1、第四章综合测试时间120分钟，满分150分。一、选择题(本大题共10个小题，每小题5分，共50分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1由曲线yf(x)(f(x)0)，直线xa，xb(ab)与x轴所围成的曲边梯形的面积S等于()A. f(x)dxB f(x)dxC. f(x)dxadxD. f(x)dxbdx答案B解析由定积分的几何意义可知，S f(x)dx.2把区间a，b(ab)n等分后，第i个小区间是()A，AB(ba)，(ba)Ca，aDa(ba)，a(ba)答案D3下列等式不成立的是()A.mf(x)ng(x)dxmf(x)dxng(x)dxB.f(x)1dxf(x)d
2、xbaC.f(x)g(x)dxf(x)dxg(x)dxD.sinxdx2sinxdxsinxdx答案C解析由定积分的性质知选项A、B、D正确，故选C.4(2013华池一中高二期中)2xdx等于()A6B5C4D3答案D解析2xdxx2|3.5设物体以速度v(t)3t2t(单位v：m/s，t：s)做直线运动，则它在04 s内所走的路程s为()A70 mB72 mC75 mD80 m答案B解析所走的路程为(3t2t)dt(t3t2)|(4342)072(m)6(2012北京丰台统一练习)从如图所示的正方形OABC区域内任取一个点M(x，y)，则点M取自阴影部分的概率为()A.B.C.D.答案B解析
3、阴影部分的面积为S(x2)dx(xx3)|，而正方形OABC的面积为1，故点M取自阴影部分的概率为.7已知等差数列an的前n项和为Sn，且S10(12x)dx，S2017，则S30等于()A15B20C25D30答案A解析S10(12x)dx(xx2)|12又an为等差数列，2(S20S10)S10S30S20.S303(S20S10)3(1712)15.8(2013江西理，6)若S1x2dx，S2dx，S3exdx，则S1，S2，S3的大小关系为()AS1S2S3B.S2S1S3CS2S3S1D.S3S22.7，S33S1S2.故选B.9若y(sintcostsint)dt，则y的最大值是(
4、)A1B2CD0答案B解析先将sintcost化简为sin2t.ydt|cosxcos2xcos2xcosx(cosx1)22.当cosx1时，ymax2.10.|x24|dx等于()A.B.C.D.答案C解析令f(x)|x24|x24|dx(4x2)dx(x24)dx(4xx3)|(x34x)|.二、填空题(本大题共5小题，每小题5分，共25分)11(2012山东理，15)设a0.若曲线y与直线xa，y0所围成封闭图形的面积为a2，则a_.答案解析本题考查了定积分求解封闭图形的面积Sdxx|aa2，解得a.掌握定积分的计算方法即可12一物体在力F(x)(单位：N)的作用下，沿与力F相同的方向
5、从x0处运动到x4(单位：m)处，则力F(x)做的功为_J.答案46解析WF(x)dx10dx(3x4)dx10x|(x24x)|46(J)13抛物线yx24x3及其在点A(1,0)和点B(3,0)处的切线所围成的图形面积为_答案解析由y2x4，得在点A，B处切线的斜率分别为2和2.则两直线方程分别为y2x2和y2x6.由得记点C(2,2)所以SSABC(x24x3)dx222.14(2014山东省菏泽市期中)函数yx2与ykx(k0)的图象所围成的阴影部分的面积为，则k_.答案3解析由解得或由题意得，(kxx2)dx(kx2x3)|k3k3k3，k3.15由曲线y，直线x1及x轴所围成的封闭
6、图形绕x轴旋转一周所得旋转体的体积为_答案解析y与x1相交于(1,1)点，则所求旋转体的体积为xdxx2|.三、解答题(本大题共6小题，共75分，前4题每题12分，20题13分，21题14分)16求下列定积分：(1)adx(a0)；(2)(t2)dx.解析(1)由得 dxxdx (x)dxx2|x2|a2，(2)(t2)dx(tx2x)|(2t4)(t2)t2.17一个物体做变速直线运动，速度v(m/s)与时间t(s)的关系如图所示，求该物体在s至6 s间运动的路程分析从题图可知，物体在t0,1时做加速运动，在t1,3)时做匀速运动；在3t6时也做加速运动，但加速度不同于t0,1)时，即0t6
7、时，v(t)是一个分段函数，故应分三段求积分才能求出路程解析可知物体的速度函数为v(t)由变速直线运动的路程公式，可得：物体在s至6 s间的运动路程为m.18计算由直线y0和曲线yx26x5围成的平面图形绕x轴旋转一周所得旋转体的体积(3.14，精确到0.01)解析由题意，所围成的平面图形如图中的阴影部分，则绕x轴旋转一周所得旋转体的体积为V(x26x5)2dx(x26x5)2dx(x412x346x260x25)dx(x53x4x330x225x)|107.18.19由直线ykx(k0)，直线y0，x1所围成的图形面积为S1，由曲线y33x2，直线x0，y0所围成的图形面积为S2，当S1S2
8、时，求k的值及直线的方程解析依题意得S1kxdxkx2，S2(33x2)dx(3xx3)2，S1S2，2，解得k4，则直线的方程为y4x.20用定积分表示曲线yx2，xk，xk2及y0所围成的图形的面积，并确定k取何值时，使所围图形的面积为最小分析画出草图，求出区间上的定积分，再求函数最值解析如图sx2dx(3k26k4)22(k1)2.当k1时，S最小21(2013广东省中山一中月考)设f(x)是二次函数，其图象过点(0,1)，且在点(2，f(2)处的切线方程为2xy30.(1)求f(x)的表达式；(2)求f(x)的图象与两坐标轴所围成图形的面积；(3)若直线xt(0t1)把f(x)的图象与两坐标轴所围成图形的面积二等分，求t的值解析(1)设f(x)ax2bxc，其图象过点(0,1)，c1，又在点(2，f(2)处的切线方程为2xy30，f (x)2axb，a1，b2，故f(x)x22x1.(2)依题意，f(x)的图象与两坐标轴所围成的图形如图中阴影部分所示，故所求面积S (x22x1)dx(x3x2x)|.(3)依题意，有S (x22x1)dx(x3x2x)|，即t3t2t，2t36t26t10，2(t1)31，t1.
