1、第1讲 数学文化及核心素养类试题 第二编 讲专题专题八 数学文化与创新应用考情研析 数学文化与数学知识相结合，有效考查考生的阅读理解能力、抽象概括能力、转化与化归能力，既体现了对数学应用性的考查，也体现了我国数学文化的源远流长高考中多以选择题的形式出现，难度中等.1 核心知识回顾 PART ONE 1.以古代数学书籍九章算术数书九章等书为背景的数学文化类题目2与高等数学相衔接的题目，如几类特殊的函数：取整函数、狄利克雷函数、符号函数3以课本阅读和课后习题为背景的数学文化类题目：辗转相除法、更相减损术、秦九韶算法、二进制、割圆术、阿氏圆等4以中外一些经典的数学问题为背景的题目，如：回文数、匹克定
2、理、哥尼斯堡七桥问题、四色猜想等经典数学小问题2 热点考向探究 PART TWO 考向 1算法中的数学文化例 1(2019哈尔滨市第三中学高三第二次模拟)我国古代名著庄子天下篇中有一句名言“一尺之棰，日取其半，万世不竭”，其意思为：一尺的木棍，每天截取一半，永远都截不完现将该木棍依此规律截取，如图所示的程序框图的功能就是计算截取 20 天后所剩木棍的长度(单位：尺)，则处可分别填入的是()Ai20，SS1i，i2iBi20，SS1i，i2iCi20，SS2，ii1Di20，SS2，ii1答案 D解析 根据题意可知，第一天 S12，所以满足 SS2，不满足 SS1i，故排除 A，B；由框图可知，
3、计算第二十天的剩余时，有 SS2，且 i21，所以循环条件应该是 i20.故选 D.以古代秦九韶算法，更相减损术、割圆术等为背景，将数学文化嵌入到程序框图，既强调了算法的历史，又展示了算法的思想，解题时要弄明白计数变量和累加变量的变化规律，理解程序框图的算法功能我国古代数学著作孙子算经中有如下问题：“今有方物一束，外周一匝有三十二枚，问积几何？”设每层外周枚数为 a，如图是解决该问题的程序框图，则输出的结果为()A121 B81 C74 D49答案 B解析 满足 a32，第一次循环：S1，n2，a8；满足 a32，第二次循环：S9，n3，a16；满足 a32，第三次循环：S25，n4，a24；
4、满足 a32，第四次循环：S49，n5，a32；满足 a32，第五次循环：S81，n6，a40.不满足 a32，输出 S.故选 B.考向 2数列中的数学文化例 2(2019陕西省高三第三次教学质量检测)我国南宋数学家杨辉 1261年所著的详解九章算法一书里出现了如图所示的表，即杨辉三角，这是数学史上的一个伟大成就，在“杨辉三角”中，第 n 行的所有数字之和为2n1，若去除所有为 1 的项，依次构成数列 2,3,3,4,6,4,5,10,10,5，则此数列的前 15 项和为()A110 B114 C124 D125答案 B解析 由题意，n 次二项式系数对应的杨辉三角形的第 n1 行，令 x1，可
5、得二项展开式的二项式系数的和 2n，其中第 1 行为 20，第 2 行为 21，第 3行为 22，以此类推，即每一行的数字之和构成首项为 1，公比为 2 的等比数列，则杨辉三角形中前 n 行的数字之和为 Sn12n12 2n1，若除去所有为 1 的项，则剩下的每一行的数字的个数为 1,2,3,4，可以看成构成一个首项为 1，公差为 2 的等差数列，则 Tnnn12，令nn1215，解得 n5，所以前 15 项的和表示前 7 行的数列之和减去所有的 1，即(271)13114，即前 15 项的数字之和为 114，故选 B.以传统数学文化为载体考查数列的实际应用问题解题的关键是将古代实际问题转化为
6、现代数学问题，建立等差、等比数列的模型，探索并掌握它们的一些基本数量关系，利用方程思想求解张丘建算经卷上第 22 题为“今有女善织，日益功疾，初日织五尺，今一月日织九匹三丈”其意思为：现有一善于织布的女子，从第 2 天开始，每天比前一天多织相同量的布，第 1 天织了 5 尺布，现在一月(按 30 天计算)共织 390 尺布记该女子一月中的第 n 天所织布的尺数为 an，则 a14a15a16a17 的值为()A55 B52 C39 D26答案 B解析 设从第 2 天开始，每天比前一天多织 d 尺布，则 S30390，所以30530292d390，解得 d1629，所以 a14a15a16a17
