1、6向量概念要理清，思考问题要严密一、对向量的概念要理解透彻【例1】 给出下列说法：(1)零向量只与零向量相等；(2)零向量没有方向；(3)单位向量都共线；(4)共线的单位向量一定是相等向量；(5)单位向量大于零向量；(6)共线向量一定在同一条直线上；(7)若向量a，b是共线向量，向量b，c是共线向量，则向量a，c也是共线向量其中正确说法的序号是_解析由零向量是长度为0的向量，并且方向是任意的，即零向量有方向，所以(1)正确，(2)错误；因为单位向量的长度都是1，但方向是任意的，所以(3)错误；共线向量的方向可能相同，也可能相反，所以(4)错误；向量不能比较大小，所以(5)错误；共线向量是可以平
2、移到同一条直线上，但不是一定在同一直线上，所以(6)错误；(7)中若向量b0时，向量a，c不一定共线，所以错误故正确说法只有(1)答案(1)老师叮咛：如果对向量的有关概念不清楚，就造成有些说法判断错误，如不能将向量共线与直线重合区别开来，(6)就容易判断为正确；对零向量与任意一个向量平行遗忘，即可能将(7)也判断为正确，所以对向量的概念要逐个过关二、与向量的夹角有关的问题【例2】 若向量a(x,2x)，b(3x,2)，且a，b的夹角为钝角，则实数x的取值范围是_解析a，b的夹角为钝角，abx(3x)2x23x24x0，解出x0或x，又由a，b共线且反向可得x，所以得所求实数x的取值范围是.答案
3、老师叮咛：注意向量的夹角是钝角与向量的数量积小于0不等价，只由a，b的夹角为钝角得到ab0，但ab0不能得a，b夹角为钝角，因为a，b的夹角为180时也有ab0，这一点如果遗忘，就会扩大x的范围，导致错误.必考问题7等差数列、等比数列【真题体验】1(2012苏州期中)在等差数列an中，a53，a62，则a3a4a8_.解析根据等差数列性质计算因为an是等差数列，所以a3a4a83(a5a6)3.答案32(2012苏锡常镇调研)在等差数列an中，已知a815，a913，则a12的取值范围是_解析因为a8a17d15，a9a18d13，所以a12a111d3(a17d)4(a18d)7.答案(，7
4、3(2012南通调研)已知数列an的前n项和为Sn2n23n，则数列an的通项公式为_解析根据通项公式an与Sn的关系求解当n1时，a1S1231，当n2时，anSnSn1(2n23n)2(n1)23(n1)54n，n1适合，所以数列an的通项公式是an54n.答案an54n4(2012南京、盐城模拟)记等比数列an的前n项积为Tn(nN*)，若am1am12am0，且T2m1128，则m_.解析由题意求出am，再利用等比数列的性质即可求解由题意可得a2am0，am0，解得am2.又T2m1a1a2a2m2a2m1a22m1128，解得m4.答案45(2011江苏，13)设1a1a2a7，其中
5、a1，a3，a5，a7成公比为q的等比数列，a2，a4，a6成公差为1的等差数列，则q的最小值是_解析由题意知a3q，a5q2，a7q3且q1，a4a21，a6a22且a21，那么有q22且q33.故q，即q的最小值为.答案【高考定位】高考对本内容的考查主要有：(1)数列的概念是A级要求，了解数列、数列的项、通项公式、前n项和等概念，一般不会单独考查；(2)等差数列、等比数列是两种重要且特殊的数列，要求都是C级，熟练掌握等差数列、等比数列的概念、通项公式、前n项求和公式、性质等知识，理解其推导过程，并且能够灵活应用试题类型可能是填空题，以考查单一性知识为主，同时在解答题中经常与不等式综合考查，
6、构成压轴题【应对策略】认识数列在高考中的重要地位，对等差数列、等比数列从概念、公式、性质、推导等几个方面理解和掌握，并且能够将基础知识迁移到数列综合题中，在题中设计几个小题时，要充分认识各个小题的设计，实质就是解题路标，要尽可能应用前面小题的结论在后面问题中的应用，尤其前面小题是证明题时，更加如此.必备知识1等差、等比数列的通项公式等差数列an的通项公式为ana1(n1)dam(nm)d；等比数列an的通项公式为ana1qn1amqnm2等差、等比数列的前n项和(1)等差数列的前n项和为Snna1d.特别地，当d0时，Sn是关于n的二次函数，且常数项为0，即可设Snan2bn(a，b为常数)(
