+=1
13、,得ab-a-2b=0,变形得(a-2)(b-1)=2,|PA|PB|=.当且仅当a-2=1,b-1=2,即a=3,b=3时，|PA|PB|取最小值4.此时直线l的方程为x+y-3=0.方法二 设直线l的方程为y-1=k(x-2) (k0),则l与x轴、y轴正半轴分别交于A、B（0，1-2k）.（1）SAOB=（1-2k）=（4+4）=4.当且仅当-4k=-,即k=-时取最小值，此时直线l的方程为y-1=-(x-2),即x+2y-4=0.（2）|PA|PB|=4,当且仅当=4k2,即k=-1时取得最小值，此时直线l的方程为y-1=-(x-2),即x+y-3=0.例3 （14分）已知直线l过点P
14、（3，1）且被两平行线l1:x+y+1=0,l2:x+y+6=0截得的线段长为5，求直线l的方程.解 方法一 若直线l的斜率不存在，则直线l的方程为x=3,此时与l1,l2的交点分别是A（3，-4），B（3，-9），截得的线段长|AB|=|-4+9|=5,符合题意.4分若直线l的斜率存在时，则设直线l的方程为y=k(x-3)+1,分别与直线l1,l2的方程联立，由,解得A.8分由,解得B, 由两点间的距离公式，得+=25，解得k=0,即所求直线方程为y=1.12分综上可知，直线l的方程为x=3或y=1.14分方法二 设直线l与l1,l2分别相交于A(x1,y1),B(x2,y2),则x1+y1
15、+1=0,x2+y2+6=0,两式相减，得(x1-x2)+(y1-y2)=56分又(x1-x2)2+(y1-y2)2=25联立可得或, 12分由上可知，直线l的倾斜角分别为0和90，故所求的直线方程为x=3或y=1. 14分例4 求直线l1:y=2x+3关于直线l:y=x+1对称的直线l2的方程.解 方法一 由知直线l1与l的交点坐标为（-2，-1），设直线l2的方程为y+1=k(x+2),即kx-y+2k-1=0.在直线l上任取一点（1，2），由题设知点（1，2）到直线l1、l2的距离相等，由点到直线的距离公式得=，解得k=(k=2舍去)，直线l2的方程为x-2y=0.方法二 设所求直线上一
16、点P（x,y）,则在直线l1上必存在一点P1（x0,y0）与点P关于直线l对称.由题设：直线PP1与直线l垂直，且线段PP1的中点P2在直线l上.，变形得,代入直线l1:y=2x+3，得x+1=2(y-1)+3,整理得x-2y=0.所以所求直线方程为x-2y=0.1.（1）求经过点A（-5，2）且在x轴上的截距等于在y轴上的截距的2倍的直线方程；（2）过点A（8，6）引三条直线l1,l2,l3，它们的倾斜角之比为124，若直线l2的方程是y=x,求直线l1,l3的方程.解 （1）当直线l在x、y轴上的截距都为零时，设所求的直线方程为y=kx,将（-5，2）代入y=kx中，得k=-，此时，直线方
17、程为y=-x,即2x+5y=0.当横截距、纵截距都不是零时，设所求直线方程为=1，将（-5，2）代入所设方程，解得a=-，此时，直线方程为x+2y+1=0.综上所述，所求直线方程为x+2y+1=0或2x+5y=0.（2）设直线l2的倾斜角为,则tan=.于是tan=,tan2=,所以所求直线l1的方程为y-6=(x-8),即x-3y+10=0,l3的方程为y-6=(x-8),即24x-7y-150=0.2.直线l经过点P（3，2）且与x，y轴的正半轴分别交于A、B两点，OAB的面积为12，求直线l的方程.解 方法一 设直线l的方程为（a0,b0）,A(a,0),B(0,b),解得所求的直线方程
18、为=1,即2x+3y-12=0.方法二 设直线l的方程为y-2=k(x-3),令y=0,得直线l在x轴上的截距a=3-,令x=0,得直线l在y轴上的截距b=2-3k.(2-3k)=24.解得k=-.所求直线方程为y-2=-(x-3).即2x+3y-12=0.3.已知三条直线l1：2x-y+a=0（a0）,直线l2:4x-2y-1=0和直线l3:x+y-1=0,且l1与l2的距离是.(1)求a的值；(2)能否找到一点P,使得P点同时满足下列三个条件:P是第一象限的点;P点到l1的距离是P点到l2的距离的;P点到l1的距离与P点到l3的距离之比是.若能,求P点坐标;若不能,说明理由.解 (1)l2
19、即为2x-y-=0,l1与l2的距离d=,=,=,a0,a=3.(2)假设存在这样的P点.设点P(x0,y0),若P点满足条件,则P点在与l1、l2平行的直线l：2x-y+C=0上，且=，即C=或C=，2x0-y0+=0或2x0-y0+=0；若P点满足条件，由点到直线的距离公式=，即|2x0-y0+3|=|x0+y0-1|，x0-2y0+4=0或3x0+2=0；由于P点在第一象限，3x0+2=0不满足题意.联立方程，解得 (舍去).由解得假设成立，P即为同时满足三个条件的点.4.光线沿直线l1:x-2y+5=0射入，遇直线l:3x-2y+7=0后反射，求反射光线所在的直线方程.解 方法一 由得
20、反射点M的坐标为（-1,2）.又取直线x-2y+5=0上一点P（-5，0），设P关于直线l的对称点P(x0,y0)，由PPl可知,kPP=-=.而PP的中点Q的坐标为,Q点在l上，3-2+7=0.由得根据直线的两点式方程可得l的方程为29x-2y+33=0.方法二 设直线x-2y+5=0上任意一点P（x0,y0）关于直线l的对称点为P(x,y),则,又PP的中点Q在l上，3-2+7=0,由可得P点的坐标为x0=，y0=，代入方程x-2y+5=0中，化简得29x-2y+33=0,即为所求反射光线所在的直线方程.一、填空题1.过点（1，3）作直线l，若经过点（a，0）和（0，b），且aN*，bN*
21、，则可作出的l的条数为 .答案 22.已知直线l1的方向向量为a=(1,3),直线l2的方向向量为b=(-1,k),若直线l2过点（0，5），且l1l2，则直线l2的方程是 .答案 x+3y-15=03.若直线l与两直线y=1,x-y-7=0分别交于M，N两点，且MN的中点是P（1，-1），则直线l的斜率是 .答案 -4.直线x-2y+1=0关于直线x=1对称的直线方程是 .答案 x+2y-3=05.经过点P（1，4）的直线在两坐标轴上的截距都是正的，且截距之和最小，则直线的方程为 .答案 2x+y-6=06.点（1，cos）到直线xsin+ycos-1=0的距离是(0180)，那么= .答案
22、 30或1507.设l1的倾斜角为，l1绕其上一点P沿逆时针方向旋转角得直线l2，l2的纵截距为-2，l2绕P沿逆时针方向旋转-角得直线l3：x+2y-1=0，则l1的方程为 .答案 2x-y+8=08.若直线l:y=kx-1与直线x+y-1=0的交点位于第一象限，则实数k的取值范围是 .答案 (1,+)二、解答题9.已知直线l与两坐标轴围成的三角形的面积为3，分别求满足下列条件的直线l的方程：（1）过定点A（-3，4）；（2）斜率为.解 （1）设直线l的方程是y=k(x+3)+4,它在x轴，y轴上的截距分别是-3，3k+4，由已知，得（3k+4）（+3）=6，解得k1=-或k2=-.直线l的
23、方程为2x+3y-6=0或8x+3y+12=0.（2）设直线l在y轴上的截距为b,则直线l的方程是y=x+b,它在x轴上的截距是-6b,由已知，得|-6bb|=6，b=1.直线l的方程为x-6y+6=0或x-6y-6=0.10.一条光线经过P（2，3）点，射在直线l:x+y+1=0上，反射后穿过Q（1，1）.（1）求光线的入射方程；（2）求这条光线从P到Q的长度.解 （1）设点Q(x,y)为Q关于直线l的对称点且QQ交l于M点，kl=-1，kQQ=1.QQ所在直线方程为y-1=1（x-1）即x-y=0.由解得l与QQ的交点M的坐标为.又M为QQ的中点，由此得.解之得Q（-2，-2）.设入射线与
24、l交点N，且P，N，Q共线.则P（2，3），Q（-2，-2），得入射线方程为，即5x-4y+2=0.(2)l是QQ的垂直平分线，因而|NQ|=|NQ|.|PN|+|NQ|=|PN|+|NQ|=|PQ|=,即这条光线从P到Q的长度是.11.已知正方形的中心为直线2x-y+2=0,x+y+1=0的交点，正方形一边所在的直线方程为x+3y-5=0,求正方形其他三边的方程.解 设与直线l:x+3y-5=0平行的边的直线方程为l1:x+3y+c=0.由得正方形的中心坐标P（-1，0），由点P到两直线l,l1的距离相等，则,得c=7或c=-5（舍去）.l1：x+3y+7=0.又正方形另两边所在直线与l垂直
25、，设另两边方程为3x-y+a=0,3x-y+b=0.正方形中心到四条边的距离相等，=，得a=9或a=-3,另两条边所在的直线方程为3x-y+9=0,3x-y-3=0.另三边所在的直线方程为3x-y+9=0,x+3y+7=0,3x-y-3=0.12.过点P（3，0）作一直线，使它夹在两直线l1：2x-y-2=0与l2:x+y+3=0之间的线段AB恰被点P平分，求此直线的方程.解 方法一 设点A（x，y）在l1上，由题意知，点B（6-x，-y），解方程组，得，k=.所求的直线方程为y=8(x-3),即8x-y-24=0.方法二 设所求的直线方程为y=k(x-3),则,解得,由,解得.P(3,0)是
26、线段AB的中点，yA+yB=0，即+=0，k2-8k=0，解得k=0或k=8.又当k=0时，xA=1,xB=-3,此时,k=0舍去，所求的直线方程为y=8(x-3),即8x-y-24=0.9.3 圆的方程基础自测1.方程x2+y2+ax+2ay+2a2+a-1=0表示圆，则a的取值范围是 .答案 -2a2.圆x2+y2+2x-4y+1=0关于直线2ax-by+2=0（a、bR）对称，则ab的取值范围是 .答案 3.过点A（1，-1），B（-1，1），且圆心在直线x+y-2=0上的圆的方程是 .答案 （x-1）2+(y-1)2=44.以点（2，-1）为圆心且与直线3x-4y+5=0相切的圆的方程
