1、2015年广东省揭阳一中、金山中学高考数学联考试卷（理科）一选择题（本大题共8个小题；每小题5分，共40分）1（5分）已知i是虚数单位，m和n都是实数，且m（1+i）=11+ni，则=（） A i B i C 1+i D 1i【考点】： 复数相等的充要条件；复数代数形式的乘除运算【专题】： 数系的扩充和复数【分析】： 由复数相等的条件求出m，n的值，代入后利用复数代数形式的乘除运算化简得答案【解析】： 解：由m（1+i）=11+ni，得m=n=11，=故选：A【点评】： 本题考查了复数代数形式的乘除运算，考查了复数相等的条件，是基础题2（5分）已知|=，|+|=，则=（） A 1 B 2 C
2、3 D 5【考点】： 平面向量数量积的运算【专题】： 计算题；平面向量及应用【分析】： 运用向量的数量积的性质：向量的平方即为模的平方，再运用完全平方公式，两式相减即可得到所求值【解析】： 解：由|=，|+|=，则（）2=6，（+）2=10，即2+=6，+2+=10，上面两式相减可得=1故选：A【点评】： 本题考查向量数量积的性质，主要考查向量的平方即为模的平方，考查运算能力，属于基础题3（5分）数列an满足an+1=，若a1=，则a2015=（） A B C D 【考点】： 数列递推式【专题】： 点列、递归数列与数学归纳法【分析】： 根据数列的递推关系得到数列为周期数列即可得到结论【解析】：
3、 解：由递推数列可得，a1=，a2=2a11=21=，a3=2a21=21=，a4=2a3=2=，a5=2a4=2=，a5=a1，即an+4=an，则数列an是周期为4的周期数列，则a2015=a5034+3=a3=，故选：A【点评】： 本题主要考查递推数列的应用，根据递推关系得到数列an是周期为4的周期数列是解决本题的关键4（5分）已知某四棱台的三视图如图所示，则该四棱台的体积是（） A B 4 C D 6【考点】： 由三视图求面积、体积【专题】： 计算题；空间位置关系与距离【分析】： 根据四棱台的三视图，得出该四棱台的结构特征是什么，由此计算它的体积即可【解析】： 解：根据四棱台的三视图，
4、得：该四棱台是上、下底面为正方形，高为2的直四棱台，且下底面正四边形的边长为2，上底面正四边形的边长为1；该四棱台的体积为V四棱台=（12+22）2=故选：C【点评】： 本题利用空间几何体的三视图求几何体的体积的应用问题，是基础题目5（5分）甲、乙两所学校高三级某学年10次联合考试的理科数学成绩平均分用茎叶图如图所示，则甲乙两所学校的平均分及方差s2的大小关系为（） A ，s甲2s乙2 B ，s甲2s乙2 C ，s甲2s乙2 D ，s甲2s乙2【考点】： 茎叶图【专题】： 概率与统计【分析】： 根据茎叶图中数据的分布情况，结合平均数与方差的概念，即可得出正确的结论【解析】： 解：根据茎叶图中的
5、数据，得；甲学校数学成绩多分布在8199之间，乙学校数学成绩多分布在9096之间，甲的平均数应大于乙的平均数；又甲学校数学成绩更分散些，乙学校数学成绩更集中些，甲的方差应大于乙的方差；即，故选：D【点评】： 本题利用茎叶图考查了数据的平均数与方差的估算问题，若需精确计算，用平均数与方差的公式计算即可，是基础题目6（5分）如图，矩形OABC内的阴影部分是由曲线f（x）=sinx（x（0，）及直线x=a（a（0，）与x轴围成，向矩形OABC内随机投掷一点，若落在阴影部分的概率为，则a的值是（） A B C D 【考点】： 几何概型【专题】： 计算题【分析】： 由题意可得，是与面积有关的几何概率，分
6、别求出构成试验的全部区域是矩形OACB的面积，构成事件 A的区域即为阴影部分面积为0asinxdx=cosx|0a=1cosa，代入几何概率的计算公式可求【解析】： 解：由题意可得，是与面积有关的几何概率构成试验的全部区域是矩形OACB，面积为：a记“向矩形OABC内随机投掷一点，若落在阴影部分”为事件A，则构成事件 A的区域即为阴影部分面积为0asinxdx=cosx|0a=1cosa由几何概率的计算公式可得P（A）= a=故选B【点评】： 本题是与面积有关的几何概率的计算，求解需要分别计算矩形的面积及阴影部分的面积，考查了利用积分计算不规则图象的面积7（5分）下列命题中正确命题的个数是（）