7、2)等比数列的前n项和Sn特别地，若q1，设a，则Snaaqn.3等差数列、等比数列常用性质(1)若序号mnpq，在等差数列中，则有amanapaq；特别的，若序号mn2p，则aman2ap；在等比数列中，则有amanapaq；特别的，若序号mn2p，则amana；(2)在等差数列an中，Sk，S2kSk，S3kS2k，成等差数列，其公差为kd；其中Sn为前n项的和，且Sn0(nN*)；在等比数列an中，当q1或k不为偶数时Sk，S2kSk，S3kS2k，成等比数列，其中Sn为前n项的和(nN*)必备方法1对等差数列、等比数列的考查题型归纳，一般有三个方面：一是应用等差或等比数列的通项公式及其
8、前n项和公式计算某些量和解决一些实际问题；二是给出一些条件求出首项和公差(或公比)，进而求得等差或等比数列的通项公式和前n项和公式，或者将递推公式变形转化为等差或等比数列问题间接地求得等差或等比数列的通项公式；三是证明一个数列是等差或等比数列；2证明一个数列是等差或等比数列的方法有两种，即定义法和中项法命题角度一等差、等比数列中基本量的计算命题要点 求等差、等比数列的基本量【例1】 设数列an是公差不为0的等差数列，Sn为其前n项的和，满足：aaaa，S77.(1)求数列an的通项公式及前n项的和Sn；(2)设数列bn满足bn2an，其前n项的和为Tn，当n为何值时，有Tn512.审题视点 听
9、课记录审题视点 (1)先求出数列an的首项和公差，根据已知条件列出a1、d为未知数的方程组即可求解；(2)由an成等差数列，得2an成等比数列解(1)由an是公差不为0的等差数列，可设ana1(n1)d，则由得整理，得由d0解得，所以ana1(n1)d2n7，Snna1dn26n.(2)由(1)得an2n7，所以bn2an22n7，又4(n2)，b12a1，所以bn是首项为，公比为4的等比数列，所以它的前n项和Tn(4n1)，于是由Tn512，得4n3471，所以n8时，有Tn512. 求等差、等比数列通项与前n项和，除直接代入公式外，就是用基本量法，要注意对通项公式与前n项和公式的选择【突破
10、训练1】 已知数列an的前n项和为Sn，a13，是公比为2的等比数列(1)证明：an是等比数列，并求其通项；(2)设数列bn满足bnlog3an，其前n项和为Tn，当n为何值时，有Tn2 012?(1)证明由题意，得2，(n2)即1Sn4(1Sn1)，同理，得1Sn14(1Sn)两式相减，得Sn1Sn4(SnSn1)，即an14an，4(n2)又a13，所以an是首项为3，公比为4的等比数列，所以an34n1322n2.(2)解由(1)得an322n2，所以bnlog2(322n2)log232(n1)，所以bn是首项为log23，公差为2的等差数列，前n项和为Tnnlog23n(n1)，于是
11、由n2nlog23n(n1)2 012，得n，又nN*，所以1n44，即n1,2,3，44时，Tn2 012.命题角度二与等差、等比数列有关的最值问题命题要点 (1)数列中最大项或最小项；(2)数列前n项和的最大值或最小值【例2】 等差数列an的首项是2，前10项之和是15，记Ana2a4a8a16a2n，求An及An的最大值审题视点 听课记录审题视点 由已知可求出公差d.进而得到An的表达式解设等差数列an的公差为d，由已知：解得a12，d，Ana2a4a8a2nna1d137(2n1)na1d(222232nn)2n(19n22n1)，求An的最大值有以下两种解法法一数列a2n的通项a2n
