1、北京市2017届高三数学文一轮复习专题突破训练导数及其应用一、填空、选择题1、（2016年全国I卷高考）若函数在单调递增，则a的取值范围是（A）（B）（C）（D）2、（2016年天津高考）已知函数为的导函数，则的值为_.3、（东城区2016届高三上学期期中）若曲线f（x）在点（1，）处的切线平行于x轴，则4、（东城区2016届高三上学期期中）已知函数f（x）为实数，若f（x）在x1处取得极值，则5、（海淀区2016届高三上学期期末）直线经过点，且与曲线相切，若直线的倾斜角为，则6、（广州市2015届高三一模）已知e为自然对数的底数，则曲线e在点处的切线斜率为 7、（华南师大附中2015届高三三
2、模）函数在处的切线方程是 * 8、（惠州市2015届高三4月模拟）函数在 处取得极小值.二、解答题1、（2016年北京高考）设函数（I）求曲线在点处的切线方程；（II）设，若函数有三个不同零点，求c的取值范围；（III）求证：是有三个不同零点的必要而不充分条件.2、（2015年北京高考）设函数，（）求的单调区间和极值；（）证明：若存在零点，则在区间上仅有一个零点3、（2014年北京高考）已知函数.（）求在区间上的最大值；（）若过点存在3条直线与曲线相切，求t的取值范围；（）问过点分别存在几条直线与曲线相切？（只需写出结论）4、（海淀区2016届高三上学期期末）已知函数 （）当时，求函数单调区间
3、和极值；（）若关于的方程有解，求实数的取值范围. 5、（海淀区2016届高三上学期期中）已知函数.（）若曲线在点（0,1）处切线的斜率为-3，求函数的单调区间；6、（石景山区2016届高三上学期期末）已知函数,. （）若在处取得极小值,求的值；（）若在区间为增函数,求的取值范围；（）在（）的条件下,函数有三个零点,求的取值范围7、（顺义区2016届高三上学期期末）已知函数.（）若，求曲线在处的切线方程；（）求函数在上的最大值；（）若在上恒成立，求实数的值.8、（昌平区2016届高三二模）已知函数,（I）求函数的极值；（II）用 表示中的最大值.设函数，讨论零点的个数.9、（朝阳区2016届高三
4、二模）已知函数. ()求函数的单调区间；（）当时，若在区间上恒成立，求的取值范围.10、（东城区2016届高三二模）设函数，（）若，求在区间上的最大值；（）设，求证：当时，过点有且只有一条直线与曲线相切；（）若对任意的，均有成立，求的取值范围11、（丰台区2016届高三一模）已知函数（）求曲线在处的切线的方程；（）若函数在定义域内是单调函数，求的取值范围；（）当时，（）中的直线l与曲线有且只有一个公共点，求的取值范围.12、（海淀区2016届高三二模）已知,. （）当时，求函数的单调区间；（）若关于的不等式在上有解，求实数的取值范围；()若存在既是函数的零点，又是函数的极值点，请写出此时的值.
5、 (只需写出结论)13、（石景山区2016届高三一模）已知函数（）求函数的极值；（）证明：当时，；（）当时，方程无解，求的取值范围14、（西城区2016届高三二模）已知函数（）若，求a的值； （）设，若对于定义域内的任意，总存在使得，求a的取值范围.参考答案一、填空、选择题1、C2、33、4、15、6、7、4xy308、2【解析】 由得：，列表得：极大值极小值所以在处取得极小值.二、解答题1、解：（I）由，得因为，所以曲线在点处的切线方程为（II）当时，所以令，得，解得或与在区间上的情况如下：所以，当且时，存在，使得由的单调性知，当且仅当时，函数有三个不同零点（III）当时，此时函数在区间上单
6、调递增，所以不可能有三个不同零点当时，只有一个零点，记作当时，在区间上单调递增；当时，在区间上单调递增所以不可能有三个不同零点综上所述，若函数有三个不同零点，则必有故是有三个不同零点的必要条件当，时，只有两个不同点， 所以不是有三个不同零点的充分条件因此是有三个不同零点的必要而不充分条件2、所以，的单调递减区间是，单调递增区间是；在处取得极小值.（）由（）知，在区间上的最小值为.因为存在零点，所以，从而.当时，在区间上单调递减，且，所以是在区间上的唯一零点.当时，在区间上单调递减，且，所以在区间上仅有一个零点.综上可知，若存在零点，则在区间上仅有一个零点. 3、解：（） 由得.令，得或.因为，