7、4a158d4558162952.故选 B.考向 3立体几何中的数学文化例 3(2019六安市第一中学高三模拟)我国齐梁时代的数学家祖暅提出了一条原理：“幂势既同，则积不容异”意思是：两个等高的几何体若在所有等高处的水平截面的面积相等，则这两个几何体的体积相等椭球体是椭圆绕其轴旋转所成的旋转体如图，将底面直径都为 2b，高皆为 a 的椭半球体和已被挖去了圆锥体的圆柱放置于同一平面 上，用平行于平面 且与平面 任意距离 d 处的平面截这两个几何体，可横截得到 S 圆及 S 环两截面可以证明 S 圆S 环总成立据此，半短轴长为 1，半长轴长为 3 的椭球体的体积是_答案 4解析 因为 S 圆S 环
8、总成立，则半椭球体的体积为 b2a13b2a23b2a，所以椭球体的体积为 V43b2a，因为椭球体的半短轴长为 1，半长轴长为 3，所以椭球体的体积为 V43b2a431234，故答案是 4.依托立体几何，传播数学文化立体几何是中国古代数学的一个重要研究内容，从中国古代数学中挖掘素材，考查立体几何的三视图、线面的位置关系、几何体的体积等知识，既符合考生的认知水平，又可以引导学生关注中华优秀传统文化九章算术是我国古代数学名著，它在几何学中的研究比西方早一千多年例如堑堵指底面为直角三角形，且侧棱垂直于底面的三棱柱；阳马指底面为矩形，一侧棱垂直于底面的四棱锥如图，在堑堵 ABCA1B1C1 中，A
9、CBC，若 A1AAB2，当阳马 BA1ACC1 体积最大时，则堑堵 ABCA1B1C1 的体积为()A.83 B.2 C2 D2 2解析 由阳马的定义，知 VBA1ACC113A1AACBC23ACBC13(AC2BC2)13AB243，当且仅当 ACBC 2时等号成立，所以当阳马 BA1ACC1 体积最大时，则堑堵 ABCA1B1C1 的体积为12 2 222，故选 C.答案 C考向 4概率中的数学文化例 4(2019皖南八校高三第三次联考)七巧板是古代中国劳动人民发明的一种中国传统智力玩具，它由五块等腰直角三角形，一块正方形和一块平行四边形共七块板组成清陆以湉冷庐杂识卷一中写道：近又有七
10、巧图，其式五，其数七，其变化之式多至千余体物肖形，随手变幻，盖游戏之具，足以排闷破寂，故世俗皆喜为之如图是一个用七巧板拼成的正方形，若在此正方形中任取一点，则此点取自阴影部分的概率为()A.516 B.1132 C.38 D.1332答案 A解析 设正方形的边长为 4，则正方形的面积为 S4416，此时阴影部分所对应的直角梯形的上底边长为 2 2，下底边长为 3 2，高为 2，所以阴影部分的面积为 S112(2 23 2)25，根据几何概型，可得概率为PS1S 516，故选 A.数学文化渗透到概率数学中去，不但丰富了数学的概率知识，还提高了学生的文化素养解决此类问题的关键是构建合理的概率模型，
11、利用相应的概率计算公式求解算法统宗是我国古代的数学名著，书中把三角形中的田称为“圭田”，把直角梯形的田称为“邪田”，称底是“广”，称高是“正从”，“步”是丈量土地的单位现有一邪田，广分别为十步和二十步，正从为十步，其内有一块广为八步，正从为五步的圭田若在邪田内随机种植一株茶树，则该茶树恰好被种在圭田内的概率为()A.215 B.25 C.415 D.15答案 A解析 根据题意，得出其示意图如图所示，题意为：在直角梯形 ABCD内随机种一株茶树，求该茶树恰好被种在三角形 AEF 内的概率且已知 AB20，DC10，AD10，AE8，三角形 AEF 的高 h5，所以该茶树被种在三角形 AEF 内的