7、“数列an既是等差数列，又是等比数列”的充要条件是“数列an是常数列”；不等式|x1|+|y1|1表示的平面区域是一个菱形及其内部；f（x）是（，0）（0，+）上的奇函数，x0时的解析式是f（x）=2x，则x0时的解析式为f（x）=2x；若两个非零向量、共线，则存在两个非零实数、，使+= A 4 B 3 C 2 D 1【考点】： 命题的真假判断与应用【专题】： 简易逻辑【分析】： 不正确，举例：常数列：0，0，0，0，是等差数列，但是不是等比数列；不等式|x1|+|y1|1表示的平面区域如图所示，即可判断出正误；利用奇函数的定义及其性质，即可判断出正误；利用向量共线定理，即可判断出正误【解析】
8、： 解：不正确，举例：常数列：0，0，0，0，是等差数列，但是不是等比数列，因此数列an既是等差数列，又是等比数列”的必要不充分条件是“数列an是常数列”；不等式|x1|+|y1|1表示的平面区域如图所示：是一个菱形及其内部，正确；f（x）是（，0）（0，+）上的奇函数，x0时的解析式是f（x）=2x，则x0时，x0，f（x）=f（x）=2x，因此正确；若两个非零向量、共线，则存在两个非零实数、，使+=，正确【点评】： 本题考查了等差数列与等比数列的性质、不等式|x1|+|y1|1表示的平面区域、奇函数的定义及其性质、向量共线定理、简易逻辑的判定，考查了推理能力与计算能力，考查了数形结合的思想
9、方法，考查了推理能力与计算能力，属于中档题8（5分）定义在1，+）上的函数f（x）满足：f（2x）=cf（x）（c为正常数）；当2x4时，f（x）=（x3）2+1若函数f（x）的图象上所有极小值对应的点均在同一条直线上，则c=（） A 1 B 2 C 1或2 D 2或4【考点】： 利用导数研究函数的极值【专题】： 函数的性质及应用【分析】： 分别求出当1x2时和4x8时函数的解析式，再结合已知2x4时的解析式，分别求出每段的最小值，由三点共线可求出c的值【解析】： 解：由已知可得，当1x2时，当2x4时，f（x）=（x3）2+1，当4x8时，；由题意可知函数f（x）的图象上的极小值对应的点，（
10、3，1），（6，c）共线，则，c=1或c=2故选：C【点评】： 本题考查了，分段函数的最值，运用了化归思想，属于中档题二填空题（本大题共5小题，每小题5分，满分25分）（一）必做题（913题）9（5分）函数y=lg的定义域为集合A，集合B=（a，a+1）若BA，则实数a的取值范围为1，0【考点】： 集合的包含关系判断及应用；对数函数的定义域【专题】： 计算题；函数的性质及应用；集合【分析】： 解0求函数的定义域，从而确定集合A，再由BA可得1aa+11，从而解得【解析】： 解：由0解得，1x1；故A=（1，1）；故（a，a+1）（1，1）；故1aa+11；解得，1a0；故答案为：1，0【点评】
11、： 本题考查了函数的定义域的求法及集合的求法，属于基础题10（5分）在（1+x）+（1+x）2+（1+x）6的展开式中含x2项的系数为35；（用数字作答）【考点】： 二项式系数的性质【专题】： 二项式定理【分析】： 由条件利用二项展开式的通项公式可得含x2项的系数为+，再利用二项式系数的性质求得结果【解析】： 解：（1+x）+（1+x）2+（1+x）6的展开式中含x2项的系数为+=35，故答案为：35【点评】： 本题主要考查二项式定理的应用，二项展开式的通项公式，二项式系数的性质，属于基础题11（5分）观察式子：1+，1+，1+，则可归纳出式子为1+，（n2）【考点】： 归纳推理【专题】： 综
12、合题；压轴题【分析】： 根据题意，由每个不等式的左边的最后一项的通项公式，以及右边式子的通项公式，可得答案【解析】： 解：根据题意，1+，1+，1+，第n个式子的左边应该是：，右边应该是：，并且n满足不小于2所以第n个式子为：1+，（n2）故答案为：1+，（n2）【点评】： 本题考查了归纳推理，培养学生分析问题的能力归纳推理的一般步骤是：（1）通过观察个别情况发现某些相同性质；（2）从已知的相同性质中推出一个明确表达的一般性命题（猜想）12（5分）定义某种运算，ab的运算原理如图所示，设S=1x，x2，2，则输出的S的最大值与最小值的差为2【考点】： 程序框图【专题】： 算法和程序框图【分析】