7、 所以 在区间上的最大值为 .（） 设过点的直线与曲线相切于点 则且切线斜率为 所以切线方程为，因此 .整理得.设 则“过点存在3条直线与曲线相切”等价于“有3个不同零点”.与的情况如下：0100 所以，是的极大值，是的极小值当，即时，此时在区间和上分别至多有1个零点，所以 至多有2个零点当，即时，此时在区间和上分别至多有1个零点，所以 至多有2个零点当且，即时，因为，所以 分别在区间，和上恰有个零点.由于在区间和上单调，所以分别在区间和上恰有1个零点.综上可知，当过点存在条直线与曲线相切时，的取值范围是 .（） 过点 存在条直线与曲线相切；过点 存在条直线与曲线相切；过点 存在条直线与曲线相
8、切.：4、解：（）函数的定义域为. .1分. .3分当时，,令，得， .4分所以随的变化情况如下表：极小值 .6分所以在处取得极小值, 无极大值. .7分的单调递减区间为，单调递增区间为. .8分（）因为关于的方程有解,令，则问题等价于函数存在零点, .9分所以. .10分令，得.当时，对成立，函数在上单调递减，而， 所以函数存在零点. .11分当时，随的变化情况如下表： 0 + 极小值 所以为函数的最小值, 当时，即时，函数没有零点,当时，即时，注意到, 所以函数存在零点. 综上，当或时，关于的方程有解. .13分法二：因为关于的方程有解，所以问题等价于方程有解， .9分令，所以, .10分
9、令，得当时，随的变化情况如下表：0极大值所以函数在处取得最大值，而.，所以函数存在零点. .11分当时，随的变化情况如下表：极小值所以函数在处取得最小值，而.当时，即时，函数不存在零点.当，即时， 所以函数存在零点. .13分综上，当或时，关于的方程有解.法三：因为关于的方程有解，所以问题等价于方程有解， .9分设函数，所以. .10分令，得，随的变化情况如下表：0极大值 所以函数在处取得最大值，而， .11分又当时，, 所以, 所以函数的值域为, .12分 所以当时，关于的方程有解，所以. .13分5、解（）因为，所以曲线经过点，又，-2分所以，-3分所以.当变化时，的变化情况如下表00极大
10、值极小值-5分所以函数的单调递增区间为，单调递减区间为 . -7分（）因为函数在区间上单调递增，所以对成立，只要在上的最小值大于等于0即可. -9分因为函数的对称轴为，当时，在上的最小值为，解，得或，所以此种情形不成立-11分当时，在上的最小值为，解得，所以，综上，实数的取值范围是. -13分6、解: （） 1分由在处取得极大值,得, 3分所以(经检验适合题意) 4分（）,因为在区间为增函数,所以在区间恒成立, 5分所以恒成立,即恒成立, 由于,得. 所以的取值范围是. 8分（）, 故,得或 当时, ,在上是增函数,显然不合题意. 9分当时, 随的变化情况如下表:+0+极大值极小值 10分要使
11、有三个零点,故需, 12分即 , 解得 所以的取值范围是. 14分7、解：（） 时切线方程为：，即 【4分】（）当 时，在恒成立， 在上单调递增，故在上单调递增， 【6分】当 时，令得，在上，在上在上递增，在上递减.若，即时，若，即时，若，即时，综上：当时， 当时， 当时， 【9分】（）由得设，要在上恒成立，只需当时，在上，在递增；时，不可能； 当时，令得在上，在递增；在上，在递减； 【12分】只需令， （*），在（0,1）递减，在递增；，在上成立.（*）由（*）和（*）知，即而在（0,1上递减，在上递增， 【14分】8、解：（I）因为函数，所以.令,得 ，或.因为，所以，所以及符号变化如下，
