1、专题1.7 二次函数的图象与性质（知识讲解）【学习目标】1 理解二次函数的概念，能用待定系数法确定二次函数的解析式； 2 会用描点法画出二次函数的图象，并结合图象理解抛物线、对称轴、顶点、开口方向等概念； 3 掌握二次函数的图象的性质，掌握二次函数与之间的关系；（上加下减）.【要点梳理】一、的性质：形如的二次函数，它的图像的对称轴是y轴，顶点坐标是（0，c），c的符号决定抛物线由y=ax2上下平移，简单的说，就是“上加下减”。的符号开口方向顶点坐标对称轴增减性最值向上轴时，随的增大而增大；时，随的增大而减小；时，最小值 = k向下轴时，随的增大而减小；时，随的增大而增大；时，最小值 = k二、
2、解读：（1）函数的图像是一条抛物线，它的对称轴是y轴，顶点坐标是（0，k）；（2）抛物线可以看作是由抛物线向上或向下平移c个单位而得到的。当k0时，将抛物线y=ax2(a是常数且a0)向上平移k个单位；当k0时，将抛物线y=ax2(a是常数且a0)向下平移k个单位。（3）实际上在a相等的情况下，二次函数的图像与二次函数的图像形状、开口方向、对称轴等完全相同，只不过位置发生了变化，顶点坐标由（0，0）变成了（0，k）。（4）在几条抛物线的表达式中，若a相等，则形状相同；若a相等，则其开口方向及形状均相同；若a互为相反数，则其形状相同、开口方向相反。三、巧记：如果要画抛物线，平移或者去描点，两条途
3、径任您选；列表描点后连线，平移规律记心间，k正向上负向下。【典型例题】类型一、1已知：二次函数yx21(1)写出此函数图象的开口方向、对称轴、顶点坐标；(2)画出它的图象【答案】(1)抛物线的开口方向向上，对称轴为y轴，顶点坐标为（0，1）(2)图像见分析【分析】（1）根据二次函数y=a(x-h)2+k，当a0时开口向上；顶点式可直接求得其顶点坐标为(h，k)及对称轴x=h；（2）可分别求得抛物线顶点坐标以及抛物线与x轴、y轴的交点坐标，利用描点法可画出函数图象(1)解：（1）二次函数yx21，抛物线的开口方向向上，顶点坐标为（0，1），对称轴为y轴；(2)解：在yx21中，令y0可得x21=
4、0解得x1或1，所以抛物线与x轴的交点坐标为(-1，0)和(1，0)；令x0可得y1，所以抛物线与y轴的交点坐标为(0，-1)；又顶点坐标为（0，1），对称轴为y轴，再求出关于对称轴对称的两个点，将上述点列表如下：x-2-1012yx2130-103描点可画出其图象如图所示：【点拨】本题考察了二次函数的开口方向、对称轴以及顶点坐标以及二次函数抛物线的画法解题的关键是把二次函数的一般式化为顶点式描点画图的时候找到关键的几个点，如：与x轴的交点与y轴的交点以及顶点的坐标举一反三：【变式1】若在同一直角坐标系中，作，的图像，则它们（）A都关于轴对称B开口方向相同C都经过原点D互相可以通过平移得到【答
5、案】A解：因为，这三个二次函数的图像对称轴为，所以都关于轴对称，故选项A正确；抛物线，的图象开口向上，抛物线的图象开口向下，故选项B错误；抛物线，的图象不经过原点，故选项C错误；因为抛物线，的二次项系数不相等，故不能通过平移其它二次函数的图象，故D选项错误；故选A.【变式2】 通过_法画出和的图像：通过图像可知：的开口方向_，对称轴_，顶点坐标_的开口方向_，对称轴_，顶点坐标_【答案】 描点 向上 y轴 向上 y轴 【分析】根据画二次函数的图像采用描点法，然后根据二次函数性质得出开口方向，对称轴，顶点坐标即可解：通过描点法画出和的图像，通过图像可知：的开口方向向上，对称轴为轴，顶点坐标为，的
6、开口方向向上，对称轴轴，顶点坐标，故答案为：描点；向上；y轴；向上；y轴；【点拨】本题考查了画函数图像的方法，二次函数的基本性质，根据题意画出相应的图像是解本题的关键类型二、2已知函数是关于x的二次函数（1）满足条件的m的值；（2）m为何值时，抛物线有最低点？求出这个最低点，这时当x为何值时，y随x的增大而增大？（3）m为何值时，函数有最大值？最大值是多少？这时当x为何值时，y随x的增大而减小？【答案】（1）m1=2，m2=3；（2）当m=2时，抛物线有最低点，最低点为：（0，1），当x0时，y随x的增大而增大；（3）当m=3时，函数有最大值，最大值为1，当x0时，y随x的增大而减小【分析】（