12、概率 P851220101012 215，故选 A.考向 5推理与证明中的数学文化例 5(2019南充市第三次诊断)九章算术是我国古代的数学名著，书中有如下问题：“今有五人分五钱，令上二人所得与下三人等，问各得几何”其意思为“已知甲、乙、丙、丁、戊五人分五钱，甲、乙两人所得与丙、丁、戊三人所得相同，且甲、乙、丙、丁、戊所得依次成等差数列，问五人各得多少钱？”(“钱”是古代的一种重量单位)这个问题中，甲所得为()A.54钱 B.43钱C.32钱D.53钱答案 B解析 设甲、乙、丙、丁、戊所得钱分别为 a2d，ad，a，ad，a2d，则 a2dadaada2d，解得 a6d，又 a2dadaada
13、2d5，a1，则 a2da2a6 43a43，故选 B.以古代有代表意义的猜想推理为背景，考查数学文化相关知识，让学生通过逻辑推理得到结论解题时要联系具体实例，体会和领悟归纳推理、类比推理、演绎推理的原理、内涵及特点，并会用这些方法分析、解决具体问题(2019上海市奉贤区高三一模)天干地支纪年法源于中国，中国自古便有十天干与十二地支十天干：甲、乙、丙、丁、戊、己、庚、辛、壬、癸十二地支：子、丑、寅、卯、辰、巳、午、未、申、酉、戌、亥天干地支纪年法是按顺序以一个天干和一个地支相配，排列起来，天干在前，地支在后，天干由“甲”起，地支由“子”起，比如第一年为“甲子”，第二年为“乙丑”，第三年为“丙寅
14、”，以此类推，排列到“癸酉”后，天干回到“甲”重新开始，即“甲戌”，“乙亥”，之后地支回到“子”重新开始，即“丙子”，以此类推，已知 2016 年为丙申年，那么到改革开放 100 年时，即2078 年为_年答案 戊戌解析 从 2017 年到 2078 年经过了 61 年，且 2017 年为丁酉年，61106 余 1，则 2078 年的天干为戊，61125 余 1，则 2078 年的地支为戌，所以 2078 年为戊戌年考向 6数学文化与现代科学例 6 2016 年 1 月 14 日，国防科工局宣布，嫦娥四号任务已经通过了探月工程重大专项领导小组审议，正式开始实施如图所示，假设“嫦娥四号”卫星将沿
15、地月转移轨道飞向月球后，在月球附近一点 P 变轨进入以月球球心F 为一个焦点的椭圆轨道绕月飞行，之后卫星在 P 点第二次变轨进入仍以 F为一个焦点的椭圆轨道绕月飞行若用 2c1 和 2c2 分别表示椭圆轨道和的焦距，用 2a1 和 2a2 分别表示椭圆轨道和的长轴长，给出下列式子：a1c1a2c2；a1c1a2c2；c1a1a1c2.其中正确式子的序号是()A B C D答案 D解析 观察题图可知 a1a2，c1c2，a1c1a2c2，即式不正确；a1c1a2c2|PF|，即式正确；由 a1c1a2c20，c1c20，知a1c1c1a2c2c2，即a1c1a1c2，c1a1c2a2.即式正确，
16、式不正确(1)命题者抓住“嫦娥奔月”这个古老而又现代的浪漫话题，以探测卫星轨道为背景，抽象出共一条对称轴、一个焦点和一个顶点的两个椭圆的几何性质，并以加减乘除的方式构造两个等式和两个不等式，考查椭圆的几何性质，可谓匠心独运(2)注意到椭圆轨道和共一个顶点 P 和一个焦点 F，题目所给四个式子涉及长半轴长和半焦距，从焦距入手，这是求解的关键，本题对考生的数学能力进行了比较全面的考查，是一道名副其实的小中见大、常中见新、蕴文化于现代科学技术应用之中的好题第 24 届国际数学家大会会标是以我国古代数学家赵爽的弦图为基础进行设计的如图所示，会标是由四个全等的直角三角形与一个小正方形拼成的一个大正方形如
17、果小正方形的面积为 1，大正方形的面积为 25，直角三角形中较大的锐角为，那么 tan4 _.答案 7解析 依题意，得大、小正方形的边长分别是 5,1，于是有 5sin5cos10b，满足 ab，故 b20164；第二次循环：第一层判断：满足 ab，进入第二层选择结构，第二层判断：满足 ab，故 a16412；第三次循环：第一层判断：满足 ab，进入第二层选择结构，第二层判断：满足 ab，故 a1248；第四次循环：第一层判断：满足 ab，进入第二层选择结构，第二层判断：满足 ab，故 a844；第五次循环：第一层判断：满足 ab4，故输出 4，选 C.3中国古代数学著作算法统宗中有这样一个问
