1、第1讲 向量的概念与线性运算 知 识 梳理 1平面向量的有关概念:(1)向量的定义:既有_大小又有方向_的量叫做向量.(2)表示方法:用有向线段来表示向量.有向线段的_长度_表示向量的大小,用_箭头所指的方向_表示向量的方向.用字母a,b,或用,表示.特别提醒: 1) 模:向量的长度叫向量的模,记作|a|或|.2) 零向量:长度为零的向量叫做零向量,记作0;零向量的方向不确定.3) 单位向量:长度为1个长度单位的向量叫做单位向量.4) 共线向量:方向相同或相反的向量叫共线向量,规定零向量与任何向量共线.5) 相等的向量:长度相等且方向相同的向量叫相等的向量.2向量的线性运算1.向量的加法:(1
2、)定义:求两个向量和的运算,叫做向量的加法.如图,已知向量a,b,在平面内任取一点,作a,b,则向量叫做a与b的和,记作a+b,即 a+b特殊情况: 对于零向量与任一向量a,有 a a a(2)法则:_三角形法则_,_平行四边形法则_(3)运算律:_ a+b=b+a;_,_(a+b)+c=a+(b+c)._2.向量的减法:(1)定义:求两个向量差的运算,叫做向量的减法.已知向量a、b,求作向量 (a-b) + b = a + (-b) + b = a + 0 = a 减法的三角形法则作法:在平面内取一点O, 作= a, = b, 则= a - b 即a - b可以表示为从向量b的终点指向向量a
3、的终点的向量注意:1) 表示a - b强调:差向量“箭头”指向被减数2) 用“相反向量”定义法作差向量,a - b = a + (-b) 显然,此法作图较繁,但最后作图可统一a-bAABBBOa-baabbOAOBa-ba-bBAO-babc a - b = a + (-b) a - b(2)法则:_三角形法则_3.实数与向量的积:(1)定义:实数与向量a的积是一个向量,记作a,规定:|a|=|a|.当0时,a的方向与a的方向相同;当0时,a的方向与a的方向相反;当=0时,a与a平行.(2)运算律:(a)=()a, (+)a=a+a, (a+b)=a+b.特别提醒:1) 向量的加、减及其与实数
4、的积的结果仍是向量。2) 重要定理:向量共线定理:向量b与非零向量a共线的充要条件是有且仅有一个实数,使得b=a,即bab=a(a0). 重 难 点 突 破 1.重点:理解向量及与向量相关的概念,掌握向量的几何表示,掌握向量的加法与减法,会正确运用三角形法则、平行四边形法则2.难点:掌握向量加法的交换律、结合律,并会用它们进行向量化简与计算3.重难点:.问题1: 相等向量与平行向量的区别答案:向量平行是向量相等的必要条件。问题2:向量平行(共线)与直线平行(共线)有区别答案:直线平行不包括共线(即重合),而向量平行则包括共线(重合)的情况。问题3:对于两个向量平行的充要条件:aba=b,只有b
5、0才是正确的.而当b=0时,ab是a=b的必要不充分条件.问题4;向量与有向线段的区别:(1)向量是自由向量,只有大小和方向两个要素;与起点无关:只要大小和方向相同,则这两个向量就是相同的向量;(2)有向线段有起点、大小和方向三个要素,起点不同,尽管大小和方向相同,也是不同的有向线段 热 点 考 点 题 型 探 析考点一: 向量及与向量相关的基本概念题型1. 概念判析例1判断下列各命题是否正确(1)零向量没有方向 (2)若(3)单位向量都相等 (4) 向量就是有向线段(5)两相等向量若共起点,则终点也相同 (6)若,则;(7)若,则 (8)若四边形ABCD是平行四边形,则(9) 的充要条件是且
6、;解题思路:正确理解向量的有关概念,以概念为判断依据,或通过举反例说明。解析:解:(1) 不正确,零向量方向任意, (2) 不正确,说明模相等,还有方向 (3) 不正确,单位向量的模为1,方向很多 (4) 不正确,有向线段是向量的一种表示形式 (5)正确, (6)正确,向量相等有传递性 (7)不正确,因若,则不共线的向量也有,。(8) 不正确, 如图 (9)不正确,当,且方向相反时,即使,也不能得到;【名师指引】对于有关向量基本概念的考查,可以从概念的特征入手,也可以从通过举出反例而排除或否定相关命题。【新题导练】1 判断下列命题是否正确,若不正确,请简述理由.向量与是共线向量,则A、B、C、