27、为 .答案 (x-2)2+(y+1)2=95.直线y=ax+b通过第一、三、四象限，则圆（x+a）2+(y+b)2=r2 (r0)的圆心位于第 象限.答案 二例1 已知圆C的半径为2，圆心在x轴的正半轴上，直线3x+4y+4=0与圆C相切，则圆C的方程为 .答案 x2+y2-4x=0例2 （14分）已知圆x2+y2+x-6y+m=0和直线x+2y-3=0交于P，Q两点，且OPOQ（O为坐标原点），求该圆的圆心 坐标及半径.解 方法一 将x=3-2y,代入方程x2+y2+x-6y+m=0,得5y2-20y+12+m=0.4分设P（x1,y1）,Q(x2,y2),则y1、y2满足条件：y1+y2=
28、4,y1y2=.6分OPOQ,x1x2+y1y2=0.8分而x1=3-2y1,x2=3-2y2.x1x2=9-6(y1+y2)+4y1y2.m=3,此时0,圆心坐标为，半径r=.14分方法二 如图所示，设弦PQ中点为M，O1MPQ，=2.O1M的方程为:y-3=2,即：y=2x+4.由方程组.解得M的坐标为（-1，2）.则以PQ为直径的圆可设为（x+1）2+（y-2）2=r2.6分OPOQ，点O在以PQ为直径的圆上.（0+1）2+（0-2）2=r2，即r2=5,MQ2=r2.在RtO1MQ中，O1Q2=O1M2+MQ2.+（3-2）2+5=.m=3.半径为,圆心为.14分方法三 设过P、Q的圆
29、系方程为x2+y2+x-6y+m+(x+2y-3)=0.由OPOQ知，点O（0，0）在圆上.m-3=0，即m=3.3分圆的方程可化为x2+y2+x-6y+3+x+2y-3=0即x2+(1+)x+y2+2(-3)y=0.6分圆心M，7分又圆在PQ上.-+2（3-）-3=0，=1，m=3.12分圆心为，半径为.14分例3 已知实数x、y满足方程x2+y2-4x+1=0.（1）求y-x的最大值和最小值；（2）求x2+y2的最大值和最小值.解 （1）y-x可看作是直线y=x+b在y轴上的截距，当直线y=x+b与圆相切时，纵截距b取得最大值或最小值，此时，解得b=-2.所以y-x的最大值为-2+，最小值
30、为-2-.（2）x2+y2表示圆上的一点与原点距离的平方，由平面几何知识知，在原点与圆心连线与圆的两个交点处取得最大值和最小值.又圆心到原点的距离为=2，所以x2+y2的最大值是（2+）2=7+4，x2+y2的最小值是（2-）2=7-4.1.（2008 山东文，11）若圆C的半径为1，圆心在第一象限，且与直线4x-3y=0和x轴都相切，则该圆的标准方程是 .答案 (x-2)2+(y-1)2=12.已知圆C：（x-1）2+(y-2)2=25及直线l:(2m+1)x+(m+1)y=7m+4 (mR).（1）证明：不论m取什么实数，直线l与圆C恒相交；（2）求直线l被圆C截得的弦长的最短长度及此时的
31、直线方程.（1）证明 直线l可化为x+y-4+m(2x+y-7)=0,即不论m取什么实数，它恒过两直线x+y-4=0与2x+y-7=0的交点.两方程联立，解得交点为（3，1），又有（3-1）2+（1-2）2=525,点（3，1）在圆内部，不论m为何实数，直线l与圆恒相交.（2）解 从（1）的结论和直线l过定点M（3，1）且与过此点的圆C的半径垂直时，l被圆所截的弦长|AB|最短，由垂径定理得|AB|=2=2=4.此时，kl=-,从而kl=-=2.l的方程为y-1=2(x-3),即2x-y=5.3.已知点P（x，y）是圆(x+2)2+y2=1上任意一点.（1）求P点到直线3x+4y+12=0的距
32、离的最大值和最小值；（2）求x-2y的最大值和最小值；（3）求的最大值和最小值.解 （1）圆心C（-2，0）到直线3x+4y+12=0的距离为d=.P点到直线3x+4y+12=0的距离的最大值为d+r=+1=，最小值为d-r=-1=.（2）设t=x-2y, 则直线x-2y-t=0与圆（x+2）2+y2=1有公共点.1.-2t-2，tmax=-2，tmin=-2-.（3）设k=，则直线kx-y-k+2=0与圆（x+2）2+y2=1有公共点，1.k,kmax=，kmin=.一、填空题1.圆x2+y2-2x+4y+3=0的圆心到直线x-y=1的距离为 .答案 2.两条直线y=x+2a,y=2x+a的
33、交点P在圆（x-1）2+(y-1)2=4的内部，则实数a的取值范围是 .答案 -a13.已知A（-2，0），B（0，2），C是圆x2+y2-2x=0上任意一点，则ABC面积的最大值是 .答案 3+4.圆心在抛物线y2=2x上且与x轴和该抛物线的准线都相切的圆的方程是 .答案 x2+y2-x2y+=05.若直线2ax-by+2=0 (a0,b0)始终平分圆x2+y2+2x-4y+1=0的周长，则的最小值是 .答案 46.从原点O向圆：x2+y2-6x+=0作两条切线，切点分别为P、Q，则圆C上两切点P、Q间的劣弧长为 .答案 7.（2008四川理，14）已知直线l：x-y+4=0与圆C：（x-1
34、）2+（y-1）2=2，则C上各点到l距离的最小值为 .答案 8.以直线3x-4y+12=0夹在两坐标轴间的线段为直径的圆的方程为 .答案 （x+2)2+=二、解答题9.根据下列条件求圆的方程：（1）经过坐标原点和点P（1,1），并且圆心在直线2x+3y+1=0上；（2）已知一圆过P（4,-2）、Q(-1,3)两点，且在y轴上截得的线段长为4,求圆的方程.解 （1）显然，所求圆的圆心在OP的垂直平分线上，OP的垂直平分线方程为：=，即x+y-1=0.解方程组,得圆心C的坐标为（4，-3）.又圆的半径r=|OC|=5,所以所求圆的方程为（x-4）2+(y+3)2=25.（2）设圆的方程为x2+y
35、2+Dx+Ey+F=0将P、Q点的坐标分别代入得： 令x=0，由得y2+Ey+F=0由已知|y1-y2|=4，其中y1、y2是方程的两根，所以（y1-y2）2=(y1+y2)2-4y1y2=E2-4F=48解、组成的方程组得D=-2，E=0，F=-12或D=-10，E=-8，F=4，故所求圆的方程为x2+y2-2x-12=0或x2+y2-10x-8y+4=0.10.已知P是直线3x+4y+8=0上的动点，PA、PB是圆x2+y2-2x-2y+1=0的两条切线，A、B是切点，C是圆心，求四边形PACB面积的最小值.解 将圆方程化为(x-1)2+(y-1)2=1,其圆心为C（1，1），半径r=1,
36、如图，由于四边形PACB的面积等于RtPAC面积的2倍，所以SPACB=2|PA|r=.要使四边形PACB面积最小,只需|PC|最小.当点P恰为圆心C在直线3x+4y+8=0上的正射影时,|PC|最小,由点到直线的距离公式,得|PC|min=3,故四边形PACB面积的最小值为2.11.已知圆x2+y2=4上一定点A(2,0),B(1,1)为圆内一点,P,Q为圆上的动点.(1)求线段AP中点的轨迹方程;(2)若PBQ=90,求线段PQ中点的轨迹方程.解 (1)设AP中点为M(x,y),由中点坐标公式可知,P点坐标为(2x-2,2y).P点在圆x2+y2=4上,(2x-2)2+(2y)2=4.故线
37、段AP中点的轨迹方程为(x-1)2+y2=1.(2)设PQ的中点为N(x,y),在RtPBQ中,|PN|=|BN|,设O为坐标原点,连结ON,则ONPQ,所以|OP|2=|ON|2+|PN|2=|ON|2+|BN|2,所以x2+y2+(x-1)2+(y-1)2=4.故线段PQ中点的轨迹方程为x2+y2-x-y-1=0.12.已知半径为5的动圆C的圆心在直线l:x-y+10=0上.(1)若动圆C过点(-5,0),求圆C的方程;(2)是否存在正实数r,使得动圆C中满足与圆O:x2+y2=r2相外切的圆有且仅有一个，若存在,请求出来;若不存在,请说明理由.解 (1)依题意,可设动圆C的方程为(x-a
38、)2+(y-b)2=25,其中圆心(a,b)满足a-b+10=0.又动圆过点(-5,0),(-5-a)2+(0-b)2=25.解方程组,可得或,故所求圆C的方程为(x+10)2+y2=25或(x+5)2+(y-5)2=25.(2)圆O的圆心(0,0)到直线l的距离d=5.当r满足r+5d时，动圆C中不存在与圆O：x2+y2=r2相外切的圆；当r满足r+5d时，r每取一个数值，动圆C中存在两个圆与圆O：x2+y2=r2相外切；当r满足r+5=d,即r=5-5时，动圆C中有且仅有1个圆与圆O：x2+y2=r2相外切.9.4 直线、圆的位置关系基础自测1.若直线ax+by=1与圆x2+y2=1相交，
39、则P（a，b）与圆的位置关系为 .答案 在圆外2.若直线4x-3y-2=0与圆x2+y2-2ax+4y+a2-12=0总有两个不同交点，则a的取值范围是 .答案 -6a43.两圆x2+y2-6x+16y-48=0与x2+y2+4x-8y-44=0的公切线条数为 .答案 24.若直线y=k(x-2)+4与曲线y=1+有两个不同的交点，则k的取值范围是 .答案 5.(2008重庆理，15)直线l与圆x2+y2+2x-4y+a=0 (a3)相交于两点A,B,弦AB的中点为(0,1),则直线l的方程为 .答案 x-y+1=0例1 已知圆x2+y2-6mx-2（m-1）y+10m2-2m-24=0（mR