13、： 由已知中的程序算法可知：该程序的功能是利用条件结构计算并输出变量S的值，模拟程序的运行过程，可得答案【解析】： 解：由已知中的程序算法可知：该程序的功能是利用条件结构计算并输出变量S的值，由程序构图可得：ab=，S=1x=，故当x=2时，S取最大值2，当x=0时，S取最小值0，故S的最大值与最小值的差为2，故答案为：2【点评】： 本题考查了程序框图的应用问题，解题时应模拟程序框图的运行过程，以便得出正确的结论，是基础题13（5分）抛物线y2=4x的焦点为F，过点N（3，0）的直线与抛物线相交于A，B两点，与抛物线的准线相交于C，|BF|=3，则BCF与ACF的面积之比为【考点】： 抛物线的
14、简单性质【专题】： 圆锥曲线的定义、性质与方程【分析】： 如图所示，F（1，0），设A（x1，y1），B（x2，y2）由|BF|=3，可得x2+1=3，解得x2，代入抛物线方程可得y2直线AB的方程为：，与抛物线方程联立可得x1利用BCF与ACF的面积之比=即可得出【解析】： 解：如图所示，F（1，0），设A（x1，y1），B（x2，y2）由|BF|=3，可得x2+1=3，解得x2=2，代入抛物线方程可得：=42，y20，解得y2=2B直线AB的方程为：，化为联立，化为2x213x+18=0，x1x2=9，解得x1=BCF与ACF的面积之比=故答案为：【点评】： 本题考查了抛物线的定义及其性质
15、、直线与抛物线相交问题转化为方程联立可得根与系数的关系、三角形的面积计算公式，考查了推理能力与计算能力，属于中档题（二）选做题（考生只能选做一题）14（5分）极坐标系中，圆2+2sin=3的圆心到直线sin+cos1=0的距离是【考点】： 简单曲线的极坐标方程【专题】： 坐标系和参数方程【分析】： 把极坐标方程化为直角坐标方程，再利用点到直线的距离公式即可得出【解析】： 解：圆2+2sin=3化为x2+y2+2y=3，配方为x2+（y+1）2=4，可得圆心C（0，1）直线sin+cos1=0化为x+y1=0，圆心到直线sin+cos1=0的距离d=故答案为：【点评】： 本题考查了极坐标方程化为
16、直角坐标方程、点到直线的距离公式，属于基础题15如图，圆O的直径AB=8，C为圆周上一点，BC=4，过C作圆的切线l，过点A作直线l的垂线AD，D为垂足，AD与圆O交于点E，则线段DE的长度为2【考点】： 与圆有关的比例线段【专题】： 立体几何【分析】： 连接BE，OC，OCBE=F，证明四边形EFCD是矩形，OBC是等边三角形，即可得出结论【解析】： 解：连接BE，OC，OCBE=F，则OCl，ADl，ADOC，AB是圆O的直径，ADBE，ADl，lBE，四边形EFCD是矩形，DE=CF，圆O的直径AB=8，BC=4，OBC是等边三角形，CF=2，DE=2，故答案为：2【点评】： 本题考查圆
17、的切线的性质，考查学生的计算能力，属于中档题三解答题16（12分）设函数f（x）=cos（2x）2sinxcosx（）求f（x）的最小正周期，并指出由f（x）的图象如何变换得到函数y=cos2x的图象；（）ABC中角A，B，C的对边分别为a，b，c，若f（A）=，b+c=2，求a的最小值【考点】： 三角函数中的恒等变换应用；正弦函数的图象【专题】： 三角函数的图像与性质；解三角形【分析】： （I）由三角函数中的恒等变换应用化简函数解析式可得f（x）=cos（2x+），根据周期公式即可求f（x）的最小正周期T根据正弦函数的平移规律可得y=cos（2x+）的图象向右平移个单位长度得到函数y=cos
18、2x（II）由已知及（I）可得cos（2A）=，由A（0，），可得A，由b+c=2及余弦定理，得a2=43bc，又bc（）2=1即可求得a的最小值【解析】： 解：（I）f（x）=cos2x+sin2xsin2x=cos2xsin2x=cos（2x+）（3分）f（x）的最小正周期T=，（4分）由y=cos（2x+）的图象向右平移个单位长度得到函数y=cos2x；（6分）（II）由f（A）=cos（2A）=，A（0，），可得A=（8分）由b+c=2及余弦定理，得a2=b2+c22bccos=（b+c）23bc=43bc，（10分）又bc（）2=1仅当b=c=1时bc取最大值，此时a取最小值1（12