7、1）利用二次函数的定义得出关于m的等式，解方程即可得出答案；（2）利用二次函数的性质得出m的值；（3）利用二次函数的性质得出m的值.解：（1）函数是关于x的二次函数，m2+m4=2，解得：m1=2，m2=3；（2）当m=2时，抛物线有最低点，此时y=4x2+1，则最低点为：（0，1），由于抛物线的对称轴为y轴，故当x0时，y随x的增大而增大；（3）当m=3时，函数有最大值，此时y=x2+1，故此函数有最大值1，由于抛物线的对称轴为y轴，故当x0时，y随x的增大而减小【点拨】本题考查了二次函数的定义及二次函数的性质，解一元二次方程，因此掌握二次函数的定义与性质是解答本题的关键举一反三：【变式1】
8、已知点(，)，(，)(两点不重合)均在抛物线上，则下列说法正确的是()A若，则B若，则C若，则D若，则【答案】D【分析】利用二次函数的性质即可一一判断；解：画出的图象，对称轴为，A、若，则；故A错误；B、若，则；故B错误；C、若，则；故C错误；D、若，则；故D正确；故选：D【点拨】本题考查二次函数图象上的点的特征，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题，所以中考常考题型【变式2】 已知二次函数，如果随的增大而增大，那么的取值范围是_【答案】【分析】由于抛物线y=2x2-1的对称轴是y轴，所以当x0时，y随x的增大而增大解：抛物线y=2x2-1中a=20，二次函数图象开口向上，且对称轴是y轴，当x
9、0时，y随x的增大而增大故答案为：【点拨】本题考查了抛物线y=ax2+b的性质：图象是一条抛物线；开口方向与a有关；对称轴是y轴；顶点（0，b）类型三、3已知二次函数yax2+b的图象与直线yx+2相交于点A（1，m），点B（n，0）（1）求二次函数的解析式，并写出该拋物线的对称轴和顶点坐标；（2）选取适当的数据填入下表，并在图中的直角坐标系内描点画出该抛物线的图象；xy（3）画出这两个函数的图象，并结合图象直接写出ax2+bx+2时x的取值范围【答案】（1）对称轴为x0，顶点为（0，4）；（2）见分析；（3）见分析，2x1【分析】（1）求出A、B的坐标，利用待定系数法联立方程组即可求二次函数
10、的解析式；（2）利用描点法画出函数解析式；（3）将二次函数与一次函数同时画在一个坐标系内，由图象即可求解解：（1）将点A（1，m）、点B（n，0）代入直线y=x+2，m=3，n=2，点A（1，3），点B（2，0），将点A、B分别代入二次函数y=ax2+b，得到，y=x2+4，对称轴为x=0，顶点为（0，4）；（2）画图见分析：（3）如图，由图象可得ax2+bx+2时，2x1【点拨】本题考查了二次函数的图象及性质；熟练掌握待定系数法求二次函数解析式的方法，画出正确的函数图象，数形结合解题是关键举一反三：【变式1】函数yax与yax2+a（a0）在同一直角坐标系中的大致图象可能是（）A B CD【
11、答案】D【分析】先根据一次函数的性质确定a0与a0时，图形C3的函数值都是随着x的增大而增大的； 当-2x2时，图形C3恰好经过5个整点（即横、纵坐标均为整数的点）以上四个结论中，所有正确结论的序号是_【答案】【分析】画出图象C3，根据图象即可判断解：如图所示，图形C3关于y轴成轴对称，故正确；由图象可知，图形C3有最小值，且最小值为0；，故正确；当x0时，图形C3与x轴交点的左侧的函数值都是随着x的增大而减小，图形C3与x轴交点的右侧的函数值都是随着x的增大而增大，故错误；当-2x2时，图形C3恰好经过5个整点（即横、纵坐标均为整数的点），故正确；故答案为：【点拨】本题考查了二次函数的图象与
12、几何变换，数形结合是解题的关键类型四、4已知抛物线过点和点（1）求这个函数的关系式；（2）写出当为何值时，函数随的增大而增大【答案】（1）；（2）当时，函数随的增大而增大【分析】（1）根据待定系数法即可求解；（2）求出对称轴，根据二次函数的图像与性质即可求解解：（1）抛物线过点和点，解得这个函数得关系式为：（2）二次函数开口向下，对称轴为x=0，当时，函数随的增大而增大【点拨】此题主要考查二次函数的图像与性质，解题的关键是熟知待定系数法的运用举一反三：【变式1】如图，在平面直角坐标系中，二次函数yx2+m的图象经过边长为的正方形ABCD的三个顶点A、B、C，则m的值为（）AB2C1D2【答案】