40、）.（1）求证：不论m为何值，圆心在同一直线l上；（2）与l平行的直线中，哪些与圆相交、相切、相离；（3）求证：任何一条平行于l且与圆相交的直线被各圆截得的弦长相等.（1）证明 配方得：（x-3m）2+y -(m-1)2=25，设圆心为（x，y），则，消去m得l：x-3y-3=0，则圆心恒在直线l：x-3y-3=0上.（2）解 设与l平行的直线是l1：x-3y+b=0，则圆心到直线l1的距离为d=.圆的半径为r=5，当dr，即-5-3b5-3时，直线与圆相交；当d=r,即b=5-3时，直线与圆相切；当dr，即b-5-3或b5-3时，直线与圆相离.（3）证明 对于任一条平行于l且与圆相交的直线l
41、1：x-3y+b=0，由于圆心到直线l1的距离d=，弦长=2且r和d均为常量.任何一条平行于l且与圆相交的直线被各圆截得的弦长相等.例2 从点A（-3，3）发出的光线l射到x轴上，被x轴反射，其反射光线所在直线与圆x2+y2-4x-4y+7=0相切，求光线l 所在直线的方程.解 方法一 如图所示，设l与x轴交于点B（b,0)，则kAB=,根据光的反射定律，反射光线的斜率k反=.反射光线所在直线的方程为y=(x-b),即3x-(b+3)y-3b=0.已知圆x2+y2-4x-4y+7=0的圆心为C（2,2），半径为1,=1,解得b1=-,b2=1.kAB=-或kAB=-.l的方程为4x+3y+3=
42、0或3x+4y-3=0.方法二 已知圆C：x2+y2-4x-4y+7=0关于x轴对称的圆为C1：(x-2)2+(y+2)2=1，其圆心C1的坐标为（2，-2），半径为1，由光的反射定律知，入射光线所在直线方程与圆C1相切.设l的方程为y-3=k(x+3),则=1,即12k2+25k+12=0.k1=-，k2=-.则l的方程为4x+3y+3=0或3x+4y-3=0.方法三 设入射光线方程为y-3=k(x+3),反射光线所在的直线方程为y=-kx+b,由于二者横截距相等，且后者与已知圆相切.,消去b得.即12k2+25k+12=0,k1=-,k2=-.则l的方程为4x+3y+3=0或3x+4y-3
43、=0.例3 已知圆C1：x2+y2-2mx+4y+m2-5=0,圆C2：x2+y2+2x-2my+m2-3=0,m为何值时，（1）圆C1与圆C2相外切；（2）圆C1与圆C2内含？解 对于圆C1与圆C2的方程，经配方后C1:(x-m)2+(y+2)2=9;C2:(x+1)2+(y-m)2=4.（1）如果C1与C2外切，则有=3+2.(m+1)2+(m+2)2=25.m2+3m-10=0,解得m=-5或m=2.（2）如果C1与C2内含，则有3-2.(m+1)2+(m+2)21,m2+3m+20,得-2m-1,当m=-5或m=2时，圆C1与圆C2外切；当-2m-1时，圆C1与圆C2内含.例4 （14
44、分）已知点P（0，5）及圆C：x2+y2+4x-12y+24=0.（1）若直线l过P且被圆C截得的线段长为4，求l的方程；（2）求过P点的圆C的弦的中点的轨迹方程.解 （1）方法一 如图所示，AB=4，D是AB的中点，CDAB，AD=2，圆x2+y2+4x-12y+24=0可化为（x+2）2+（y-6）2=16，圆心C（-2，6），半径r=4，故AC=4，在RtACD中，可得CD=2.2分设所求直线的斜率为k，则直线的方程为y-5=kx,即kx-y+5=0.由点C到直线AB的距离公式：=2，得k=.此时直线l的方程为3x-4y+20=0.4分又直线l的斜率不存在时，此时方程为x=0.6分则y2
45、-12y+24=0,y1=6+2,y2=6-2,y2-y1=4,故x=0满足题意.所求直线的方程为3x-4y+20=0或x=0.8分方法二 设所求直线的斜率为k，则直线的方程为y-5=kx,即y=kx+5,联立直线与圆的方程,消去y得（1+k2）x2+(4-2k)x-11=0 2分设方程的两根为x1,x2,由根与系数的关系得 4分由弦长公式得|x1-x2|=4,将式代入，解得k=，此时直线的方程为3x-4y+20=0. 6分又k不存在时也满足题意，此时直线方程为x=0.所求直线的方程为x=0或3x-4y+20=0. 8分（2）设过P点的圆C的弦的中点为D（x,y）,则CDPD，即=0， 10分
46、（x+2,y-6）(x,y-5)=0,化简得所求轨迹方程为x2+y2+2x-11y+30=0. 14分1.m为何值时，直线2x-y+m=0与圆x2+y2=5.（1）无公共点；（2）截得的弦长为2；（3）交点处两条半径互相垂直.解 （1）由已知，圆心为O（0，0），半径r=,圆心到直线2x-y+m=0的距离d=，直线与圆无公共点，dr,即,m5或m-5.故当m5或m-5时，直线与圆无公共点.（2）如图所示，由平面几何垂径定理知r2-d2=12，即5-=1.得m=2,当m=2时，直线被圆截得的弦长为2.（3）如图所示，由于交点处两条半径互相垂直，弦与过弦两端的半径组成等腰直角三角形，d=r，即,解
47、得m=.故当m=时，直线与圆在两交点处的两条半径互相垂直.2.从圆C：x2+y2-4x-6y+12=0外一点P（a，b）向圆引切线PT，T为切点，且|PT|=|PO| （O为原点）.求|PT|的最小值及此时P的坐标.解 已知圆C的方程为(x-2)2+(y-3)2=1.圆心C的坐标为（2，3），半径r=1.如图所示，连结PC，CT.由平面几何知，|PT|2=|PC|2-|CT|2=（a-2）2+（b-3）2-1.由已知，|PT|=|PO|，|PT|2=|PO|2，即（a-2）2+（b-3）2-1=a2+b2.化简得2a+3b-6=0.得|PT|2=a2+b2=（13a2-24a+36）.当a=时
48、，|PT|min=.|PT|的最小值为，此时点P的坐标是.3.求过点P（4，-1）且与圆C：x2+y2+2x-6y+5=0切于点M（1，2）的圆的方程.解 方法一 设所求圆的圆心为A（m,n)，半径为r,则A,M,C三点共线，且有|MA|=|AP|=r，因为圆C：x2+y2+2x-6y+5=0的圆心为C（-1，3），则,解得m=3,n=1,r=,所以所求圆的方程为(x-3)2+(y-1)2=5.方法二 因为圆C：x2+y2+2x-6y+5=0过点M（1，2）的切线方程为2x-y=0,所以设所求圆A的方程为x2+y2+2x-6y+5+(2x-y)=0,因为点P（4，-1）在圆上，所以代入圆A的方
49、程，解得=-4,所以所求圆的方程为x2+y2-6x-2y+5=0.4.圆x2+y2=8内一点P（-1，2），过点P的直线l的倾斜角为，直线l交圆于A、B两点.（1）当=时,求AB的长；（2）当弦AB被点P平分时，求直线l的方程.解 （1）当=时，kAB=-1，直线AB的方程为y-2=-（x+1），即x+y-1=0.故圆心（0，0）到AB的距离d=，从而弦长|AB|=2=.（2）设A（x1，y1），B（x2，y2），则x1+x2=-2，y1+y2=4.由两式相减得（x1+x2）（x1-x2）+（y1+y2）（y1-y2）=0，即-2（x1-x2）+4（y1-y2）=0，kAB=.直线l的方程为y
50、-2=（x+1），即x-2y+5=0.一、填空题1.（2008辽宁理）若圆x2+y2=1与直线y=kx+2没有公共点，则k的取值范围为 .答案 (-,)2.（2008重庆理，3）圆O1：x2+y2-2x=0和圆O2：x2+y2-4y=0的位置关系是 .答案 相交3.已知圆C：（x-a）2+(y-2)2=4 (a0)及直线l:x-y+3=0,当直线l被圆C截得的弦长为2时，则a= .答案 -14.（2008全国文）若直线与圆x2+y2=1有公共点，则与1的大小关系是 .答案 15.能够使得圆x2+y2-2x+4y+1=0上恰有两个点到直线2x+y+c=0距离等于1的c的取值范围为 .答案 （-3
51、，-）（，3）6.（2008湖北理）过点A（11，2）作圆x2+y2+2x-4y-164=0的弦，其中弦长为整数的共有 条.答案 327.设直线ax-y+3=0与圆（x-1）2+(y-2)2=4相交于A、B两点，且弦AB的长为2，则a= .答案 08.（2008湖南文，14）将圆x2+y2=1沿x轴正向平移1个单位后得到圆C，则圆C的方程是 ；若过点（3，0）的直线l和圆C相切，则直线l的斜率是 .答案 （x-1）2+y2=1 或-二、解答题9.已知圆C：x2+y2+2x-4y+3=0.若圆C的切线在x轴和y轴上的截距的绝对值相等，求此切线的方程.解 切线在两坐标轴上截距的绝对值相等，切线的斜
52、率是1，或切线过原点.当切线不过原点时，设切线方程为y=-x+b或y=x+c,分别代入圆C的方程得2x2-2（b-3）x+（b2-4b+3）=0.或2x2+2(c-1)x+(c2-4c+3)=0,由于相切，则方程有等根，1=0，即2(b-3)2-42（b2-4b+3)=-b2+2b+3=0,b=3或-1,2=0,即2(c-1)2-42(c2-4c+3)=-c2+6c-5=0.c=5或1,当切线过原点时，设切线为y=kx,即kx-y=0.由=，得k=2,y=(2)x.故所求切线方程为：x+y-3=0，x+y+1=0，x-y+5=0，x-y+1=0,y=(2)x.10.已知曲线C：x2+y2-4a
53、x+2ay-20+20a=0.（1）证明：不论a取何实数，曲线C必过定点；（2）当a2时，证明曲线C是一个圆，且圆心在一条直线上；（3）若曲线C与x轴相切，求a的值.（1）证明 曲线C的方程可变形为(x2+y2-20)+(-4x+2y+20)a=0，由,解得，点（4，-2）满足C的方程，故曲线C过定点（4，-2）.（2）证明 原方程配方得(x-2a)2+(y+a)2=5(a-2)2,a2时，5(a-2)20,C的方程表示圆心是（2a,-a),半径是|a-2|的圆.设圆心坐标为（x,y），则有,消去a得y=-x,故圆心必在直线y=-x上.（3）解 由题意得|a-2|=|a|,解得a=.11.已知