12、+-+极大值极小值所以的极大值为，极小值为.6分（II）令，则.当时，；时，；当时，.（1）当时，在上无零点.所以在上无零点.（2）当时，所以1为的一个零点.，当时，1是的一个零点.所以当时， 有一个零点.当时， 有一个零点.当时， 无零点.（3）当时，在上无零点.所以在上的零点个数就是在上的零点个数.当时，由（I）可知在上为减函数，在上为增函数，且，. 当，即时，在上为减函数，且所以在上有1个零点，即有1个零点. 当，即时，在上为减函数，且所以在上无零点，即无零点. 当，即时，在上为减函数，在上为增函数，所以在上无零点.即无零点.综上，当时，有2个零点，当时，有1个零点，当时，无零点. .1
13、3分9、解：() 函数的定义域为,.（1） 当时，,令，解得，则函数的单调递增区间为令，解得，函数单调递减区间为.所以函数的单调递增区间为，单调递减区间为.（2） 当时，,令，解得或，则函数的单调递增区间为 ；令，解得，函数单调递减区间为.所以函数的单调递增区间为，单调递减区间为.（3） 当时，恒成立， 所以函数的单调递增区间为. （4） 当时，,令，解得或，则函数的单调递增区间为，；令，解得，则函数的单调递减区间为.所以函数的单调递增区间为，单调递减区间为. 7分 （）依题意，在区间上. ，. 令得，或. 若，则由得，函数在()上单调递增. 由得，,函数在()上单调递减. 所以，满足条件；
14、若，则由得，或； 由得，. 函数在(),上单调递增,在上单调递减. ， 依题意 ，即，所以； 若，则. 所以在区间上单调递增，不满足条件； 综上，. 13分10、解：（）当时， 令，得或当，有，所以在区间上是增函数；当时，有，所以在区间上是减函数；所以在区间上的最大值为 5分（）设过点的直线与曲线相切于点，则，且切线斜率为所以，即所以 ，解得即存在唯一的切点所以过点有且只有一条直线与曲线相切 9分（）当时，对任意，不等式显然成立；当时，不等式等价于当时，不等式等价于恒成立令， ，则，当时，显然，所以在区间上单调递增， 所以在区间上有最小值所以当时，不等式等价于恒成立令，当时，所以，当时，不等式
15、对恒成立综上，实数的取值范围是 14分11、解：（）， 1分因为，所以切点为（1，） 又， 2分所以切线，即. 3分（）当时，所以在上单调递减，符合题意 5分当时，设，该抛物线开口向上，且，过点，所以该抛物线与轴相交，交点位于原点两侧，不单调，不符合题意，舍去 6分综上 7分（）因为直线l与有且只有一个公共点，所以方程，即有且只有一个根 8分设， 则，10分当时，因为，所以，令，解得；令，解得；所以在上单调递增，在上单调递减，所以，所以符合条件 11分当时，则令，解得；令，解得或；所以在上单调递增，在，上单调递减，12分 因为，所以，又，所以，即，所以所以在上有一个零点，且，所以有两个零点，不
16、符合题意综上 14分12、解：（）当时，所以,2分令得，则及的情况如下：0极大值极小值4分所以函数的单调递增区间为，, 函数的单调递减区间为. 6分（）要使在上有解，只要在上的最小值小于等于.因为，令，得到.7分当时，即时， 在区间上单调递增，为上最小值所以有，即，解得或，所以有；9分当时，即时，在区间上单调递减，在上单调递增，所以为上最小值，所以有，即，解得，所以. 11分综上，得.法二：（）要使在上有解，只要在上的最小值小于等于.因为，所以当，即时 满足题意，8分当时，因为，令，得到，因为，所以在区间上的单调递增，所以在区间上的最小值为，所以，根据上面得到，矛盾. 11分综上，.（）13分
17、13、解：（），令解得，易知在上单调递减，在上单调递增，故当时，有极小值 .4分（）令，则， .5分由（）知，所以在上单调递增，所以，所以. .8分（）方程，整理得，当时，. .9分令，则， .10分令，解得，易得在上单调递减，在上单调递增，所以时，有最小值， .12分而当越来越靠近时，的值越来越大，又当，方程无解，所以. .14分14、（）证明：函数的定义域，由题意，有意义，所以.求导，得. 3分所以，解得. 5分（）解：“对于定义域内的任意，总存在使得”等价于“不存在最小值” 6分 当时，由，得无最小值，符合题意 8分 当时， 令，得 或 . 9分随着x的变化时，与的变化情况如下表：0不存在极小 不存在 11分 所以函数的单调递减区间为，单调递增区间为因为当时，当时，所以所以当时，不存在使得综上所述，a的取值范围为. 13分
