1、 类型1圆锥曲线的定义及应用【例1】(1)已知动点M的坐标满足方程5|3x4y12|，则动点M的轨迹是()A椭圆B双曲线C抛物线D以上都不对(2)双曲线16x29y2144的左、右两焦点分别为F1，F2，点P在双曲线上，且|PF1|PF2|64，则F1PF2_(1)C(2)60(1)把轨迹方程5|3x4y12|写成动点M到原点的距离与它到直线3x4y120的距离相等点M的轨迹是以原点为焦点，直线3x4y120为准线的抛物线(2)双曲线方程16x29y2144，化简为1，即a29，b216，所以c225，解得a3，c5，所以F1(5，0)，F2(5，0)设|PF1|m，|PF2|n，由双曲线的定
2、义知|mn|2a6，又已知mn64，在PF1F2中，由余弦定理知cosF1PF2所以F1PF260“回归定义”解题的三点应用应用一：在求轨迹方程时，若所求轨迹符合某种圆锥曲线的定义，则根据圆锥曲线的定义，写出所求的轨迹方程；应用二：涉及椭圆、双曲线上的点与两个定点构成的三角形问题时，常用定义结合解三角形的知识来解决；应用三：在求有关抛物线的最值问题时，常利用定义把到焦点的距离转化为到准线的距离，结合几何图形，利用几何意义去解决提醒：应用定义解题时注意圆锥曲线定义中的限制条件跟进训练1若A(3，2)，F为抛物线y22x的焦点，P为抛物线上任意一点，则|PF|PA|的最小值为_设点P在准线上的射影
3、为D，则根据抛物线的定义可知|PF|PD|，要求|PA|PF|取得最小值，即求|PA|PD|取得最小值，当D，P，A三点共线时|PA|PD|最小，为3 类型2圆锥曲线的方程【例2】(1)已知双曲线1(a0，b0)的离心率为2，过右焦点且垂直于x轴的直线与双曲线交于A，B两点设A，B到双曲线的同一条渐近线的距离分别为d1和d2，且d1d26，则双曲线的方程为()A1B1C1D1(2)已知直线yx2和椭圆1(ab0)交于A，B两点，且a2b若|AB|2，求椭圆的方程(1)C法一：因为双曲线1(a0，b0)的离心率为2，所以解得所以双曲线的渐近线方程为yxx依题意，不妨设A，B到直线yx的距离分别为
4、d1，d2，因为d1d26，所以6，所以6，解得a，所以b3，所以双曲线的方程为1，故选C法二：因为双曲线1(a0，b0)的离心率为2，所以解得如图所示，由d1d26，即|AD|BE|6，可得|CF|3，故b3，所以a，所以双曲线的方程为1(2)解由消去y并整理得x24x82b20由164(82b2)0，得b22设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则由根与系数的关系得x1x24，x1x282b2|AB|2，2，即2，解得b24，故a24b216所求椭圆的方程为1求圆锥曲线方程的一般步骤一般求已知曲线类型的曲线方程问题，可采用“先定形，后定式，再定量”的步骤(1)定形指的是二次曲线的焦点位置与
5、对称轴的位置(2)定式根据“形”设方程的形式，注意曲线系方程的应用，如当椭圆的焦点不确定在哪个坐标轴上时，可设方程为mx2ny21(m0，n0)(3)定量由题设中的条件找到“式”中待定系数的等量关系，通过解方程得到量的大小跟进训练2(1)以直线xy0为渐近线，一个焦点坐标为F(0，2)的双曲线方程是()Ay21Bx21Cy21Dx21(2)已知双曲线1(a0，b0)的两条渐近线与抛物线y22px(p0)的准线分别交于A，B两点，O为坐标原点若双曲线的离心率为2，AOB的面积为，求抛物线的标准方程(1)D设双曲线方程为3x2y2(0)， 因为焦点在y轴上，所以方程可化为1，由条件可知4，解得3所