54、圆C：x2+y2-2x+4y-4=0,问是否存在斜率是1的直线l，使l被圆C截得的弦AB，以AB为直径的圆经过原点，若存在，写出直线l皌方程；若不存在，说明理由.解 假设存在直线l满足题设条件，设l的方程为y=x+m,圆C化为（x-1）2+(y+2)2=9,圆心C（)，-2），则AB中点N是两直线x-y+m=0与i+2=-(x-)的交炩即N,以AB为直後的圆经迏原点，|AN|=|ON|，又CNAB，|KN|= EMBED Mqua|ion.3 ，|AN|=.又|ON|=，由|AN|=|ON|，解得m=-4或m=1.存在直线l，其方程为y=x-4或y=x+1.12.设O为坐标原点，曲线x2+y2
55、+2x-6y+1=0上有两点P、Q，满足关于直线x+my+4=0对称，又满足=0.（1）求m的值；（2）求直线PQ的方程.解 （1）曲线方程为（x+1）2+(y-3)2=9表示圆心为（-1，3），半径为3的圆.点P、Q在圆上且关于直线x+my+4=0对称，圆心（-1，3）在直线上，代入得m=-1.（2）直线PQ与直线y=x+4垂直，设P（x1，y1）、Q(x2，y2)，PQ方程为y=-x+b.将直线y=-x+b代入圆的方程，得2x2+2(4-b)x+b2-6b+1=0.=4(4-b)2-42(b2-6b+1)0,得2-3b2+3.由根与系数的关系得x1+x2=-(4-b),x1x2=.y1y2
56、=b2-b(x1+x2)+x1x2=+4b.=0，x1x2+y1y2=0，即b2-6b+1+4b=0,解得b=1(2-3,2+3),所求的直线方程为y=-x+1.9.5 曲线与方程基础自测1.已知坐标满足方程F（x，y）=0的点都在曲线C上，那么下列说法错误的是 （只填序号）.曲线C上的点的坐标都适合方程F（x，y）=0凡坐标不适合F（x，y）=0的点都不在C上不在C上的点的坐标有些适合F（x，y）=0，有些不适合F（x，y）=0不在C上的点的坐标必不适合F（x，y）=0答案 2.到两定点A（0，0），B（3，4）距离之和为5的点的轨迹是 .答案 线段AB3.动点P到两坐标轴的距离之和等于2，
57、则点P的轨迹所围成的图形面积是 .答案 84.（2008北京理）若点P到直线x=-1的距离比它到点（2，0）的距离小1，则点P的轨迹为 (写出曲线形状即可).答案 抛物线5.已知直线l的方程是f（x，y）=0，点M（x0，y0）不在l上，则方程f（x，y）-f（x0，y0）=0表示的曲线与l的位置关系是 .答案 平行例1 如图所示，过点P（2，4）作互相垂直的直线l1、l2.若l1交x轴于A，l2交y轴于B，求线段AB中点M的轨迹方程.解 设点M的坐标为（x,y）,M是线段AB的中点，A点的坐标为（2x,0），B点的坐标为（0，2y）.=（2x-2，-4），=（-2，2y-4）.由已知=0，-
58、2（2x-2）-4（2y-4）=0，即x+2y-5=0.线段AB中点M的轨迹方程为x+2y-5=0.例2 （5分）在ABC中，A为动点，B、C为定点，B（-,0），C（，0）且满足条件sinC-sinB=sinA,则动点A的轨迹方程是 .答案 -=1（y0)的右支例3 如图所示，已知P（4，0）是圆x2+y2=36内的一点，A、B是圆上两动点，且满足APB=90，求矩形APBQ的顶点Q的轨迹方程.解 设AB的中点为R，坐标为（x1，y1），Q点坐标为（x，y），则在RtABP中，|AR|=|PR|，又因为R是弦AB的中点，依垂径定理有RtOAR中，|AR|2=|AO|2-|OR|2=36-（x
59、+y）.又|AR|=|PR|=，所以有（x1-4）2+y=36-（x+y）.即x+y-4x1-10=0.因为R为PQ的中点，所以x1=，y1=.代入方程x+y-4x1-10=0，得-4-10=0.整理得x2+y2=56.这就是Q点的轨迹方程.1.已知两点M（-2，0）、N（2，0），点P为坐标平面内的动点，满足|+=0，求动点P（x，y）的轨迹方程.解 由题意：=（4，0），=（x+2,y）,=（x-2,y）,|+=0，+（x-2）4+y0=0，两边平方，化简得y2=-8x.2.已知圆C1：(x+3)2+y2=1和圆C2：（x-3）2+y2=9,动圆M同时与圆C1及圆C2相外切，求动圆圆心M的
60、轨迹方程.解 如图所示，设动圆M与圆C1及圆C2分别外切于点A和点B，根据两圆外切的充要条件，得|MC1|-|AC1|=|MA|，|MC2|-|BC2|=|MB|.因为|MA|=|MB|，所以|MC2|-|MC1|=|BC2|-|AC1|=3-1=2.这表明动点M到两定点C2，C1的距离之差是常数2.根据双曲线的定义，动点M的轨迹为双曲线的左支（点M到C2的距离大，到C1的距离小），这里a=1,c=3,则b2=8,设点M的坐标为（x,y）,其轨迹方程为x2-=1 (x-1).3.设F（1，0），M点在x轴上，P点在y轴上，且=2，当点P在y轴上运动时，求点N的轨迹方程.解 设M（x0，0），P
61、（0，y0），N（x，y），由=2得（x-x0，y）=2（-x0，y0），即.,=(x0,-y0), =(1,-y0),(x0,-y0)（1，-y0）=0,x0+y=0.-x+ =0,即y2=4x.故所求的点N的轨迹方程是y2=4x.一、填空题1.在平面直角坐标系xOy中，已知抛物线关于x轴对称，顶点在原点O，且过点P（2，4），则该抛物线的方程是 .答案 y2=8x2.已知两定点A（-2，0），B（1，0），如果动点P满足|PA|=2|PB|，则点P的轨迹所包围的图形的面积等于 .答案 4 3.长为3的线段AB的端点A、B分别在x轴、y轴上移动，=2，则点C的轨迹是 （写出形状即可）.答案
62、椭圆4.平面直角坐标系中，已知两点A（3，1），B（-1，3），若点C满足= +（O为原点），其中，R，且+=1，则点C的轨迹是 （写出形状即可）.答案 直线5.F1、F2是椭圆的两个焦点，M是椭圆上任一点，从任一焦点向F1MF2顶点M的外角平分线引垂线，垂足为P，则P点的轨迹为 （写出形状即可）.答案 圆6.一圆形纸片的圆心为O，点Q是圆内异于O的一个定点，点A是圆周上一动点，把纸片折叠使点A与点Q重合，然后抹平纸片，折痕CD与OA交于点P，当点A运动时，点P的轨迹为 （写出形状即可）.答案 椭圆7.已知ABC的顶点B（0，0），C（5，0），AB边上的中线长|CD|=3，则顶点A的轨迹方程
63、为 .答案 (x-10)2+y2=36(y0) 8.平面上有三点A（-2，y），B（0，），C（x，y），若，则动点C的轨迹方程为 .答案 y2=8x二、解答题9.如图所示，已知点C的坐标是（2，2），过点C的直线CA与x轴交于点A，过点C且与直线CA垂直的直线CB与y轴交于点B.设点M是线段AB的中点，求点M的轨迹方程.解 方法一 （参数法）：设M的坐标为（x,y）.若直线CA与x轴垂直，则可得到M的坐标为（1，1）.若直线CA不与x轴垂直，设直线CA的斜率为k，则直线CB的斜率为-，故直线CA方程为：y=k(x-2)+2,令y=0得x=2-,则A点坐标为(2-,0).CB的方程为：y=-(
64、x-2)+2,令x=0,得y=2+，则B点坐标为（0,2+），由中点坐标公式得M点的坐标为 消去参数k得到x+y-2=0 (x1),点M（1，1）在直线x+y-2=0上，综上所述，所求轨迹方程为x+y-2=0.方法二 （直接法）设M（x，y），依题意A点坐标为（2x,0）,B点坐标为（0，2y）.|MA|=|MC|，=,化简得x+y-2=0.方法三 （定义法）依题意|MA|=|MC|=|MO|,即:|MC|=|MO|,所以动点M是线段OC的中垂线，故由点斜式方程得到：x+y-2=0.10.如图所示，线段AB与CD互相垂直平分于点O，|AB|=2a（a0）,|CD|=2b (b0)，动点P满足|
65、PA|PB|=|PC|PD|.求动点P的轨迹方程.解 以O为坐标原点，直线AB、CD分别为x轴、y轴建立直角坐标系，则A（-a，0），B（a，0），C（0，-b），D（0，b）,设P（x，y），由题意知|PA|PB|=|PC|PD|，=,化简得x2-y2=.故动点P的轨迹方程为x2-y2=.11.已知两条直线l1:2x-3y+2=0和l2:3x-2y+3=0，有一动圆（圆心和半径都动）与l1、l2都相交，且l1、l2被圆截得的弦长分别是定值26和24,求圆心的轨迹方程.解 设动圆的圆心为M(x,y),半径为r,点M到直线l1,l2的距离分别为d1和d2.由弦心距、半径、半弦长间的关系得，即消去
66、r得动点M满足的几何关系为=25,即.化简得（x+1）2-y2=65.此即为所求的动圆圆心M的轨迹方程.12.已知椭圆上任意一点P，由P向x轴作垂线段PQ，垂足为Q，点M在线段PQ上，且=2，点M的轨迹为曲线E.（1）求曲线E的方程；（2）若过定点F（0，2）的直线l交曲线E于不同的两点G，H（点G在点F，H之间），且满足=2，求直线l的方程.解 （1）设M（x,y）,P(x0,y0),=2，,将其代入椭圆方程得得曲线E的方程为：. (2)设G（x1，y1）、H（x2，y2），=2，x2=2x1.依题意，当直线l斜率不存在时，G（0，1），H（0，-1），不满足=2.故设直线l:y=kx+2,
