1、数学（理科）试卷试卷总分：150分 考试时间：120分钟第I卷（选择题：共60分）一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共计60分，每小题只有一个正确选项)1.若集合，则()（ ）A. B. C. D.2.已知为虚数单位，且复数满足，则的共轭复数是( )A B C D3.已知命题或，则为( )A且B或C且D或4.“勾股定理”在西方被称为“华达哥拉斯定理”，三国时期吴国的数学家赵爽创制了一幅“勾股圆方图”，用形数结合的方法给出了勾股定理的详细证明.如图所示的“勾股圆方图”中，四个相同的直角三角形与中间的小正方形拼成一个边长为2的大正方形，若直角三角形中较小的锐角，现在向该正方形区域内随机地投
2、掷一枚飞镖，飞镖落在小正方形内的概率是（ ）A. B. C. D.5.已知动点的坐标满足方程,则动点的轨迹是( )A.椭圆B.双曲线C.抛物线D.圆6.设函数,则函数的图像可能为( )A.B.C. D. 7. 已知函数，则函数的值域为（ ）A. B. C. D. 8.已知奇函数在上单调递减，且，若，则的大小关系是（ ）A.B.C. D.9.执行如图所示的程序框图,如果输入,那么输出的n的值为( )A.2B.3 C.4D.5 10. 已知中，分别是的中点，则( )A B C D11.已知定义在上的函数满足，且的导函数，则不等式的解集为( )A. B. C. D. 或12. 设定义域为的函数，若关
3、于的方程有5个不同的实数解，则（ ）A.2B.4 C. 6D.2或6第卷（非选择题：共90分）二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共计20分，请将答案填到答题卡指定的横线上）13.设函数，则_.14.实数满足,则的最大值是_15. 已知定义在上的函数在上单调递减，且是偶函数，不等式对任意的恒成立，则实数的取值范围是_16. 设函数恰有两个极值点，则实数的取值范围是_三、解答题(本大题共6小题，共70分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤)17.（本题12分）在公差不为0的等差数列中，成等比数列，数列的前10项和为150.（1）求数列的通项公式；（2）若，数列的前项和为，求.18.（本题
4、12分）已知三棱锥的展开图如图二，其中四边形为边长等于的正方形，和均为正三角形，在三棱锥中：（1）证明：平面平面；（2）若是的中点，求二面角的余弦值19.（本题12分）2020年上半年,随着新冠肺炎疫情在全球蔓延,全球超过60个国家或地区宣布进入紧急状态,部分国家或地区直接宣布封国或封城,随着国外部分活动进入停摆,全球经济缺乏活力,一些企业开始倒闭,右表为2020年第一季度企业成立年限与倒闭分布情况统计表: 根据右表,给出两种回归模型:模型:建立曲线型回归模型求得回归方程为模型:建立线性回归模型.(1)根据所给的统计量,求模型中关于的回归方程;(2)根据下列表格中的数据,比较两种模型的相关指数
5、并选择拟合精度更高,更可靠的模型,预测2014年成立的企业中倒闭企业所占比例(结果保留整数) 参考公式:,;参考数据:,.20.（本题12分）已知椭圆的两个焦点与短轴的一个端点连线构成等边三角形，且椭圆的短轴长为；（1）求椭圆的标准方程；（2）是否存在过点的直线与椭圆相交于不同的两点，且满足为坐标原点若存在，求出直线的方程；若不存在，请说明理由21.（本题12分）设函数，.(1)若，求函数的单调区间.(2)若函数有2个零点，求实数a的取值范围.四、选做题：请考生在第（22）、（23）两题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分，作答时用2B铅笔在答题卡上把所选题目的题号涂黑，把答案填在答
6、题卡上22（10分）选修4-4：坐标系与参数方程在平面直角坐标系中，曲线的参数方程为（为参数），在以为极点，轴的正半轴为极轴的极坐标系中，曲线的极坐标方程为.（1）求曲线和的直角坐标方程；（2）若点为上任意一点，求点到的距离的取值范围.23.（10分）选修4-5：不等式选讲 已知函数的定义域为R（1）求实数m的取值范围；（2）设实数t为m的最大值，实数满足，试证明：.数学（理科）参考答案一、选择题1-6.BACACB 7-12.ADBACC二、填空题13.11 14.25 15. -3,1 16. 1,+三、解答题17.解：（1）设等差数列的公差为，由成等比数列可得，即， 由数列的前10项和为
7、150，得，即，故， 故数列的通项公式为；（2） 18.解：（1）设的中点为，连接. 由题意，得，. 因为在中，为的中点，所以，因为在中，所以. 因为，平面，所以平面，因为平面，所以平面平面（2）由（1）问可知平面，所以，于是以所在直线分别轴，轴，轴建立如图示空间直角坐标系， 则，.设平面的法向量为，则由得：.令，得，即. 设平面的法向量为，由得：，令，得，即.由图可知，二面角的余弦值为19.解：(1)由,可得,所以,则所以模型中过关于的回归方程为.(2)对于回归方程,所以,所以模型的小于模型,说明回归模型刻画的拟合效果更好选择模型,当时, ,所以预测2014年成立的企业中倒闭企业所占比例为7
8、%.20.解：（1）由题意得：，解得椭圆的标准方程是（2）当直线的斜率不存在时， ，不符合题意当直线的斜率存在时，设直线的方程为，由消整理得：，解得或， 解得，满足所以存在符合题意的直线，其方程为21.解：(1)因为函数，所以的定义域为，.又，所以若，则，所以.令，得，即当时，函数单调递增.令，得，即当时，函数单调递减.综上可知，函数的单调增区间为，单调减区间为.(2)因为，所以，.又，所以.当时，所以函数在上单调递增.当时，所以函数在上单调递减；当时，所以函数在上单调递增.即当时，取得最小值，为.所以当时，函数只有一个零点，所以不满足题意.当，即时，.令，得；令，得.所以函数在上单调递增，在
9、上单调递减.又，所以，使所以函数在上单调递减，在上单调递增，在上单调递减.作出函数的示意图，如图(1).要使函数有两个零点，则当x趋近于0时，即，解得.所以a的取值范围为.当，即时，.令，得；令，得.所以函数在上单调递增，在上单调递减，所以，所以函数在上单调递减.又，所以当时，函数只有一个零点，所以不满足题意.当，即时，.令，得；令，得.所以函数在上单调递增，在上单调递减.因为，所以，使.所以函数在上单调递减，在上单调递增，在上单调递减.作出函数的示意图，如图(2).又，所以由图像可知，使得.所以当时，函数有2个零点.综上可知，当时，函数有两个零点.四、选做题22解：（1）由消去参数，得则曲线的普通方程为.由，得，即则曲线的直角坐标方程为；（2）曲线上的任意一点到曲线的距离为 故点p到曲线的距离的取值范围为.23.解：（1）由题意知，恒成立，又，所以实数的取值范围是（2）由（1）可知，所以从而，当且仅当，即时等号成立.