13、D【分析】根据正方形的性质和勾股定理求出点A的坐标即可解：四边形是正方形，是等腰直角三角形，在等腰中，则，即代入二次函数yx2+m得，故选：D【点拨】本题考查了正方形的性质和求二次函数解析式，解题关键是熟练运用正方形的性质求出点的坐标【变式2】写出顶点坐标为（0，-3），开口方向与抛物线的方向相反，形状相同的抛物线解析式_【答案】【分析】根据开口方向与抛物线的方向相反，形状相同可得，再利用顶点坐标即可写出解析式解：抛物线与的方向相反，形状相同，且顶点坐标（0，-3）设抛物线解析式为：，代入顶点坐标（0，-3）得：解析式为故答案为【点拨】本题考查求抛物线解析式，熟记抛物线顶点式是解题的关键类型五
14、、5已知二次函数yx22(m1)x2mm2的图象关于y轴对称，其顶点为A，与x轴两交点为B，C(B点在C点左侧)(1) 求B，C两点的坐标；(2) 求ABC的面积【答案】(1) B点的坐标为(1，0)，C点的坐标为(1，0)(2) 1解：【试题分析】（1）根据二次函数yx22(m1)x2mm2的图象关于y轴对称，一次项系数为0，易得m=1；从而得yx21.当y=0时，有x210，解得x11，x21，即B点的坐标为(1，0)，C点的坐标为(1，0)（2）先求出顶点坐标，再求SABC.【试题解析】(1)由二次函数yx22(m1)x2mm2的图象关于y轴对称，得m10，解得m1，则2mm21.故函数
15、的表达式为yx21.当y0时，有x210，解得x11，x21，即B点的坐标为(1，0)，C点的坐标为(1，0)(2)当x0时，y1，即A点的坐标为(0，1)，故SABC211.举一反三：【变式1】如图，矩形纸片ABCD中，BC=4，AB=3，点P是BC边上的动点（点P不与点B、C重合）现将PCD沿PD翻折，得到PCD，作BPC的角平分线，交AB于点E设BP=x， BE=y，则下列图象中，能表示y与x的函数关系的图象大致是（）A BCD【答案】D【分析】根据题意，连接DE，因为PCD沿PD翻折，得到PCD，故有DP平分CPC；又PE为BPC的角平分线，可推知EPD=90，又因为BP=x，BE=y
16、，BC=4，AB=3，分别用x和y表示出PD和EP和DE，在RtPED中利用勾股定理，即可得出一个关于x和y的关系式，化简即可解：连接DE，PCD沿PD翻折，得到PCD，故有DP平分CPC；又因为PE为BPC的角平分线，可推知EPD=90，已知BP=x，BE=y，BC=4，AB=3，即在RtPCD中，PC=4-x，DC=3即PD2=(4-x)2+9；在RtEBP中，BP=x，BE=y，故PE2=x2+y2；在RtADE中，AE=3-y，AD=4，故DE2=(3-y)2+16，在RtPDE中，PE2+PD2=DE2，即x2+y2+(4-x)2+9=(3-y)2+16，化简得：y=-x2+x(0)
17、，图象是一段开口向下的抛物线；结合题意，只有选项D符合题意故选：D【点拨】本题考查了矩形的性质，折叠的性质，勾股定理，熟练掌握折叠的性质是解题的关键【变式2】如图，已知P是函数y1图象上的动点，当点P在x轴上方时，作PHx轴于点H，连接PO小华用几何画板软件对PO，PH的数量关系进行了探讨，发现POPH是个定值，则这个定值为 _【答案】2【分析】设p(x，x2-1)，则OH=|x|，PH=|x2-1|，因点P在x轴上方，所以x2-10，由勾股定理求得OP=x2+1，即可求得OP-PH=2，得出答案解：设p(x，x2-1)，则OH=|x|，PH=|x2-1|，当点P在x轴上方时，x2-10,PH=|x2-1|=x2-1，在RtOHP中，由勾股定理，得OP2=OH2+PH2=x2+(x2-1)2=(x2+1)2，OP=x2+1，OP-PH=（x2+1）-（x2-1）=2，故答案为：2【点拨】本题考查二次函数图象上点的坐标特征，勾股定理，利用坐标求线段长度是解题的关键