67、代入曲线E的方程并整理得（1+2k2）x2+8kx+6=0,x1+x2=-,x1x2=联立解得k=,所以直线l的方程为：y=x+2.9.6 椭圆基础自测1.已知椭圆的长轴长是短轴长的2倍，则椭圆的离心率等于 .答案 2.若椭圆=1的离心率为，则实数m= .答案 或3.已知ABC的顶点B、C在椭圆+y2=1上，顶点A是椭圆的一个焦点，且椭圆的另外一个焦点在BC边上，则ABC的周长是 .答案 44.已知方程+=1，表示焦点在y轴上的椭圆，则m的取值范围为 .答案 (-,-1)5.(2008天津文)设椭圆+=1(m0,n0)的右焦点与抛物线y2=8x的焦点相同，离心率为，则此椭圆的方程为 . 答案
68、=1例1 一动圆与已知圆O1：(x+3）2+y2=1外切，与圆O2：(x-3）2+y2=81内切，试求动圆圆心的轨迹方程.解 两定圆的圆心和半径分别为O1（-3，0），r1=1；O2（3，0），r2=9.设动圆圆心为M（x，y），半径为R，则由题设条件可得|MO1|=1+R，|MO2|=9-R.|MO1|+|MO2|=10.由椭圆的定义知：M在以O1、O2为焦点的椭圆上，且a=5，c=3.b2=a2-c2=25-9=16，故动圆圆心的轨迹方程为=1.例2 （1）已知椭圆以坐标轴为对称轴，且长轴是短轴的3倍，并且过点P（3，0），求椭圆的方程；（2）已知椭圆的中心在原点，以坐标轴为对称轴，且经过
69、两点P1（，1）、P2（-，-），求椭圆的方程.解 （1）若焦点在x轴上，设方程为=1 (ab0).椭圆过P（3，0），=1.又2a=32b,a=3,b=1,方程为.若焦点在y轴上，设方程为=1(ab0).椭圆过点P（3，0），=1又2a=32b,a=9,b=3.方程为=1. 所求椭圆的方程为或=1.（2）设椭圆方程为mx2+ny2=1(m0,n0且mn).椭圆经过P1、P2点，P1、P2点坐标适合椭圆方程，则 、两式联立，解得所求椭圆方程为.例3 已知F1、F2是椭圆的两个焦点，P为椭圆上一点，F1PF2=60.（1）求椭圆离心率的范围；（2）求证：F1PF2的面积只与椭圆的短轴长有关.（1
70、）解 设椭圆方程为=1 （ab0）,|PF1|=m,|PF2|=n.在PF1F2中，由余弦定理可知，4c2=m2+n2-2mncos60.m+n=2a，m2+n2=（m+n）2-2mn=4a2-2mn，4c2=4a2-3mn.即3mn=4a2-4c2.又mn=a2（当且仅当m=n时取等号）,4a2-4c23a2，即e.e的取值范围是.（2）证明 由（1）知mn=b2,=mnsin60=b2,即PF1F2的面积只与短轴长有关.例4 （16分）如图所示，已知A、B、C是椭圆E：=1（ab0)上的三点，其中点 A的坐标为（2，0）,BC过椭圆的中心O，且ACBC，|BC|=2|AC|.（1）求点C的
71、坐标及椭圆E的方程；（2）若椭圆E上存在两点P、Q，使得PCQ的平分线总是垂直于x轴，试判断向量与是否共线，并给出证明.解 （1）|BC|=2|AC|，且BC经过O（0，0）,|OC|=|AC|.又A（2，0），ACB=90,C（，）,3分a=2，将a=2及C点坐标代入椭圆方程得=1,b2=4,椭圆E的方程为:=1.7分（2）对于椭圆上两点P、Q，PCQ的平分线总垂直于x轴，PC与CQ所在直线关于直线x=对称，设直线PC的斜率为k，则直线CQ的斜率为-k，直线PC的方程为y-=k(x-),即y=k(x-)+.直线CQ的方程为y=-k(x-)+,10分将代入=1,得(1+3k2)x2+6k(1-
72、k)x+9k2-18k-3=0,C(,)在椭圆上，x=是方程的一个根.xP=，xP=，同理可得,xQ=,kPQ=.14分C（，），B（-，-），又A（2，0），kAB=，15分kAB=kPQ，向量与向量共线.16分1.已知椭圆=1的左、右焦点分别为F1、F2，M是椭圆上一点，N是MF1的中点，若|ON|=1，则|MF1|的长等于 .答案 62.根据下列条件求椭圆的标准方程：（1）已知P点在以坐标轴为对称轴的椭圆上，点P到两焦点的距离分别为和，过P作长轴的垂线恰好过椭圆的一个焦点；（2）经过两点A（0，2）和B.解 （1）设椭圆的标准方程是=1或=1，则由题意知2a=|PF1|+|PF2|=2，
73、a=.在方程=1中令x=c得|y|=在方程=1中令y=c得|x|=依题意并结合图形知=.b2=.即椭圆的标准方程为=1或=1.（2）设经过两点A（0，2），B的椭圆标准方程为mx2+ny2=1，代入A、B得，所求椭圆方程为.3.（2008江苏，12）在平面直角坐标系中，椭圆(ab0)的焦距为2，以O为圆心，a为半径作圆，过点 作圆的两切线互相垂直，则离心率e= .答案 4.在平面直角坐标系xOy中，经过点（0，）且斜率为k的直线l与椭圆+y2=1有两个不同的交点P和Q.（1）求k的取值范围；（2）设椭圆与x轴正半轴、y轴正半轴的交点分别为A、B，是否存在常数k，使得向量+与共线？如果存在，求k
74、值；如果不存在，请说明理由.解 （1）由已知条件知直线l的方程为y=kx+,代入椭圆方程得+(kx+)2=1.整理得+2kx+1=0直线l与椭圆有两个不同的交点P和Q等价于=8k2-4=4k2-20,解得k-或k.即k的取值范围为(-,- )(,+).（2）设P（x1，y1），Q（x2，y2），则+=（x1+x2，y1+y2），由方程得x1+x2=-又y1+y2=k(x1+x2)+2而A（，0），B（0，1），=（-，1）.所以+与共线等价于x1+x2=-(y1+y2)，将代入上式，解得k=.由（1）知k-或k,故没有符合题意的常数k.一、填空题1.已知椭圆的长轴长是8，离心率是，则此椭圆的标
75、准方程是 .答案 =1或=12.若椭圆的对称轴在坐标轴上，短轴的一个端点与两个焦点组成一个正三角形，焦点到椭圆上的点的最短距离为，则这个椭圆的方程为 .答案 或3.若椭圆的中心在原点，一个焦点为（0，5），直线y=3x-2与它相交所得的中点横坐标为，则这个椭圆的方程为 .答案 4.椭圆的左、右焦点分别为F1和F2，点P在椭圆上，如果线段PF1的中点在y轴上，那么|PF1|是|PF2|的 倍.答案 75.已知椭圆(a5)的两个焦点为F1、F2，且|F1F2|=8，弦AB过点F1，则ABF2的周长为 .答案 46.已知以F1（-2,0），F2(2,0)为焦点的椭圆与直线x+y+4=0有且仅有一个交
76、点，则椭圆的长轴长为 .答案 27.经过椭圆+y2=1的一个焦点作倾斜角为45的直线l,交椭圆于A、B两点，设O为坐标原点，则等于 .答案 -8.（2008全国理，15）在ABC中，AB=BC，cosB=-，若以A、B为焦点的椭圆经过点C，则该椭圆的离心率e= .答案 二、解答题9.求适合下列条件的椭圆的标准方程：（1）两个焦点坐标分别为（-4，0）和（4，0），且椭圆经过点（5，0）；（2）焦点在y轴上，且经过两个点（0，2）和（1，0）；（3）经过P（-2，1），Q（，-2）两点.解 （1）由于椭圆的焦点在x轴上，所以设它的标准方程为=1(ab0).2a=10,a=5.又c=4,b2=a2
77、-c2=25-16=9.故所求椭圆的方程为=1.(2)由于椭圆的焦点在y轴上，所以设它的标准方程为=1 (ab0).由于椭圆经过点（0，2）和（1，0），故所求椭圆的方程为+x2=1.(3)设椭圆的标准方程为mx2+ny2=1 (m0,n0,mn),点P（-2,1）,Q(,-2)在椭圆上，代入上述方程得解得=1.10.如图所示，点P是椭圆=1上的一点，F1和F2是焦点，且F1PF2=30,求F1PF2的面积.解 在椭圆=1中，a=,b=2.c= =1.又点P在椭圆上，|PF1|+|PF2|=2a=2. 由余弦定理知：|PF1|2+|PF2|2-2|PF1|PF2|cos30 =|F1F2|2=
78、(2c)2=4.式两边平方得|PF1|2+|PF2|2+2|PF1|PF2|=20，-得（2+）|PF1|PF2|=16，|PF1|PF2|=16（2-），=|PF1|PF2|sin30=8-4.11.已知椭圆的中心在原点，离心率为，一个焦点是F（-m，0）（m是大于0的常数）.（1）求椭圆的方程；（2）设Q是椭圆上的一点，且过点F、Q的直线l与y轴交于点M，若|=2|，求直线l的斜率.解 （1）设所求椭圆方程是=1（ab0）.由已知，得c=m，=，a=2m，b=m.故所求的椭圆方程是：=1.（2）设Q（xQ，yQ），直线l：y=k（x+m），则点M（0，km），当=2时，由于F（-m，0），
79、M（0，km），（xQ-0，yQ-km）=2（-m-xQ，0-yQ）xQ=-，yQ=.又点Q在椭圆上，所以=1.解得k=2.当=-2时，xQ=-2m，yQ=-km.于是+=1,解得k=0.故直线l的斜率是0，2. 12.已知椭圆=1(ab0)的离心率为，直线y=x+1与椭圆相交于A、B两点，点M在椭圆上， = +，求椭圆的方程.解 由e=得a2=4b2,椭圆可化为:x2+4y2=4b2.将y=x+1代入上式，消去y并整理得：x2+2x+2-2b2=0.直线y=x+1与椭圆交于A、B两点，=4-4（2-2b2）0,b.设A（x1,y1）,B(x2,y2),M(x,y),则由= +,得.M在椭圆上
80、，（x1+x2)2+(y1+y2)2=4b2,x1x2+4y1y2=0.x1x2+4=0，即x1x2+(x1+x2)+2=0又由知x1+x2=-2,x1x2=2-2b2,代入中得b2=1,满足b.椭圆方程为+y2=1.9.7 双曲线基础自测1.已知双曲线的离心率为2，焦点是（-4，0），（4，0），则双曲线方程为 .答案 =12.过双曲线x2-y2=8的左焦点F1有一条弦PQ在左支上，若|PQ|=7，F2是双曲线的右焦点，则PF2Q的周长是 .答案 14+83.已知椭圆=1（ab0）与双曲线=1（m0,n0）有相同的焦点（-c，0）和（c，0）.若c是a与m的等比中项，n2是m2与c2的等差中
