1、2015年全国高中数学联赛一、 填空题:本大题共8小题,每小题8分,共64分,请将答案填在答题卡的相应位置.1.设为不相等的实数,若二次函数满足,则的值是 2.若实数满足,则的值为 3.已知复数数列满足,其中为虚数单位, 表示的共轭复数,则的值是 4.在矩形中,边上(包括点的动点与延长线上(包括点的动点满足,则向量与向量的数量积的最小值为 5.在正方体中随机取三条棱,它们两两异面的概率为 6.在平面直角坐标系中,点集所对应的平面区域的面积为 7.设为正实数,若存在,使得,则实数的取值范围是 8.对四位数,若,则称为类数,若 ,则称为类数,用与分别表示类数与类数的个数,则 的值为 二、 本大题共
2、3小题,共56分,解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤.9(本小题满分16分)若实数满足,求的最小值.10(本小题满分20分)设是四个有理数,使得,求的值.11(本小题满分20分)在平面直角坐标系中,分别是椭圆的左,右焦点,设不经过焦点的直线与椭圆交于两个不同的点,焦点到直线的距离为.如果直线的斜率成等差数列,求的取值范围.加 试本卷共4题,共180分,解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤12(本小题满分40分)设是实数,证明:可以连取使得 13(本小题满分40分)设,其中是个互不相同的有限集合,满足对任意,均有,若,证明:存在,使得属于中的至少个集合(这里表示有限集合的元素个数)14(本小题满分50分)如图,内接于圆为上一点,点在线段上,使得平分,过三点的圆与边交于点,连结交圆于点,连结并延长与边交于点,证明: 15(本小题满分50分)求具有下述性质的所有正整数:对任意正整数不整除.
