1、6.4.3余弦定理、正弦定理第4课时余弦定理、正弦定理应用举例课后训练巩固提升一、A组1.轮船A和轮船B在中午12时离开海港C,两艘轮船航行方向的夹角为120,轮船A的航行速度是25 n mile/h,轮船B的航行速度是15 n mile/h,下午2时两船之间的距离是()A.35 n mileB.352 n mileC.353 n mileD.70 n mile解析:由题可知C=120,AC=50,BC=30,由余弦定理得AB2=302+502-25030-12=4900,AB=70.答案:D2.如图,设A,B两点在河的两岸,要测量两点之间的距离,测量者在A的同侧,在所在的河岸边选定一点C,测
2、出AC的距离为m,BAC=,ACB=,则A,B两点间的距离为()A.msinsinB.msinsin(+)C.msinsin(+)D.msin(+)sin+sin解析:在ABC中,AC=m,BAC=,BCA=.ABC=-.sinABC=sin(-)=sin(+).由正弦定理ACsinABC=ABsin,得AB=ACsinsinABC=msinsin(+).答案:C3.某人在点C测得某塔底B在南偏西80,塔顶A的仰角为45,此人沿南偏东40方向前进10 m到D,测得塔顶A的仰角为30,则塔高为()A.15 mB.5 mC.10 mD.12 m解析:如图,设塔高为hm,则AB=h,BC=h,BD=
3、3h,BCD=120,CD=10,由余弦定理得BD2=BC2+CD2-2BCCDcos120,得h=10.答案:C4.如图,从气球A上测得正前方的河流的两岸B,C的俯角分别为75,30,此时气球的高是60 m,则河流的宽度BC等于()A.30(3+1)mB.120(3-1)mC.180(2-1)mD.240(3-1)m解析:由题可知,BC=60tan60-60tan(90-75)=603-3-11+3=603-4-232=120(3-1)(m).答案:B5.如图,为测得河对岸塔AB的高,先在河岸上选一点C,使点C在塔底B的正东方向上,测得点A的仰角为60,再由点C沿北偏东15方向走10 m到位
4、置D,测得BDC=45,则塔AB的高度为()A.10 mB.102 mC.103 mD.106 m解析:依题意,在BCD中,CD=10m,BCD=105,BDC=45,DBC=180-45-105=30,由正弦定理BCsinBDC=CDsinDBC,得BC=CDsinBDCsinDBC=10sin45sin30=102(m).在RtABC中,BCA=60,AB=BCtanBCA=1023=106(m).塔AB的高度为106m.答案:D6.某观测站C与两灯塔A,B的距离分别为300 m和500 m,测得灯塔A在观测站C北偏东30方向,灯塔B在观测站C南偏东30方向,则两灯塔A,B之间的距离为.解
5、析:如图所示,在ABC中,AC=300m,BC=500m,ACB=120.由余弦定理得AB=AC2+BC2-2ACBCcosACB=3002+5002-2300500cos120=700(m).答案:700 m7.如图,山顶上有一座电视塔,在塔顶B处测得地面上一点A的俯角=60,在塔底C处测得点A的俯角=45.已知塔高为60 m,则山高为.解析:在ABC中,BC=60m,BAC=15,ABC=30.由正弦定理,得AC=60sin30sin15=30(6+2)(m),CD=ACsin45=30(3+1)(m).答案:30(3+1)m8.如图所示,在斜度一定的山坡上的一点A处测得山顶上一座建筑物顶
6、端C对于山坡的斜度为15,向山顶前进100 m后,又从点B测得其斜度为45,假设建筑物高50 m,设山坡对于地平面的斜度为,则cos =.解析:在ABC中,AB=100,CAB=15,ACB=45-15=30.由正弦定理,得100sin30=BCsin15,故BC=200sin15.在DBC中,CD=50,CBD=45,CDB=90+.由正弦定理,得50sin45=200sin15sin(90+),故cos=3-1.答案:3-19.海上某货轮在A处看灯塔B在货轮北偏东75,距离为126 n mile;在A处看灯塔C,在货轮的北偏西30,距离为83 n mile;货轮向正北由A处航行到D处时看灯
7、塔B的方位角为120,求:(1)A处与D处之间的距离;(2)灯塔C与D处之间的距离.解:由题意,画出示意图.(1)在ABD中,由已知得ADB=60,B=45,AB=126nmile.由正弦定理,得AD=ABsin60sin45=24(nmile).(2)在ADC中,由余弦定理,得CD2=AD2+AC2-2ADACcos30=242+(83)2-2248332=192,故CD=83(nmile).答:A处与D处之间的距离为24nmile,灯塔C与D处之间的距离为83nmile.二、B组1.有一长为10 m的斜坡,倾斜角为75,在不改变坡高和坡顶的前提下,通过加长坡面的方法将它的倾斜角改为30,则