81、项，则椭圆的离心率等于 .答案 4.设F1、F2分别是双曲线=1的左、右焦点.若双曲线上存在点A，使F1AF2=90且|AF1|=3|AF2|,则双曲线的离心率为 .答案 5.（2008上海春招）已知P是双曲线=1右支上的一点，双曲线的一条渐近线方程为3x-y=0,设F1、F2分别为双曲线的左、右焦点.若|PF2|=3，则|PF1|= .答案 5例1 已知动圆M与圆C1：（x+4）2+y2=2外切，与圆C2：（x-4）2+y2=2内切，求动圆圆心M的轨迹方程.解 设动圆M的半径为r，则由已知|MC1|=r+，|MC2|=r-，|MC1|-|MC2|=2.又C1（-4，0），C2（4，0），|C
82、1C2|=8，2|C1C2|.根据双曲线定义知，点M的轨迹是以C1（-4，0）、C2（4，0）为焦点的双曲线的右支.a=，c=4，b2=c2-a2=14，点M的轨迹方程是=1（x）.例2 根据下列条件，求双曲线的标准方程.（1）与双曲线=1有共同的渐近线，且过点（-3，2）；（2）与双曲线=1有公共焦点，且过点（3，2）.解 （1）设所求双曲线方程为=(0),将点（-3,2）代入得=,所以双曲线方程为=，即=1.(2)设双曲线方程为=1.由题意易求c=2.又双曲线过点（3，2），-=1.又a2+b2=（2）2，a2=12，b2=8.故所求双曲线的方程为=1.例3 双曲线C：=1 (a0,b0)
83、的右顶点为A，x轴上有一点Q（2a，0），若C上存在一点P，使=0，求此双曲线离心率的取值范围.解 设P点坐标为（x,y），则由=0，得APPQ，则P点在以AQ为直径的圆上，即+y2=又P点在双曲线上，得=1由，消去y,得(a2+b2)x2-3a3x+2a4-a2b2=0.即（a2+b2）x2-（2a3-ab2）（x-a）=0.当x=a时，P与A重合，不符合题意，舍去.当x=时，满足题意的P点存在，需x=a,化简得a22b2,即3a22c2,.离心率e=.例4 (14分)已知双曲线C：-=1（01）的右焦点为B，过点B作直线交双曲线C的右支于M、N两点，试确定的范围，使=0，其中点O为坐标原点
84、.解 设M（x1，y1），N（x2，y2），由已知易求B（1，0），当MN垂直于x轴时，MN的方程为x=1，设M（1，y0），N（1，-y0）（y00），由=0，得y0=1，M（1，1），N（1，-1）.又M（1，1），N（1，-1）在双曲线上，-=12+-1=0=，4分因为01,所以=.5分当MN不垂直于x轴时，设MN的方程为y=k(x-1).由,得-(1-)k2x2+2(1-)k2x-(1-)(k2+)=0,8分由题意知：-(1-)k20,所以x1+x2=,x1x2=,于是y1y2=k2(x1-1)(x2-1)=,10分因为=0,且M、N在双曲线右支上，所以.13分由，知.14分1.由双曲
85、线=1上的一点P与左、右两焦点F1、F2构成PF1F2，求PF1F2的内切圆与边F1F2的切点坐标.解 由双曲线方程知a=3,b=2,c=.如右图，根据从圆外一点引圆的两条切线长相等及双曲线定义可得|PF1|-|PF2|=2a.由于|NF1|-|NF2|=|PF1|-|PF2|=2a.|NF1|+|NF2|=2c.由得|NF1|=a+c.|ON|=|NF1|-|OF1|=a+c-c=a=3.故切点N的坐标为（3，0）.根据对称性，当P在双曲线左支上时，切点N的坐标为（-3，0）.2.已知双曲线的渐近线的方程为2x3y=0,（1）若双曲线经过P（，2），求双曲线方程；（2）若双曲线的焦距是2，求
86、双曲线方程；（3）若双曲线顶点间的距离是6，求双曲线方程.解 方法一 （1）由双曲线的渐近线方程y=x及点P（，2）的位置可判断出其焦点在y轴上，（a0,b0）故可设双曲线方程为.依题意可得故所求双曲线方程为.(2)若焦点在x轴上，可设双曲线方程为.依题意此时所求双曲线方程为=1.若焦点在y轴上，可设双曲线方程为.依题意此时所求双曲线方程为.故所求双曲线方程为=1或.（3）若焦点在x轴上，则a=3,且=.a=3,b=2,双曲线方程为=1.若焦点在y轴上，则a=3,且=.a=3,b=,双曲线方程为.故所求双曲线方程为=1或.方法二 由双曲线的渐近线方程=0,可设双曲线方程为(0).(1)双曲线经
87、过点P（，2），=,即=-,故所求双曲线方程为=1.(2)若0，则a2=9,b2=4,c2=a2+b2=13.由题设2c=2,则13=13,即=1.此时，所求双曲线方程为=1.若0，则a2=-4,b2=-9,c2=a2+b2=-13.由题设2c=2,得=-1.此时，所求双曲线方程为=-1.故所求双曲线方程为=1或=1.（3）若0，则a2=9,由题设知2a=6.=1，此时所求双曲线方程为=1.若0，则a2=-4,由题设知2a=6,知=-.此时所求双曲线方程为.故所求双曲线方程为=1或.3.已知双曲线的中心在原点，焦点F1、F2在坐标轴上，离心率为,且过点P（4，-）.（1）求双曲线方程；（2）若
88、点M（3，m）在双曲线上，求证：=0；（3）求F1MF2的面积.（1）解 e=，可设双曲线方程为x2-y2=(0).过点（4，-），16-10=，即=6.双曲线方程为x2-y2=6.（2）证明 方法一 由（1）可知，双曲线中a=b=,c=2,F1(-2,0),F2(2,0),=,=,=-.点（3，m)在双曲线上，9-m2=6,m2=3,故=-1,MF1MF2，=0.方法二 =（-3-2，-m），=（2-3，-m），=（3+2）（3-2）+m2=-3+m2.M点在双曲线上，9-m2=6，即m2-3=0,=0.（3）解 F1MF2的底|F1F2|=4,F1MF2的高h=|m|=,=6.4.（200
89、8天津理，21）已知中心在原点的双曲线C的一个焦点是F1(-3,0),一条渐近线的方程是x-2y=0.(1)求双曲线C的方程;(2)若以k(k0)为斜率的直线l与双曲线C相交于两个不同的点M,N且线段MN的垂直平分线与两坐标轴围成的三角形的面积为,求k的取值范围.解 （1）设双曲线C的方程为=1（a0,b0）.由题设得 解得所以双曲线C的方程为=1.（2）设直线l的方程为y=kx+m (k0).点M（x1，y1），N（x2，y2）的坐标满足方程组 将式代入式，得-=1,整理得(5-4k2)x2-8kmx-4m2-20=0.此方程有两个不等实根，于是5-4k20,且=(-8km)2+4(5-4k
90、2)(4m2+20)0,整理得m2+5-4k20.由根与系数的关系可知线段MN的中点坐标（x0,y0）满足x0=,y0=kx0+m=.从而线段MN的垂直平分线的方程为y-.此直线与x轴、y轴的交点坐标分别为,.由题设可得=.整理得m2=,k0.将上式代入式得+5-4k20,整理得(4k2-5)(4k2-|k|-5)0,k0.解得0|k|或|k|.所以k的取值范围是(-,- )(-,0)(0, )(,+).一、填空题1.双曲线mx2+y2=1的虚轴长是实轴长的2倍，则m= .答案 -2.双曲线=1和椭圆=1 (a0,mb0)的离心率互为倒数，那么以a,b,m为边长的三角形是 三角形.答案 直角3
91、.（2008重庆理）已知双曲线=1（a0,b0）的一条渐近线为y=kx（k0）,离心率e=k，则双曲线方程为 .答案 =14.已知双曲线=1的右焦点为F，若过点F的直线与双曲线的右支有且只有一个交点，则此直线斜率的取值范围是 .答案 5.如图，F1和F2分别是双曲线=1(a0,b0)的两个焦点，A和B是以O为圆心，以|OF1|为半径的圆与该双曲线左支的两个交点，且F2AB是等边三角形，则双曲线的离心率为 .答案 1+6.设F1、F2分别是双曲线x2-=1的左、右焦点.若点P在双曲线上，且=0,则|+|= .答案 27.若双曲线x2-y2=1右支上一点P（a，b）到直线y=x的距离为，则a+b的
92、值是 .答案 8.（2008安徽文，14）已知双曲线=1的离心率为,则n= .答案 4二、解答题9.求与双曲线=1共渐近线，且过点A（2，-3）的双曲线方程.解 方法一 双曲线=1的渐近线方程为y=x，分两种情况讨论：(1)设所求双曲线方程为=1，=，b=aA（2，-3）在双曲线上，=1联立，得方程组无解，(2)设双曲线方程为=1，= 点A（2，-3）在双曲线上，=1 由联立方程组，解得a2=，b2=4.双曲线方程为：=1.方法二 由题意，设双曲线方程为=t（t0），点A（2，-3）在双曲线上，=t，t=-，双曲线方程为：=1.10.已知定点A（0，7）、B（0，-7）、C（12，2），以C为
93、一个焦点作过A、B的椭圆，求另一焦点F的轨迹方程.解 设F（x，y）为轨迹上的任意一点，A、B两点在以C、F为焦点的椭圆上，|FA|+|CA|=2a，|FB|+|CB|=2a（其中a表示椭圆的长半轴长），|FA|+|CA|=|FB|+|CB|，|FA|-|FB|=|CB|-|CA|=-=2.|FA|-|FB|=2.由双曲线的定义知，F点在以A、B为焦点，2为实轴长的双曲线的下半支上，点F的轨迹方程是y2-=1(y-1).11.已知点N（1，2），过点N的直线交双曲线x2-=1于A、B两点，且=（+）.（1）求直线AB的方程；（2）若过N的直线交双曲线于C、D两点，且=0，那么A、B、C、D四点