6、以双曲线方程为3x2y23，即x21(2)解由已知得2，所以4，解得，即双曲线的渐近线方程为yx由题意得，抛物线的准线方程为x，可设A，B，从而AOB的面积为p，解得p2或p2(舍)所以抛物线的标准方程为y24x 类型3圆锥曲线的性质及应用【例3】(1)已知F1，F2是椭圆C：1(ab0)的左、右焦点，A是椭圆C的左顶点，点P在过A且斜率为的直线上，PF1F2为等腰三角形，F1F2P120，则C的离心率为()ABCD(2)若双曲线C：1(a0，b0)的一条渐近线被圆(x2)2y24所截得的弦长为2，则C的离心率为()A2BCD思路探究(1)利用数形结合，采取三角函数定义建立方程求解；(2)根据
7、弦长建立方程，求解(1)D(2)A(1)由题意易知直线AP的方程为y(xa)，直线PF2的方程为y(xc)联立，得P点纵坐标y(ac)，如图，过P向x轴引垂线，垂足为H，则PH(ac)因为PF2H60，PF2F1F22c，所以sin 60，即ac5c，即a4c，所以e故选D(2)由题意可知圆的圆心为(2，0)，半径为2因为双曲线1的渐近线方程为yx，即bxay0，且双曲线的一条渐近线与圆相交所得的弦长为2，所以，所以故离心率e2故选A求解离心率的三种方法(1)定义法：由椭圆(双曲线)的标准方程可知，不论椭圆(双曲线)的焦点在x轴上还是y轴上都有关系式a2b2c2(a2b2c2)以及e，已知其中
8、的任意两个参数，可以求其他的参数，这是基本且常用的方法(2)方程法：建立参数a与c之间的齐次关系式，从而求出其离心率，这是求离心率的十分重要的思路及方法(3)几何法：求与过焦点的三角形有关的离心率问题，根据平面几何性质以及椭圆(双曲线)的定义、几何性质，建立参数之间的关系，通过画出图形，观察线段之间的关系，使问题更形象、直观跟进训练3双曲线C的左、右焦点为F1，F2，O为坐标原点，过F2作C的渐近线的垂线，垂足为P若|PF1|OP|，求C的离心率解点F2(c，0)到渐近线yx的距离|PF2|b(b0)，而|OF2|c，所以在RtOPF2中，由勾股定理可得|OP|a，所以|PF1|OP|a在Rt
9、OPF2中，cosPF2O，在F1F2P中，cosPF2O，所以3b24c26a2，则有3(c2a2)4c26a2，解得(负值舍去)，即e 类型4直线与圆锥曲线的位置关系探究问题1在直线与圆锥曲线关系中，常见的有哪几种问题？提示公共点个数问题，弦长问题、中点弦问题、定点、定值问题及最值问题2在圆锥曲线中如何处理定点问题？提示引进参数法引进动点的坐标或动线中系数为参数表示变化量，再研究变化的量与参数何时没有关系，找到定点特殊到一般法根据动点或动线的特殊情况探索出定点，再证明该定点与变量无关【例4】设椭圆C：1(ab0)，右顶点是A(2，0)，离心率为(1)求椭圆C的方程；(2)若直线l与椭圆交于
10、两点M，N(M，N不同于点A)，若0，求证：直线l过定点，并求出定点坐标思路探究(1)由椭圆右顶点的坐标为A(2，0)，离心率e，可得a，c的值，由此可得椭圆C的方程；(2)当直线MN斜率不存在时，设lMN：xm，易得m，当直线MN斜率存在时，直线MN：ykxb(k0)，与椭圆方程1联立，得(4k23)x28kbx4b2120，由0可得bk，从而得证解(1)右顶点是A(2，0)，离心率为，所以a2，c1，则b，椭圆的标准方程为1(2)当直线MN斜率不存在时，设lMN：xm，与椭圆方程1联立得：|y|，|MN|2，设直线MN与x轴交于点B，|MB|AB|，即2m，m或m2(舍)，直线m过定点；当
11、直线MN斜率存在时，设直线MN斜率为k，M(x1，y1)，N(x2，y2)，则直线MN：ykxb(k0)，与椭圆方程1联立，得(4k23)x28kbx4b2120，(8kb)24(4k23)(4b212)0，kR，x1x2，x1x2，y1y2(kx1b)(kx2b)k2x1x2kb(x1x2)b20，则(x12，y1)(x22，y2)0，即x1x22(x1x2)4y1y20，7b24k216kb0，bk或b2k，直线lMN：yk或yk(x2)，直线过定点或(2，0)(舍去)；综上知直线过定点1圆锥曲线中的定值问题的常见类型及解题策略(1)证明代数式为定值依题设条件得出与代数式参数有关的等式，代