18、题：“三百七十八里关，初步健步不为难，次日脚痛减一半，六朝才得到其关，要见次日行里数，请公仔细算相还”其大意为：“有一个人走 378 里路，第一天健步行走，从第二天起脚痛每天走的路程为前一天的一半，走了 6 天后到达目的地”则该人第五天走的路程为()A48 里 B24 里 C12 里 D6 里答案 C解析 设第一天的路程为 a1 里，则a11126112378，a1192，所以 a5192 12412.4(2019河南洛阳高三阶段性考试)九章算术中有如下问题：“今有牛、羊、马食人苗，苗主责之粟五斗，羊主曰：我羊食半马马主曰：我马食半牛今欲衰偿之，问各出几何？”翻译为：今有牛、马、羊吃了别人的禾
19、苗，禾苗主人要求赔偿 5 斗粟羊主人说：“我羊所吃的禾苗只有马的一半”马主人说“我马吃的禾苗只有牛的一半”打算按此比率偿还，问：牛、马、羊的主人各应赔偿多少粟？已知 1 斗10 升，针对这一问题，设计程序框图如图所示，若输出 k 的值为 2，则 m()A.503 B.507 C.103 D.1007答案 B解析 运行该程序，第一次循环，S50m，k1；第二循环，S503m，k2；第三次循环，S507m，此时要输出 k 的值，则 507m0，解得 m507，故选 B.5我国古代数学名著九章算术的论割圆术中有：“割之弥细，所失弥少，割之又割，以至于不可割，则与圆周合体而无所失矣”它体现了一种无限与
20、有限的转化过程比如在表达式 11111中“”即代表无限次重复，但原式却是个定值，它可以通过方程 11xx 求得 x 512.类比上述过程，则3232()A3 B.1312C6 D2 2答案 A解析 令3232 x(x0)，两边平方，得 3232 x2，即 32xx2，解得 x3，x1(舍去)，故3232 3，选 A.6(2019江西省名校高三 5 月联考)我国古代九章算术将上、下两个平行平面为矩形的六面体称为刍童如图是一个刍童的三视图，其中正视图及侧视图均为等腰梯形，两底的长分别为 2 和 6，高为 2，则该刍童的体积为()A.1003 B.1043 C27 D18答案 B解析 由题意，几何体
21、原图为正四棱台，底面的边长分别为 2 和 6，高为 2，所以几何体的体积 V13(436 436)21043.故选 B.7(2019河北联考)九章算术是我国古代第一部数学专著，它有如下问题：“今有圆堡瑽(cng)，周四丈八尺，高一丈一尺问积几何？”意思是“今有圆柱体形的土筑小城堡，底面周长为 4 丈 8 尺，高 1 丈 1 尺则它的体积是(注：1 丈10 尺，取 3)()A704 立方尺B2112 立方尺C2115 立方尺D2118 立方尺答案 B解析 设圆柱体底面圆半径为 r，高为 h，周长为 C.因为 C2r，所以 r C2，所以 Vr2h C242hC2h4 48211122112(立方
22、尺)故选 B.8.(2019南宁市高三第一次适应性测试)元朝著名数学家朱世杰在四元玉鉴中有一首诗：“我有一壶酒，携着游春走，遇店添一倍，逢友饮一斗，店友经三处，没了壶中酒，借问此壶中，当原多少酒？”用程序框图表达如图所示若将“没了壶中酒”改为“剩余原壶中13的酒量”，即输出值是输入值的13，则输入的 x()A.35B.911C.2123D.4547答案 C解析 i1 时，x2x1；i2 时，x2(2x1)14x3；i3 时，x2(4x3)18x7；i4 时，退出循环此时，8x713x，解得 x2123.故选 C.9我国古代数学著作九章算术中有如下问题：“今有人持金出五关，前关二而税一，次关三而
23、税一，次关四而税一，次关五而税一，次关六而税一，并五关所税，适重一斤问本持金几何”其意思为：今有人持金出五关，第 1 关收税金为持金的12，第 2 关收税金为剩余金的13，第 3 关收税金为剩余金的14，第 4 关收税金为剩余金的15，第 5 关收税金为剩余金的16，5 关所收税金之和，恰好重 1 斤问此人总共持金多少则在此问题中，第 5 关收税金()A.120斤 B.125斤 C.130斤 D.136斤答案 B解析 假设原来持金为 x，则第 1 关收税金12x；第 2 关收税金13112 x123x；第 3 关收税金1411216 x 134x；第 4 关收税金1511216 112 x14