19、分）【点评】： 本题主要考查了三角函数中的恒等变换应用，正弦函数的图象，基本不等式的应用，属于基本知识的考查17（12分）已知某校的数学专业开设了A，B，C，D四门选修课，甲、乙、丙3名学生必须且只需选修其中一门（）求这3名学生选择的选修课互不相同的概率；（）若甲和乙要选同一门课，求选修课A被这3名学生选修的人数X的分布列和数学期望【考点】： 离散型随机变量的期望与方差；离散型随机变量及其分布列【专题】： 概率与统计【分析】： （）根据古典概型的概率公式即可求这3名学生选择的选修课互不相同的概率；（）求出随机变量的概率，即可求出对应的分布列和期望【解析】： 解：（I） 3名学生选择的选修课所有
20、不同选法有43=64种； （2分）各人互不相同的选法有种，互不相同的概率：； （4分）（II） 选修课A被这3名学生选修的人数X：0，1，2，3，（5分）P（x=0）=，P（x=1）= P（x=2）=，P（x=3）=，（9分）所以X的分布列为（10分）数学期望EX=0+1+2+3=（12分）【点评】： 本题主要考查古典概率的计算以及随机变量的分布列和期望的计算，考查学生的计算能力18（14分）在如图所示的多面体ABCDE中，AB平面ACD，DE平面ACD，AC=AD=CD=DE=2，AB=1（） 请在线段CE上找到点F的位置，使得恰有直线BF平面ACD，并证明；（）在（）的条件下，求二面角FB
21、EA的正弦值【考点】： 二面角的平面角及求法；直线与平面平行的判定【专题】： 空间位置关系与距离；空间向量及应用【分析】： 以D点为原点建立如图所示的空间直角坐标系，使得x轴和z轴的正半轴分别经过点A和点E，则各点的坐标为D（0，0，0），A（2，0，0），E（0，0，2），B（2，0，1），C（I）点F应是线段CE的中点设F是线段CE的中点，则点F的坐标为，=，可得与平面xoy平行，即可证明（II） 设平面BCE的法向量为=（x，y，z），由，可得，而平面AEB的一个法向量为=（0，1，0），利用=，设二面角FBEA的平面角为，则sin=【解析】： 解：以D点为原点建立如图所示的空间直角坐标
22、系，使得x轴和z轴的正半轴分别经过点A和点E，则各点的坐标为D（0，0，0），A（2，0，0），E（0，0，2），B（2，0，1），C（I）点F应是线段CE的中点，下面证明：设F是线段CE的中点，则点F的坐标为，=，与平面xoy平行，又BF平面ACD，BF平面ACD（II） 设平面BCE的法向量为=（x，y，z），=，=则，不妨设y=，解得x=1，z=2，即=，而平面AEB的一个法向量为=（0，1，0），=，设二面角FBEA的平面角为，则sin=所求角的正弦值为【点评】： 本题考查了线面平行与垂直的判定与性质定理，考查了通过建立空间直角坐标系利用线面垂直的性质定理、向量垂直与数量积的关系及平面
23、的法向量的夹角求出二面角的方法，考查了空间想象能力，考查了推理能力与计算能力19（14分）设数列an是公比为正数的等比数列，a1=2，a3a2=12，数列bn满足：bn=log3+log3an（）求数列an的通项公式；（）求数列bn的前n项和Sn；（）数列cn满足：cn=，求证：c1+c2+cn【考点】： 数列的求和；数列递推式【专题】： 等差数列与等比数列【分析】： （）设出数列an的公比为q，由已知列式求出公比，则数列an的通项公式可求； （）把数列an的通项公式代入，化简后可得数列bn是等差数列，利用等差数列的前n项和求得答案； （）由（）（）有，放缩得到，利用等比数列求和后证得答案【解