12、入所求代数式，化简得出定值(2)求点到直线的距离为定值利用点到直线的距离公式得出距离的表达式，再利用题设条件化简、变形(3)求某线段长度为定值利用两点间距离公式求得表达式，再根据条件对其进行化简、变形即可2圆锥曲线中定点问题的两种解法(1)探索直线过定点时，可设出直线方程为ykxb，然后利用条件建立b、k等量关系进行消元，借助于直线系的思想找出定点(2)从特殊情况入手，先探求定点，再证明与变量无关跟进训练4已知椭圆E的中心在坐标原点，两个焦点分别为F1(1，0)，F2(1，0)，短半轴长为2(1)求椭圆E的标准方程；(2)过焦点F2的直线l交椭圆E于A，B两点，满足，求直线l的方程解(1)由题
13、意，椭圆E的两个焦点分别为F1(1，0)，F2(1，0)，短半轴长为2，可得c1，b2，则a，所以椭圆E的标准方程为1(2)由题意知直线l与x轴不重合，设直线l：xny1，设A(x1，y1)，B(x2，y2)，联立方程得，整理得(4n25)y28ny160，可得y1y2，y1y2，又由，则0，得(x11，y1)(x21，y2)0，代入直线可得(ny12，y1)(ny22，y2)0，即(n21)y1y22n(y1y2)40，代入可得(n21)2n40，解得n2，所以直线l的方程为xy1，即直线l的方程为2xy20或2xy201(2020全国卷)设O为坐标原点，直线x2与抛物线C：y22px(p0
14、)交于D，E两点，若ODOE，则C的焦点坐标为()ABC(1，0)D(2，0)B将直线方程与抛物线方程联立，可得y2，不妨设D(2，2)，E(2，2)，由ODOE，可得44p0，解得p1，所以抛物线C的方程为y22x，其焦点坐标为2(2020全国卷)设双曲线C：1(a0，b0)的左、右焦点分别为F1，F2，离心率为P是C上一点，且F1PF2P若PF1F2的面积为4，则a()A1B2C4D8A法一：设|PF1|m，|PF2|n，p为双曲线右支上一点，则Smn4，mn2a，m2n24c2，又e，所以a1，选A法二：由题意得，S4，得b24，又5，c2b2a2，所以a13(2020新高考全国卷)(多
15、选题)已知曲线C：mx2ny21()A若mn0，则C是椭圆，其焦点在y轴上B若mn0，则C是圆，其半径为C若mn0，则C是两条直线ACD对于选项A，mn0，00，方程mx2ny21可变形为x2y2，该方程表示半径为的圆，错误；对于选项C，mn0，方程mx2ny21变形为ny21y，该方程表示两条直线，正确综上选ACD4(2020全国卷)已知F为双曲线C：1(a0，b0)的右焦点，A为C的右顶点，B为C上的点，且BF垂直于x轴若AB的斜率为3，则C的离心率为_2设B(c，yB)，因为B为双曲线C：1上的点，所以1，所以y因为AB的斜率为3，所以yB，3，所以b23ac3a2，所以c2a23ac3
16、a2，所以c23ac2a20，解得ca(舍去)或c2a，所以C的离心率e25(2020全国卷)已知A、B分别为椭圆E：y21(a1)的左、右顶点，G为E的上顶点，8，P为直线x6上的动点，PA与E的另一交点为C，PB与E的另一交点为D(1)求E的方程；(2)证明：直线CD过定点解(1)由题设得A(a，0)，B(a，0)，G(0，1)则(a，1)，(a，1)由8得a218，即a3所以E的方程为y21(2)证明：设C(x1，y1)，D(x2，y2)，P(6，t)若t0，设直线CD的方程为xmyn，由题意可知3n3由于直线PA的方程为y(x3)，所以y1(x13)直线PB的方程为y(x3)，所以y2(x23)可得3y1(x23)y2(x13)由于y1，故y，可得27y1y2(x13)(x23)，即(27m2)y1y2m(n3)(y1y2)(n3)20将xmyn代入y21得(m29)y22mnyn290所以y1y2，y1y2代入式得(27m2)(n29)2m(n3)mn(n3)2(m29)0解得n3(舍去)或n故直线CD的方程为xmy，即直线CD过定点若t0，则直线CD的方程为y0，过点综上，直线CD过定点