8、坡底要延长()A.5 mB.10 mC.102 mD.103 m解析:如图,设将坡底加长到B时,倾斜角为30,在ABB中,B=30,BAB=75-30=45,AB=10m.在BAB中,由正弦定理,得BB=ABsin45sin30=102212=102(m).故坡底延长102m时,斜坡的倾斜角将变为30.答案:C2.如图,某炮兵阵地位于点A,两个观察所分别位于C,D两点.已知ACD为等边三角形,且DC=3 km,当目标出现在点B时,测得CDB=45,BCD=75,则炮兵阵地与目标的距离约是()A.1.1 kmB.2.2 kmC.2.9 kmD.3.5 km解析:CBD=180-BCD-CDB=6
9、0.在BCD中,由正弦定理,得BD=CDsin75sin60=6+22.在ABD中,ADB=45+60=105.由余弦定理,得AB2=AD2+BD2-2ADBDcos105=3+(6+2)24+236+226-24=5+23.则AB=5+232.9(km).故炮兵阵地与目标的距离约是2.9km.答案:C3.为了测量正在海面上匀速行驶的某航船的速度,在海岸上选取距离为1 km的两个观察点C,D,在某天10:00观察到该航船在A处,此时测得ADC=30,3 min后该船行驶至B处,此时测得ACB=60,BCD=45,ADB=60,则船速为km/min.解析:在BCD中,BCD=45,CDB=ADC
10、+ADB=30+60=90,CBD=45,BD=CD=1,BC=2.在ACD中,ACD=ACB+BCD=60+45=105,CAD=45.由正弦定理得AC=CDsinADCsinCAD=1sin30sin45=12.在ABC中,由余弦定理得AB2=AC2+BC2-2ACBCcosACB=12+2-212212=32,AB=62,故船速为66km/min.答案:664.如图,在山脚测得山顶仰角CAB=45,沿倾斜角为30的斜坡走1 000 m至点S,又测得山顶仰角DSB=75,则山高BC为m.解析:SAB=45-30=15,又SBD=15,ABS=30,AS=1000.由正弦定理可知BSsin1
11、5=1000sin30,BS=2000sin15,BD=BSsin75=2000sin15cos15=1000sin30=500(m),且DC=1000sin30=500(m).从而BC=DC+DB=1000(m).答案:1 0005.如图,位于A处的海上观测站获悉,在其正东方向相距40 n mile的B处有一艘渔船遇险,并在原地等待营救,在A处南偏西30且相距20 n mile的C处有一艘救援船,该船接到观测站通告后立即前往B处援助,则sinACB=.解析:在ABC中,AB=40,AC=20,BAC=120.由余弦定理得BC2=AB2+AC2-2ABACcos120=2800,BC=207.
12、由正弦定理得sinACB=ABsinBACBC=4032207=217.答案:2176.如图,一艘海轮从A出发,沿北偏东75的方向航行20(6-2)n mile后到达海岛B,然后从B出发,沿北偏东15的方向航行402n mile后到达海岛C.如果下次航行直接从A出发到达C,那么此船应沿怎样的方向航行,需要航行的距离是多少?解:在ABC中,AB=20(6-2),BC=402,ABC=180-75+15=120.由余弦定理可得AC=AB2+BC2-2ABBCcos120=400(6-2)2+(402)2-220(6-2)402-12=403.由正弦定理BCsinBAC=ACsinABC,得sinB
13、AC=BCsinABCAC=40232403=22.BAC=45,75-BAC=30.答:此船应沿北偏东30方向航行,需要航行403nmile.7.如图,某观测站C在城A的南偏西20的方向,从城A出发有一条走向为南偏东40的公路,在C处观测到距离C处31 km的公路上的B处有一辆汽车正沿公路向A城驶去,行驶了20 km后到达D处,测得C,D两处的距离为21 km,这时此车距离A城多少千米?解:在BCD中,BC=31,BD=20,CD=21,由余弦定理,得cosBDC=DB2+DC2-BC22DBDC=202+212-31222021=-17,所以cosADC=17,sinADC=437.在ACD中,由条件知CD=21,A=60,所以sinACD=sin(60+ADC)=3217+12437=5314.由正弦定理,得ADsinACD=CDsinA,所以AD=21325314=15.故这时此车距离A城15km.