24、析】： （）解：设数列an的公比为q，由a1=2，a3a1=12，得2q22q12=0，即q2q6=0 解得q=3或q=2，q0，q=2不合舍去，； （）解：由，得=，数列bn是首项b1=1，公差d=2的等差数列，； （）证明：由（）（）有，n1时，3n11，3n123n1，则=原不等式成立【点评】： 本题考查了等比数列的通项公式，考查了等差数列和等比数列的前n项和，训练了放缩法证明数列不等式，是中档题20（14分）已知点P是椭圆+y2=1上的任意一点，F1，F2是它的两个焦点，O为坐标原点，动点Q满足=+（）求动点Q的轨迹E的方程；（）若与坐标轴不垂直的直线l交轨迹E于A，B两点且OAOB，
25、求三角形OAB面积S的取值范围【考点】： 轨迹方程；椭圆的简单性质【专题】： 圆锥曲线中的最值与范围问题【分析】： （I）设Q（x，y），动点Q满足=+又，可得P点的坐标，代入椭圆方程即可得出；（II）当OA斜率不存在或为零时，直接计算即可；当OA斜率存在且不为零时，设OA：y=kx（k0），代入椭圆方程可得A点坐标，可得|OA|2=，利用OAOB，可得|OB|2，利用S2=|OA|2|OB|2=，再利用基本不等式的性质即可得出【解析】： 解：（I）动点Q满足=+又，设Q（x，y），则=（x，y）=点P在椭圆上，则，即（II） 当OA斜率不存在或为零时，S=2，当OA斜率存在且不为零时，设OA
26、：y=kx（k0），代入x2+2y2=8，得，|OA|2=x2+y2=，OAOB，以代换k，同理可得，S2=|OA|2|OB|2=8=8，=4，当且仅当k=1时等号成立而k=1时，AB与x轴或y轴垂直，不合题意（4，+），因此三角形OAB面积S的取值范围为【点评】： 本题考查了椭圆的标准方程及其性质、直线与椭圆相交问题转化为方程联立得到交点坐标、向量垂直与数量积的关系、向量的坐标运算及其平行四边形法则、基本不等式的性质，考查了分类讨论思想方法，考查了推理能力与计算能力，属于难题21（14分）已知函数f（x）=xg（x）=2ln（x+m），（）当m=0时，存在x0，e（e为自然对数的底数），使x
27、0f（x0）g（x0），求实数a的取值范围；（）当a=m=1时，（1）求最大正整数n，使得对任意n+1个实数xi（i=1，2，n+1），当xie1，2（e为自然对数的底数）时，都有f（xi）2015g（xn+1）成立；（2）设H（x）=xf（x）+g（x），在H（x）的图象上是否存在不同的两点A（x1，y1），B（x2，y2）（x1x21），使得H（x1）H（x2）=H（）（x1x2）【考点】： 利用导数求闭区间上函数的最值；利用导数研究函数的单调性【专题】： 计算题；导数的综合应用【分析】： （I）x0f（x0）g（x0）可化为a2lnx0，从而可得a2lnx0，令h（x）=x22lnx，从
28、而化简函数的最大值问题，由导数求单调性，再求最大值即可（II） （1）f（xi）2015g（xn+1）恒成立可化为f（xi）max2015g（xn+1）min；从而化为函数的最值问题，从而求解即可；（2）化简H（x）=xf（x）+g（x）=x2+2ln（x+1）1，求导H（x）=+2x；再化简=ln+（x1+x2）；从而可得H（）=+（x1+x2）；即ln=2，令=t，（t（1，+），从而化为lnt=2（1），再构造函数u（t）=lnt+2，从而求导确定函数的单调性及取值即可【解析】： 解：（I）x0f（x0）g（x0）可化为a2lnx0，即a2lnx0，令h（x）=x22lnx，则h（x）=
29、2x=，（x0）当x，1）时，h（x）0；当x（1，e时，h（x）0；又h（）=+2h（e）=e22，hmax（x）=e22，则ae22；（II） （1）f（xi）2015g（xn+1）恒成立可化为f（xi）max2015g（xn+1）min；f（x），g（x）均为增函数，f（xi）max=n（2）=，2015g（xn+1）min=20152=4030；n4030，即n2686+；n的最大值为2686（2）H（x）=xf（x）+g（x）=x2+2ln（x+1）1， H（x）=+2x；=ln+（x1+x2）； H（）=+（x1+x2）；故可化为ln=，即ln=2令=t，（t（1，+），式可化为lnt=2（1），令u（t）=lnt+2，u（t）=0，u（t）在（1，+）上是增函数；u（t）u（1）=0；u（t）无零点，故A、B两点不存在【点评】： 本题考查了导数的综合应用，同时考查了恒成立问题及存在性问题，属于难题