94、是否共圆？为什么？解 （1）由题意知直线AB的斜率存在.设直线AB：y=k（x-1）+2，代入x2-=1得(2-k2)x2-2k(2-k)x-(2-k)2-2=0.(*)令A（x1,y1）,B(x2,y2),则x1、x2是方程（*）的两根，2-k20且x1+x2=.=（+），N是AB的中点，=1,k（2-k）=-k2+2,k=1,直线AB的方程为y=x+1.（2）将k=1代入方程（*）得x2-2x-3=0,解得x=-1或x=3,不妨设A（-1，0），B（3，4）.=0，CD垂直平分AB，CD所在直线方程为y=-(x-1)+2,即y=3-x,代入双曲线方程整理得x2+6x-11=0,令C（x3,
95、y3）,D(x4,y4)及CD中点M（x0,y0）则x3+x4=-6,x3x4=-11,x0=-3，y0=6，即M(-3,6).|CD|=|x3-x4|=4；|MC|=|MD|=|CD|=2，|MA|=|MB|=2，即A、B、C、D到M距离相等，A、B、C、D四点共圆.12.直线l:y=kx+1与双曲线C:2x2-y2=1的右支交于不同的两点A、B.（1）求实数k的取值范围；（2）是否存在实数k,使得以线段AB为直径的圆经过双曲线C的右焦点F？若存在，求出k的值；若不存在，说明理由.解 （1）将直线l的方程y=kx+1代入双曲线C的方程2x2-y2=1后，整理得(k2-2)x2+2kx+2=0
96、 依题意，直线l与双曲线C的右支交于不同两点，故解得k的取值范围为-2k-.(2)设A、B两点的坐标分别为(x1,y1),(x2,y2),则由式得 假设存在实数k，使得以线段AB为直径的圆经过双曲线C的右焦点F（c,0），则由FAFB得（x1-c）(x2-c)+y1y2=0.即(x1-c)(x2-c)+(kx1+1)(kx2+1)=0.整理得： (k2+1)x1x2+(k-c)(x1+x2)+c2+1=0把式及c=代入式化简得5k2+2k-6=0.解得k=-或k=(-2,-)（舍去）.可知k=-使得以线段AB为直径的圆经过双曲线C的右焦点.9.8 抛物线基础自测1.设a0,aR，则抛物线y=4
97、ax2的焦点坐标为 .答案 2.若抛物线y2=2px的焦点与椭圆+=1的右焦点重合，则p的值为 .答案 43.抛物线y2=24ax(a0)上有一点M，它的横坐标是3，它到焦点的距离是5，则抛物线的方程为 .答案 y2=8x4.（2008重庆文）若双曲线=1的左焦点在抛物线y2=2px的准线上，则p的值为 .答案 45.（2008全国文，15）已知F是抛物线C：y2=4x的焦点，A、B是抛物线C上的两个点，线段AB的中点为M（2，2），则ABF的面积等于 .答案 2例1 已知抛物线y2=2x的焦点是F，点P是抛物线上的动点，又有点A（3，2），求|PA|+|PF|的最小值，并求出取最 小值时P点
98、的坐标.解 将x=3代入抛物线方程y2=2x，得y=.2，A在抛物线内部.设抛物线上点P到准线l：x=-的距离为d，由定义知|PA|+|PF|=|PA|+d，当PAl时，|PA|+d最小，最小值为，即|PA|+|PF|的最小值为，此时P点纵坐标为2，代入y2=2x，得x=2，点P坐标为（2，2）.例2已知抛物线顶点在原点，焦点在坐标轴上，又知此抛物线上的一点A（m,-3）到焦点F的距离为5，求m的值，并写出此抛物线的方程.解 若抛物线开口方向向下，设抛物线方程为x2=-2py(p0)，这时准线方程为y=,由抛物线定义知-(-3)=5,解得p=4,抛物线方程为x2=-8y,这时将点A（m,-3）
99、代入方程，得m=2.若抛物线开口方向向左或向右，可设抛物线方程为y2=2ax (a0)，从p=|a|知准线方程可统一成x=-的形式，于是从题设有，解此方程组可得四组解,，.y2=2x,m=；y2=-2x,m=-；y2=18x,m=；y2=-18x,m=-.例3 （2008山东理，22改编）(16分)如图所示,设抛物线方程为x2=2py (p0),M为直线y=-2p上任意一点,过M 引抛物线的切线,切点分别为A,B.(1)求证:A,M,B三点的横坐标成等差数列；(2)已知当M点的坐标为(2,-2p)时,|AB|=4.求此时抛物线的方程.(1)证明 由题意设A,B,x1x2,M.由x2=2py得y
100、=,则y=,所以kMA=,kMB=. 2分因此,直线MA的方程为y+2p=(x-x0),直线MB的方程为y+2p=(x-x0).所以,+2 p = (x1-x0),+2 p =(x2-x0).5分由、得=，因此，x0=，即2x0=.所以A、M、B三点的横坐标成等差数列. 8分（2）解 由（1）知，当x0=2时，将其代入、，并整理得：x-4x1-4p2=0，x-4x2-4 p 2=0，所以，x1、x2是方程x2-4x-4 p 2=0的两根，10分因此，x1+x2=4，x1x2=-4 p 2，又kAB=，所以kAB=. 12分由弦长公式得|AB|=.又|AB|=4，所以p=1或p=2，因此所求抛物
101、线方程为x2=2y或x2=4y.16分1.（2008辽宁理，10）已知点P是抛物线y2=2x上的一个动点，则点P到点（0，2）的距离与点P到该抛物线准线的距离之和的最小值为 .答案 2.已知抛物线C的顶点在原点，焦点F在x轴正半轴上，设A、B是抛物线C上的两个动点（AB不垂直于x轴），但|AF|+|BF|=8，线段AB的垂直平分线恒经过定点Q（6，0），求此抛物线的方程.解 设抛物线的方程为y2=2 p x(p0),其准线为x=-.设A（x1,y1）,B(x2,y2),|AF|+|BF|=8，x1+x2+=8，即x1+x2=8-p.Q（6，0）在线段AB的中垂线上，|QA|=|QB|.即(x1
102、-6)2+y12=(x2-6)2+y22,又y12=2px1,y22=2px2,(x1-x2)(x1+x2-12+2p)=0.AB与x轴不垂直，x1x2,故x1+x2-12+2p=8- p-12+2 p=0,即p=4.从而抛物线的方程为y2=8x.3.已知以向量v=为方向向量的直线l过点，抛物线C：y2=2px（p0）的顶点关于直线l的对称点在该抛物线的准线上.（1）求抛物线C的方程；（2）设A、B是抛物线C上两个动点，过A作平行于x轴的直线m,直线OB与直线m交于点N，若+p2=0 （O为原点，A、B异于原点），试求点N的轨迹方程.解 （1）由题意可得直线l的方程为y=x+,过原点垂直于l的
103、直线方程为y=-2x.解得x=-.抛物线的顶点关于直线l的对称点在该抛物线的准线上，-=-2, p=2.抛物线C的方程为y2=4x.(2)设A(x1,y1),B(x2,y2),N(x,y),由题意知y=y1.由+ p 2=0，得x1x2+y1y2+4=0,又y12=4x1,y22=4x2,解得y1y2=-8, 直线ON：y=x，即y=x. 由、及y=y1得点N的轨迹方程为x=-2(y0).一、填空题1.若点P到点F（0，2）的距离比它到直线y+4=0的距离小2，则P的轨迹方程为 .答案 x2=8y2.设F为抛物线y2=ax (a0)的焦点，点P在抛物线上，且其到y轴的距离与到点F的距离之比为1
104、2，则|PF|= .答案 3.已知点P是抛物线y2=2x上的动点，点P在y轴上的射影是M，点A的坐标是，则|PA|+|PM|的最小值是 .答案 4.已知抛物线y2=4x,过焦点的弦AB被焦点分成长为m、n（mn)的两段，那么m+n与mn的大小关系是 .答案 相等5.设坐标原点为O，抛物线y2=2x与过焦点的直线交于A、B两点，则= .答案 -6.设F为抛物线y2=4x的焦点，A、B、C为该抛物线上三点.若+=0,则|+|+|= .答案 67.（2008全国理，15）已知F为抛物线C：y2=4x的焦点，过F且斜率为1的直线交抛物线C于A、B两点.设|FA|FB|,则|FA|与|FB|的比值等于
105、.答案 3+28.（2008江西理，15）过抛物线x2=2py（p0）的焦点F作倾斜角为30的直线,与抛物线分别交于A、B两点（点A在y轴左侧），则= .答案 二、解答题9.已知抛物线y2=2px(p0)有一个内接直角三角形，直角顶点在原点，斜边长为2，一直角边的方程是y=2x,求抛物线的方程.解 因为一直角边的方程是y=2x,所以另一直角边的方程是y=-x.由，解得,或（舍去）， 由,解得,或（舍去）,三角形的另两个顶点为和（8 p,-4p）.=2.解得p=,故所求抛物线的方程为y2=x.10.抛物线顶点在原点，它的准线过双曲线=1（a0,b0）的一个焦点，并与双曲线实轴垂直，已知抛物线与双
106、曲线的一个交点为，求抛物线与双曲线方程.解 由题设知，抛物线以双曲线的右焦点为焦点，准线过双曲线的左焦点，p=2c.抛物线方程为y2=4cx.抛物线过点，6=4c.c=1，故抛物线方程为y2=4x.又双曲线=1过点，=1.又a2+b2=c2=1.=1.a2=或a2=9（舍）.b2=，故双曲线方程为4x2-=1.11.如图所示，倾斜角为的直线经过抛物线y2=8x的焦点F，且与抛物线交于A、B两点.（1）求抛物线焦点F的坐标及准线l的方程；（2）若为锐角，作线段AB的垂直平分线m交x轴于点P，证明|FP|-|FP|cos2为定值， 并求此定值.（1）解 由已知得2 p=8,=2,抛物线的焦点坐标为
107、F（2，0），准线方程为x=-2.（2）证明 设A（xA，yA），B（xB，yB），直线AB的斜率为k=tan,则直线方程为y=k(x-2),将此式代入y2=8x,得k2x2-4(k2+2)x+4k2=0,故xA+xB=,记直线m与AB的交点为E（xE,yE)，则xE=,yE=k(xE-2)=,故直线m的方程为y-=-,令y=0,得点P的横坐标xP=+4,故|FP|=xP-2=,|FP|-|FP|cos2=(1-cos2)=8,为定值.12.已知点P（-3，0），点A在y轴上，点Q在x轴非负半轴上，点M在直线AQ上，满足=0，=-.（1）当点A在y轴上移动时，求动点M的轨迹C的方程；（2）设轨
