1、2005年普通高等学校招生全国统一考试（重庆卷）数学试题卷（理工农医类）参考公式：如果事件A、B互斥，那么P(A+B)=P(A)+P(B) 如果事件A、B相互独立，那么P(AB)=P(A)P(B) 如果事件A在一次试验中发生的概率是P，那么n次独立重复试验中恰好发生k次的概率 第一部分（选择题 共50分）一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分. 在每小题给出的四个备选项中，只有一项是符合题目要求的.1圆关于原点（0，0）对称的圆的方程为（ ）AB C D2（ ）ABCD3若函数是定义在R上的偶函数，在上是减函数，且，则使得的x的取值范围是（ ）ABC D（2，2）4已知A（3，1）
2、，B（6，1），C（4，3），D为线段BC的中点，则向量与的夹角为（ ）ABCD5若x，y是正数，则的最小值是（ ）A3BC4D6已知、均为锐角，若的（ ）A充分而不必要条件 B必要而不充分条件 C充要条件D既不充分也不必要条件7对于不重合的两个平面与，给定下列条件：存在平面，使得、都垂直于；存在平面，使得、都平行于；内有不共线的三点到的距离相等；存在异面直线l、m，使得l/，l/，m/，m/，其中，可以判定与平行的条件有A1个B2个C3个D4个8若n展开式中含项的系数与含项的系数之比为5，则n等于（ ）A4B6C8D109若动点（）在曲线上变化，则的最大值为（ ）A B CD210如图，在体
3、积为1的三棱锥ABCD侧棱AB、AC、AD上分别取点E、F、G， 使AE : EB=AF : FC=AG : GD=2 : 1，记O为三平面BCG、CDE、DBF的交点，则三棱锥OBCD的体积等于 （ ）A B C D第二部分（非选择题 共100分）二、填空题：本大题共6小题，每小题4分，共24分. 把答案填写在答题卡相应位置上.11集合R| ，则= .12曲线处的切线与x轴、直线所围成的三角形的面积为= .13已知、均为锐角，且= .14= .15某轻轨列车有4节车厢，现有6位乘客准备乘坐，设每一位乘客进入每节车厢是等可能的，则这6位乘客进入各节车厢的人数恰好为0，1，2，3的概率为 .16
4、连接抛物线上任意四点组成的四边形可能是 （填写所有正确选项的序号）.菱形；有3条边相等的四边形；梯形；平行四边形；有一组对角相等的四边形。三、解答题：本大题共6小题，共76分. 解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.17（本小题满分13分）若函数的最大值为2，试确定常数a的值.18（本小题满分13分）在一次购物抽奖活动中，假设某10张券中有一等奖券1张，可获价值50元的奖品；有二等奖券3张，每张可获价值10元的奖品；其余6张没有奖，某顾客从此10张券中任抽2张，求： （）该顾客中奖的概率；（）该顾客获得的奖品总价值（元）的概率分布列和期望.19（本小题满分13分）已知，讨论函数的极值点的个数
5、.20（本小题满分13分）如图，在三棱柱ABCA1B1C1中，AB侧面BB1C1C，E为棱CC1上异于C、C1的一点，EAEB1，已知AB=，BB1=2，BC=1，BCC1=，求： （）异面直线AB与EB1的距离； （）二面角AEB1A1的平面角的正切值.21（本小题满分12分）已知椭圆C1的方程为，双曲线C2的左、右焦点分别为C1的左、右顶点，而C2的左、右顶点分别是C1的左、右焦点. （）求双曲线C2的方程；（）若直线与椭圆C1及双曲线C2都恒有两个不同的交点，且l与C2的两个交点A和B满足（其中O为原点），求k的取值范围.22（本小题满分12分）数列an满足.（）用数学归纳法证明：；（）
6、已知不等式，其中无理数e=2.71828.2005年普通高等学校招生全国统一考试（重庆卷）数学试题卷（理）参考答案一、选择题：每小题5分，满分50分.1A 2A 3D 4C 5C 6B 7B 8B 9A 10C二、填空题：每小题4分，满分24分.11 12 131 143 15 16三、解答题：满分76分.17（本小题13分）18（本小题13分）解法一： （），即该顾客中奖的概率为.（）的所有可能值为：0，10，20，50，60（元）.010205060P 故有分布列：从而期望解法二： （）（）的分布列求法同解法一由于10张券总价值为80元，即每张的平均奖品价值为8元，从而抽2张的平均奖品价值
7、=28=16（元）.19（本小题13分）（1）当xx1+00+为极大值为极小值即此时有两个极值点.（2）当有两个相同的实根于是无极值.（3）为增函数，此时无极值. 因此当无极值点.20（本小题13分）解法一： （）因AB面BB1C1C，故ABBE. 又EB1EA，且EA在面BCC1B1内的射影为EB. 由三垂线定理的逆定理知EB1BE，因此BE是异面直线AB与EB1的公垂线，在平行四边形BCC1B1中，设EB=x，则EB1=，作BDCC1，交CC1于D，则BD=BC在BEB1中，由面积关系得.（负根舍去）解之得CE=2，故此时E与C1重合，由题意舍去.因此x=1，即异面直线AB与EB1的距离为
8、1.（）过E作EG/B1A1，则GE面BCC1B，故GEEB1且GE在圆A1B1E内，又已知AEEB1故AEG是二面角AEB1A1的平面角.因EG/B1A1/BA，AEG=BAE，故解法二：（）而BB1C1C得ABEB1从而=0.设O是BB1的中点，连接EO及OC1，则在RtBEB1中，EO=BB1=OB1=1，因为在OB1C1中，B1C1=1，OB1C1=，故OB1C1是正三角形，所以OC1=OB1=1，又因OC1E=B1C1CB1C1O=故OC1E是正三角形，所以C1E=1，故CE=1，易见BCE是正三角形，从面BE=1，即异面直线AB与EB1的距离是1.（）由（I）可得AEB是二面角AE
9、B1B的平面角，在RtABE中，由AB=，BE=1，得tanAEB=.又由已知得平面A1B1E平面BB1C1C，故二面角AEB1A1的平面角，故解法三： （I）以B为原点，、分别为y、z轴建立空间直角坐标系.由于BC=1，BB1=2，AB=，BCC1=，在三棱柱ABCA1B1C1中有B（0，0，0），A（0，0，），B1（0，2，0），设又AB面BCC1B1，故ABBE. 因此BE是异面直线AB、EB1的公垂线，则，故异面直线AB、EB1的距离为1.（II）由已知有故二面角AEB1A1的平面角的大小为向量的夹角.21（本小题12分）解：（）设双曲线C2的方程为，则故C2的方程为（II）将由直线l与椭圆C1恒有两个不同的交点得即 .由直线l与双曲线C2恒有两个不同的交点A，B得 解此不等式得 由、得故k的取值范围为22（本小题12分） （）证明：（1）当n=2时，不等式成立. （2）假设当时不等式成立，即那么. 这就是说，当时不等式成立.根据（1）、（2）可知：成立.（）证法一：由递推公式及（）的结论有两边取对数并利用已知不等式得 故 上式从1到求和可得即（）证法二：由数学归纳法易证成立，故令取对数并利用已知不等式得 上式从2到n求和得 因故成立.
