1、9.2 向量运算 9.2.2 向量的数乘 第9章 平面向量 学 习 任 务核 心 素 养 1掌握向量数乘的运算及其几何意义(重点)2理解两个向量共线的含义，掌握向量共线定理3了解向量线性运算的性质及其几何意义1通过向量数乘概念的学习，培养数学抽象素养2通过向量数乘的运算及其运算律的应用，培养数学运算素养情境导学探新知 NO.1知识点1知识点2知识点3 一只兔子向东一秒钟的位移对应的向量为 a，那么它在同一方向上按照相同的速度行走 3 秒钟的位移对应的向量怎样表示？是 3a吗？兔子在相反方向上按照相同的速度行走 3 秒钟的位移对应的向量又怎样表示？是3a 吗？知识点 1 向量的数乘定义 一般地，
2、实数 与向量 a 的积是一个_，记作 a，它的长度和方向规定如下：(1)|a|_；(2)若 a0，则当 0 时，a 与 a 方向_；当 0 时，a 与a 方向_ 向量相同相反|a|实数 与向量 a 相乘的运算，叫作向量的数乘 特别地，当 0 时，0a0；当 a0 时，00 向量的数乘 a 的几何意义：当 0 时，把向量 a 沿着 a 的相同方向_；当 0 时，把向量 a 沿着 a 的_放大或缩小 放大或缩小相反方向1a0，一定能得到 0 吗？提示 不一定a0，则 0 或 a0 1思考辨析(正确的画“”，错误的画“”)(1)a0，则 a0()(2)对于非零向量 a，向量3a 与向量 3a 方向相
3、反()(3)对于非零向量 a，向量6a 的模是向量 3a 的模的 2 倍()答案(1)(2)(3)知识点 2 向量数乘的运算律 设 a，b 为向量，为实数，则(1)_()a；(2)()a_；(3)_ab 向量的加法、减法和数乘统称为向量的_运算 线性(ab)(a)aa2(1)5(4a)_(2)ae12e2，b3e12e2，则 ab_(1)20a(2)4e1(1)5(4a)5(4)a20a(2)ab(e12e2)(3e12e2)4e1 知识点 3 向量共线定理 一般地，对于两个向量 a(a0)，b，设 a 为非零向量，如果有一个实数，使 ba，那么 b 与 a 是共线向量；反之，如果 b 与 a
4、 是共线向量，那么有且只有一个实数，使 ba 2向量共线定理中，为什么规定 a0 提示 当 a0 时，显然 b 与 a 共线，此时若 b0，则存在无数实数，使 ba；若 b0，则不存在实数 使得 ba 3已知 e1 和 e2 不共线，则下列向量 a，b 共线的序号是_ a2e1，b2e2；ae1e2，b2e12e2；a4e125e2，be1 110e2；ae1e2，b2e12e2 e1 与 e2 不共线，不正确；对于有 b2a；对于有 a4b；不正确 合作探究释疑难 NO.2类型1 类型2 类型3 类型 1 向量数乘的基本运算【例 1】计算：(1)6(3a2b)9(2ab)；(2)123a2b
5、23ab 7612a37b76a；(3)6(abc)4(a2bc)2(2ac)解(1)原式18a12b18a9b3b(2)原式123a2b23ab 7612a37b12a 32ab13a12b 712a12b 712a0(3)原式6a6b6c4a8b4c4a2c6a2b 向量的数乘运算类似于代数多项式的运算，主要是“合并同类项”“提取公因式”，但这里的“同类项”“公因式”指向量，实数看作是向量的系数.向量也可以通过列方程来解，把所求向量当作未知量，利用解代数方程的方法求解.跟进训练 1若向量 a3i4j，b5i4j，则13ab 3a23b(2ba)_ 16i323 j 原式13ab3a2b2b
6、a 113 ab 113(3i4j)(5i4j)(115)i443 4 j 16i323 j 类型 2 向量的共线问题【例 2】已知非零向量 e1，e2 不共线 (1)如果ABe1e2，BC2e18e2，CD 3(e1e2)，求证：A，B，D 三点共线(2)欲使 ke1e2 和 e1ke2 共线，试确定实数 k 的值 1欲证 A，B，D 三点共线，能否证明AB与AD 或BD 共线？2若 ke1e2 与 e1ke2 共线，则两向量间存在怎样的等量关系？解(1)证明：ABe1e2，BD BCCD 2e18e23e13e25(e1e2)5AB，AB，BD 共线，且有公共点 B，A，B，D 三点共线(
7、2)ke1e2 与 e1ke2 共线，存在实数，使 ke1e2(e1ke2)，则(k)e1(k1)e2，由于 e1 与 e2 不共线，只能有k0，k10，k1 1证明三点共线，通常转化为证明这三点构成的其中两个向量共线，向量共线定理是解决向量共线问题的依据2若 A，B，C 三点共线，则向量AB，AC，BC在同一直线上，因此必定存在实数，使得其中两个向量之间存在线性关系而向量共线定理是实现线性关系的依据 跟进训练 2(对接教材 P19T11)已知 O，A，M，B 为平面上四点，且OM OB(1)OA(R，0 且 1)(1)求证：A，B，M 三点共线；(2)若点 B 在线段 AM 上，求实数 的取