24、5x；第 5 关收税金1611216 112 120 x 156x.依题意，得12x 123x134x 145x 156x1，即116 x1，56x1，解得 x65，所以 156x 15665 125.故选 B.10(2019陕西省高三第一次模拟)公元 263 年左右，我国数学家刘徽发现当圆内接正多边形的边数无限增加时，多边形面积可无限逼近圆的面积，并创立了“割圆术”，利用“割圆术”刘徽得到了圆周率精确到小数点后两位的近似值 3.14，这就是著名的“徽率”如图是利用刘徽的“割圆术”思想设计的一个程序框图，则输出的 n 的值为()(参考数据：sin150.2588，sin7.50.1305)A1
25、2 B24 C48 D96答案 B解析 模拟执行程序，可得 n6，S3sin603 32，不满足条件 S3.10，n12，S6sin303，不满足条件 S3.10，n24，S12sin15120.25883.1056，满足条件 S3.10，退出循环，输出 n 的值为 24.故选 B.11“杨辉三角”又称“贾宪三角”，是因为贾宪约在公元 1050 年首先使用“贾宪三角”进行高次开方运算，而杨辉在公元 1261 年所著的详解九章算法一书中，辑录了贾宪三角形数表，并称之为“开方作法本源”图下列数表的构造思路就源于“杨辉三角”该表由若干行数字组成，从第二行起，每一行中的数字均等于其“肩上”两数之和，表
26、中最后一行仅有一个数，则这个数是()2017 2016 2015 20146 5 4 3 2 14033 4031 402911 9 7 5 38064 806020 16 12 81612436 28 20 A201722016B201822015C201722015D201822016答案 B解析 从给出的数表可以看出，该数表每行都是等差数列，其中第一行从右到左是公差为 1 的等差数列，第二行从右到左的公差为 2，第三行从右到左的公差为 4，即第 n 行从右到左的公差为 2n1，而从右向左看，每行的第一个数分别为 1221,3320,8421,20522,48623，所以第 n 行的第一个
27、数为(n1)2n2.显然第 2017 行只有一个数，其值为(20171)220172201822015，故选 B.12.(2019德州市高三下学期第一次练习)正整数 N 除以正整数 m 后的余数为 n，记为 Nn(MODm)，例如 251(MOD6)如图所示程序框图的算法源于“中国剩余定理”，若执行该程序框图，当输入 N25 时，则输出 N()A31B33C35D37答案 A解析 模拟程序的运行，可得N25，N26，不满足条件 N1(MOD3)，N27，不满足条件 N1(MOD3)，N28，满足条件 N1(MOD3)，不满足条件 N1(MOD5)，N29，不满足条件 N1(MOD3)，N30，
28、不满足条件 N1(MOD3)，N31，满足条件 N1(MOD3)，满足条件 N1(MOD5)，输出 N 的值为 31.故选A.二、填空题13周易历来被人们视作儒家群经之首，它表现了古代中华民族对万事万物深刻而又朴素的认识，是中华人文文化的基础，它反映出中国古代的二进制计数的思想方法我们用近代术语解释为：把阳爻“”当作数字“1”，把阴爻“”当作数字“0”，则八卦所代表的数表示如下：依次类推，则六十四卦中的“屯”卦符号“”表示的十进制数是_答案 34解析 由题意类推，可知六十四卦中的“屯”卦符号“”表示的二进制数为 100010，转化为十进制数为 02012102202302412534.14孙子算经是我国古代的数学名著，书中有如下问题：“今有五等诸侯，共分橘子六十颗，人别加三颗问：五人各得几何？”其意思为“有5 个人分 60 个橘子，他们分得的橘子数成公差为 3 的等差数列，问 5 人各得多少橘子”这个问题中，得到橘子最少的人所得的橘子个数是_答案 6解析 设等差数列an，首项为 a1，公差为 3，则 S55a1542 360，解得 a16，即得到橘子最少的人所得的橘子个数是 6.本课结束