12、a1(2n1)d(192n)令a2n(192n)0，得2n19(nN*)，由此可得a21a22a23a240a25，故使a2n0，n的最大值为4，所以(An)max(1942241).法二由An(19n22n1)，若存在n(nN*)，使得AnAn1，且AnAn1，则An的值最大解得9.52n19(nN*)，取n4时，An有最大值(An)max(1942241). 上述两种求An最值的方法都是运用函数思想法一是直接研究子数列a2n法二是研究An(19n22n1)的单调性求其最值【突破训练2】 已知等差数列an的首项a10，公差d0，由an的部分项组成的数列ab1，ab2，abn，为等比数列，其中
13、b11，b22，b36.(1)求数列bn的通项公式bn；(2)若数列bn的前n项和为Sn，求Sn的值；(3)求AnSn的最小值解(1)由aa1a6，得(a1d)2a1(a15d)，d23a1d0.又d0，所以d3a1，所以q4，所以abna14n1.又abna1(bn1)da1(bn1)3a1，所以a14n1a1(bn1)3a1.因为a10，所以3(bn1)14n1，故bn.(2)Snb1b2b3bn(144n1).(3)由Sn，得AnSn(4n2 006n1)，若存在nN*，使得AnAn1，且AnAn1，则An的值最小于是由解得4n(nN*)，取n5，(An)min.命题角度三等差、等比数列
14、的探求命题要点 假设存在问题，求解满足条件的数或式子【例3】 已知数列an是各项均不为0的等差数列，Sn为其前n项和，且满足aS2n1，令bn，数列bn的前n项和为Tn.(1)求数列an的通项公式及数列bn的前n项和Tn；(2)是否存在正整数m，n(1mn)，使得T1，Tm，Tn成等比数列？若存在，求出所有的m，n的值；若不存在，请说明理由审题视点 听课记录审题视点 (1)由等差通项与求和公式求解；(2)假设存在，转化为关于m，n的方程是否有整数解解(1)n1时，由aS1a1，且a10，得a11.因为an是等差数列，所以ana1(n1)d1(n1)d，Snna1dnd.于是由aS2n1，得1(
15、n1)d22n1(2n1)(n1)d，即d2n2(2d2d2)nd22d12dn2(23d)nd1，所以解得d2.所以an2n1，从而bn所以Tnb1b2bn.(2)法一T1，Tm，Tn，若T1，Tm，Tn成等比数列，则2，即.由，可得0，即2m24m10，1m1.又mN*，且m1，所以m2，此时n12.因此，当且仅当m2，n12时，数列Tn中的T1，Tm，Tn成等比数列法二因为，故，即2m24m10，1m1，(以下同上) 在一定条件下，判断某种数学对象是否存在，解答此类问题一般先假设要求(或证)的结论是存在的，然后利用有关概念、公理、定理、法则推理下去，如果畅通无限，则存在；如果推理过程中，
16、有限或发生矛盾，则说明不存在【突破训练3】 (2012苏北四市调研)已知数列an的前n项和为Sn，且满足2Snpan2n，nN*，其中常数p2.(1)求证：数列an1为等比数列；(2)若a23，求数列an的通项公式；(3)对于(2)中数列an，若数列bn满足bnlog2(an1)(nN*)，在bk与bk1之间插入2k1(kN*)个2，得到一个新的数列cn，试问：是否存在正整数m，使得数列cn的前m项的和Tm2 011？如果存在求出m的值；如果不存在，说明理由【突破训练3】 解(1)2Snpan2n，2Sn1pan12(n1)，两式相减2an1pan1pan2，an1an，an11(an1)，2
17、a1pa12，且p2，a10，a110，0，数列an1为等比数列(2)由(1)知an1n，ann1(nN*)又a23，213，p4，an2n1.(3)由(2)得bnlog22n，即bnn，(nN*)，在数列cn中，bk(含bk项)前的所有项的和是：(123k)(2021222k2)22k2.当k10时，其和是5521021 0772 011，当k11时，其和是6621122 1122 011，又2 0111 0779344672，是2的倍数，当m10(122228)467988时，Tm2 011，存在m988，使得Tm2 011.高考资源网()来源：高考资源网版权所有：高考资源网(www.k s 5 )