8、值范围 解(1)证明：OM OB(1)OA，OM OB OA OA，OM OA OB OA，AM AB(R，0，且 1)又AM 与AB有公共点 A，A，B，M 三点共线(2)由(1)知AM AB，若点 B 在线段 AM 上，则AM 与AB同向，|AM|AB|0，1 类型 3 向量的表示【例 3】如图所示，已知OAB 中，点 C 是以 A 为对称中心的 B 点的对称点，D 是把OB 分成 21 的一个内分点，DC 和 OA 交于 E，设OA a，OB b(1)用 a 和 b 表示向量OC，DC；(2)若OE OA，求实数 的值 解(1)依题意，A 是 BC 中点，2OA OB OC，即OC 2O
9、A OB 2ab，DC OC OD OC 23OB 2ab23b2a53b(2)若OE OA，则CEOE OC a(2ab)(2)ab CE与DC 共线，存在实数 k，使CEkDC，(2)abk2a53b，解得 45 用已知向量表示未知向量的求解思路(1)先结合图形的特征，把待求向量放在三角形或平行四边形中；(2)然后结合向量的三角形法则或平行四边形法则及向量共线定理，用已知向量表示未知向量；(3)求解过程体现了数学上的化归思想 跟进训练 3(1)设 O 是ABC 内部一点，且OA OC 3OB，则AOB与AOC 的面积之比为_(2)如图，在OADB 中，设OA a，OB b，BM 13BC，
10、CN 13CD 试用 a，b 表示MN _(1)13(2)12a16b(1)如图，由平行四边形法则，知OA OC OD，其中 E 为 AC 的中点所以OA OC 2OE 3OB 所以OB 23OE，|OB|23|OE|设点 A 到 BD 的距离为 h，则 SAOB12|OB|h，SAOC2SAOE|OE|h 所以SAOBSAOC12|OB|h|OE|h12|OB|OE|122313(2)由题意知，在OADB 中，BM 13BC16BA16(OA OB)16(ab)16a16b 则OM OB BM b16a16b16a56b，ON 23OD 23(OA OB)23(ab)23a23b，MN ON
11、 OM 23a23b16a56b12a16b 当堂达标夯基础 NO.31 2 3 4 5 1已知线段上 A，B，C 三点满足BC2AB，则这三点在线段上的位置关系是()A BC D答案 A 1 2 3 4 5 2(多选题)若P1P 4P2P，则下列各式中正确的是()AP1P2 3PP2BP1P2 3P2P CP2P 13P1P2DP1P2 34P1P BCD 由P1P 4P2P 可知P1P2 PP2 PP1 PP2 4PP2 3PP2 3P2P，故 A 错误，B 正确；同理可知P2P 13P1P2，P1P2 34P1P，故选 BCD1 2 3 4 5 3已知 mR，下列说法正确的是()A若 m
12、a0，则必有 a0 B若 m0，a0，则 ma 与 a 方向相同 Cm0，a0，则|ma|m|a|D若 m0，a0，则 ma 与 a 共线 1 2 3 4 5 D A 错若 ma0，则 m0 或 a0；B 错m0 时，ma 与 a 同向，m0 时，ma 与 a 反向；C 错|ma|m|a|，m0 时，|ma|m|a|；m0 时，|ma|m|a|1 2 3 4 5 4ABC 中，E，F 分别是 AB，AC 的中点，且ABa，ACb，则EF_(用 a，b 表示)12(ba)EFAFAE12AC12AB12(ba)5 1 2 3 4 5若AB5e，CD 7e，且|AD|BC|，则四边形 ABCD 的
13、形状是_ 等腰梯形 AB5e，CD 7e，CD 75AB，AB与CD 平行且方向相反，易知|CD|AB|又|AD|BC|，四边形 ABCD 是等腰梯形 回顾本节知识，自我完成以下问题：1如何描述向量 a 的大小、方向？提示 向量 a 的大小为：|a|a|；向量 a 的方向与实数 有关：当 0 时，a 的方向与 a 相同；当 0 时，a 的方向具有任意性；当 0 时，a 的方向与 a 相反 2若OP xOA yOB，则 A，B，P 三点共线的充要条件是什么？提示 xy1 3若向量 a，b 共线，且 a0，则 a 与 b 存在怎样的等量关系？提示 ba，其中 是唯一确定的实数 点击右图进入 课 后 素 养 落 实 谢谢观看 THANK YOU!