108、迹C的准线为l,焦点为F，过F作直线m交轨迹C于G，H两点，过点G作平行于轨迹C的对称轴的直线n,且nl=E，试问点E，O，H（O为坐标原点）是否在同一条直线上？并说明理由.解 （1）设M（x,y）为轨迹上任意一点，A（0,b）,Q(a,0)(a0),则=（x,y-b），=(a-x,-y), =-，（x，y-b）=-（a-x，-y），从而.A，且=, =.=0，=0，即3x-y2=0,y2=4x,故M点的轨迹方程为y2=4x.(2)轨迹C的焦点为F（1，0），准线为l:x=-1,对称轴为x轴.设直线m的方程为y=k(x-1)(k0),由ky2-4y-4k=0,设G（x1,y1）,H(x2,y2
109、),则由根与系数的关系得，y1y2=-4,又由已知=（-1，y1),=,(-1)y2-y1=-y2-y2=-y2+y2=0,故O，E，H三点共线.单元检测九一、填空题（本大题共14小题，每小题5分，共70分）1.（2008福建文）“a=1”是“直线x+y=0和直线x-ay=0互相垂直”的 条件.答案 充要2.过点（-1，3）且平行于直线x-2y+3=0的直线方程为 .答案 x-2y+7=03.（2008安徽理）若过点A（4，0）的直线l与曲线(x-2)2+y2=1有公共点，则直线l的斜率的取值范围为 .答案 4.过点M（2，1）的直线l与x轴，y轴分别交于P、Q两点且|MP|=|MQ|，则l的
110、方程是 .答案 x+2y-4=05.直线x-2y-3=0与圆C：(x-2)2+(y+3)2=9交于E、F两点，则ECF的面积为 .答案 26.（2008海南文，15）过椭圆=1的右焦点作一条斜率为2的直线与椭圆交于A，B两点，O为坐标原点，则OAB的面积为 .答案 7.若a，b，c分别是ABC中角A，B，C所对边的边长，则直线sinAx+ay+c=0与bx-sinBy+c=0的位置关系是 .答案 垂直8.（2009姜堰中学高三综合练习）已知圆(x-2)2+y2=1经过椭圆=1（ab0）的一个顶点和一个焦点，则此椭圆的离心率e= .答案 9.（2008山东理）已知圆的方程为x2+y2-6x-8y
111、=0.设该圆过点(3,5)的最长弦和最短弦分别为AC和BD,则四边形ABCD的面积为 .答案 2010.设P为双曲线x2-=1上的一点，F1、F2是该双曲线的两个焦点.若|PF1|PF2|=32，则PF1F2的面积为 .答案 1211.（2009东海高级中学高三调研）两个正数m,n的等差中项是5，等比中项是4，若mn,则椭圆=1的离心率e的大小为 .答案 12.已知F1、F2为椭圆=1的两个焦点，过F1的直线交椭圆于A、B两点.若|F2A|+|F2B|=12，则|AB|= .答案 813.在平面直角坐标系xOy中，已知ABC顶点A（-4，0）和C（4，0），顶点B在椭圆=1上，则= .答案 1
112、4.已知两点A（1，0），B（b,0），若抛物线y2=4x上存在点C使ABC为等边三角形，则b= .答案 5或-二、解答题(本大题共6小题，共90分)15.（14分）过点M（0，1）作直线，使它被直线l1:x-3y+10=0和l2:2x+y-8=0所截得的线段恰好被M平分，求此直线方程.解 方法一 过点M且与x轴垂直的直线是y轴，它和两已知直线的交点分别是和(0,8)，显然不满足中点是点M（0，1）的条件.故可设所求直线方程为y=kx+1,与已知两直线l1,l2分别交于A、B两点，联立方程组 由解得xA=,由解得xB=.点M平分线段AB，xA+xB=2xM，即+=0.解得k=-，故所求直线方程
113、为x+4y-4=0.方法二 设所求直线与已知直线l1,l2分别交于A、B两点.点B在直线l2:2x+y-8=0上，故可设B（t,8-2t）,M(0,1)是AB的中点.由中点坐标公式得A(-t,2t-6).A点在直线l1:x-3y+10=0上，（-t）-3（2t-6）+10=0，解得t=4.B（4，0），A（-4，2），故所求直线方程为x+4y-4=0.16.（14分）已知方程x2+y2-2x-4y+m=0.(1)若此方程表示圆，求m的取值范围；（2）若（1）中的圆与直线x+2y-4=0相交于M、N两点，且OMON（O为坐标原点），求m；（3）在（2）的条件下，求以MN为直径的圆的方程.解 （1
114、）（x-1)2+(y-2)2=5-m,m5.（2）设M（x1，y1），N（x2，y2），则x1=4-2y1，x2=4-2y2，则x1x2=16-8（y1+y2）+4y1y2OMON，x1x2+y1y2=016-8（y1+y2）+5y1y2=0由得5y2-16y+m+8=0y1+y2=,y1y2=,代入得，m=.（3）以MN为直径的圆的方程为（x-x1）(x-x2)+(y-y1)(y-y2)=0即x2+y2-(x1+x2)x-(y1+y2)y=0所求圆的方程为x2+y2-x-y=0.17.（14分）已知双曲线=1的右焦点是F，右顶点是A,虚轴的上端点是B，=6-4，BAF=150.（1）求双曲线
115、的方程；（2）设Q是双曲线上的点，且过点F、Q的直线l与y轴交于点M，若+2=0，求直线l的斜率.解 （1）由条件知A(a,0),B(0,b),F(c,0)=（-a, b)(c-a,0)=a(a-c)=6-4cosBAF=-=cos150=-.a=c,代入a(a-c)=6-4中得c=2.a=,b2=c2-a2=2,故双曲线的方程为.(2)点F的坐标为（2，0）.可设直线l的方程为y=k(x-2),令x=0，得y=-2k，即M(0,-2k)设Q（m,n），则由+2=0得(m,n+2k)+2(2-m,-n)=(0,0).即(4-m,2k-n)=（0,0).即，.=1，得k2=，k=.18.（16分
116、）过点（1，0）的直线l与中心在原点，焦点在x轴上且离心率为的椭圆C相交于A、B两点，直线y=x过线段AB的中点，同时椭圆C上存在一点与右焦点关于直线l对称，试求直线l与椭圆C的方程.解 设椭圆C的方程为=1(ab0)，显然，直线l的斜率存在且不为0，设l的方程为y=k(x-1)代入椭圆方程，整理得(k2a2+b2)x2-2k2a2x+a2k2-a2b2=0.因为直线l与C交于A、B两点=4k4a4-4(a2k2-a2b2)(k2a2+b2)0.即k2a2-k2+b20,当0时，设直线l与椭圆C的交点为A（x1,y1）、B（x2,y2），AB中点为M（x0,y0),则x0=(x1+x2）=y0
117、=(y1+y2)= k(x1-1)+k(x2-1)=-.M(x0,y0)在直线y=x上，-=,k=-.又=1-e2=1-=,k=-=-1.因此直线l的方程为y=-x+1.a2=2b2，椭圆C的方程为=1，其右焦点为（b，0），设（b，0）点关于直线y=-x+1的对称点为(x,y),则.因为点（1,1-b)在椭圆上.1+2(1-b)2=2b2，解得b2=.把b2=,a2=,k2=1代入式，得0.b2=，a2=.椭圆C的方程为=1,直线l的方程为y=-x+1.19.(2008海南（宁夏）理，20)(16分)在直角坐标系xOy中,椭圆C1: =1 (ab0)的左、右焦点分别为F1、F2.F2也是抛物
118、线C2：y2=4x的焦点，点M为C1与C2在第一象限的交点，且|MF2|=.（1）求C1的方程；（2）平面上的点N满足=+，直线lMN，且与C1交于A、B两点，若=0，求直线l的方程.解 (1)由C2:y2=4x,知F2(1,0),设M(x1,y1),M在C2上,因为|MF2|=,所以x1+1=,得x1=,y1=.所以M.M在C1上,且椭圆C1的半焦距c=1,于是消去b2并整理得9a4-37a2+4=0.解得a=2(a=不合题意,舍去).故b2=4-1=3.故椭圆C1的方程为.(2)由=+,知四边形MF1NF2是平行四边形,其中心为坐标原点O,因为lMN,所以l与OM的斜率相同.故l的斜率k=
119、.设l的方程为y=(x-m).由消去y并整理得9x2-16mx+8m2-4=0.设A(x1,y1),B(x2,y2),则x1+x2=,x1x2=.因为,所以x1x2+y1y2=0.所以x1x2+y1y2=x1x2+6(x1-m)(x2-m)=7x1x2-6m(x1+x2)+6m2=7-6m+6m2=(14m2-28)=0.所以m=.此时=(16m)2-49(8m2-4)0.故所求直线l的方程为y=x-2,或y=x+2.20.(16分)已知定点C（-1，0）及椭圆x2+3y2=5,过点C的动直线与椭圆相交于A，B两点.（1）若线段AB中点的横坐标是-，求直线AB的方程；（2）在x轴上是否存在点M
120、，使为常数？若存在，求出点M的坐标；若不存在，请说明理由.解 （1）依题意，直线AB的斜率存在，设直线AB的方程为y=k(x+1),将y=k(x+1)代入x2+3y2=5,消去y整理得(3k2+1)x2+6k2x+3k2-5=0.设A（x1,y1）,B(x2,y2),则由线段AB中点的横坐标是-，得=-=-,解得k=，适合.所以直线AB的方程为x-y+1=0,或x+y+1=0.(2)假设在x轴上存在点M（m，0），使为常数.（）当直线AB与x轴不垂直时，由（1）知x1+x2=-,x1x2=. 所以=（x1-m）(x2-m)+y1y2=(x1-m)(x2-m)+k2(x1+1)(x2+1)=(k2+1)x1x2+(k2-m)(x1+x2)+k2+m2.将代入，整理得=+m2=+m2=m2+2m-.注意到是与k无关的常数，从而有6m+14=0，m=-，此时=.（）当直线AB与x轴垂直时，此时点A，B的坐标分别为、，当m=-时，亦有=.综上，在x轴上存在定点M，使为常数.