7、D四点必在一直线上;单位向量都相等;任一向量与它的相反向量不相等;四边形ABCD是平行四边形的充要条件是 模为0是一个向量方向不确定的充要条件;共线的向量,若起点不同,则终点一定不同.解:不正确.共线向量即平行向量,只要求方向相同或相反即可,并不要求两个向量、在同一直线上.不正确.单位向量模均相等且为1,但方向并不确定.不正确.零向量的相反向量仍是零向量,但零向量与零向量是相等的.、正确.不正确.如图与共线,虽起点不同,但其终点却相同.评述:本题考查基本概念,对于零向量、单位向量、平行向量、共线向量的概念特征及相互关系必须把握好.2下列命题正确的是( )A.与共线,与共线,则与c也共线B.任意
8、两个相等的非零向量的始点与终点是一平行四边形的四顶点C.向量与不共线,则与都是非零向量D.有相同起点的两个非零向量不平行解:由于零向量与任一向量都共线,所以A不正确;由于数学中研究的向量是自由向量,所以两个相等的非零向量可以在同一直线上,而此时就构不成四边形,根本不可能是一个平行四边形的四个顶点,所以B不正确;向量的平行只要方向相同或相反即可,与起点是否相同无关,所以不正确;对于C,其条件以否定形式给出,所以可从其逆否命题来入手考虑,假若与不都是非零向量,即与至少有一个是零向量,而由零向量与任一向量都共线,可有与共线,不符合已知条件,所以有与都是非零向量,所以应选C.考点二: 向量的加、减法题
9、型1: 考查加加、减法运算及相关运算律例2 化简解题思路:考查向量的加、减法,及相关运算律。解法一(统一成加法)=解法二(利用)= = =解法三(利用)设O是平面内任意一点,则=【名师指引】掌握向量加减的定义及向量加法的交换律、结合律等基础知识在求解时需将杂乱的向量运算式有序化处理,必要时也可化减为加,减低出错律 题型2: 结合图型考查向量加、减法例3 (2008广州市一模)在所在的平面上有一点,满足,则与的面积之比是( )A B C DBCAP5-1-2解题思路: 本题中的已知向量都集中体现在三角形中为此,可充分利用向量加减法的三角形法则实施求解【解析】由,得,即,所以点是边上的第二个三等分
10、点,如图所示.故【名师指引】三角形中两边对应向量已知,可求第三边所对应的向量值得注意的是,向量的方向不能搞错当向量运算转化成代数式运算时,其运算过程可仿照多项式的加减运算进行【新题导练】3若32,3,其中,是已知向量,求,.解析:记32 3得得11. 将代入有:4如图,在ABC中,D、E为边AB的两个三等分点,=3a,=2b,求,ABCDE解析: =+ = 3a+2b,因D、E为的两个三等分点,故=ab =, =3aab =2ab,=2abab=ab考点三: 向量数乘运算及其几何意义题型1: 三点共线问题例4 设是不共线的向量,已知向量,若A,B,D三点共线,求k的值解题思路:证明存在实数,使
11、得解析:, 使得例5 已知A、B、C、P为平面内四点,求证:A、B、C三点在一条直线上的充要条件是存在一对实数m、n,使=m+n,且m+n=1解题思路: A、B、C 三点共线的一个充要条件是存在 实数,使得=很显然,题设条件中向量表达式并未涉及、,对此,我们不妨利用 = 来转化,以便进一步分析求证解析:证明 充分性,由=mn, mn=1, 得 =mn() =(mn)n=n, =nA、B、C三点共线必要性:由A、B、C 三点共线知,存在常数,使得=, 即 +=(+)=(1)=(1),m=1,n=,mn=1, =mn【名师指引】1、逆向应用向量加法运算法则,使得本题的这种证法比其他证法更简便,值得
12、一提的是,一个向量拆成两个向量的和,一定要强化目标意识2、这是一个重要结论,要牢记。题型2: 用向量法解决几何问题 例6 已知ABCD的两条对角线AC与BD交于E,O是任意一点,求证:+=4 解题思路:由平行四边形的对角线互相平分和相等向AODCB量的定义可得。解析:证明:E是对角线AC和BD的交点 =- ,=- 在OAE中,+=同理 += , += ,+=以上各式相加,得 +=4【名师指引】用向量法解平面几何问题,实质上是将平面几何问题的代数化处理,在解题中应注意进行向量语言与图形语言的互译【新题导练】5-1-35已知、是两个不共线的向量,若它们起点相同,、t(+)三向量的终点在一直线上,则
13、实数t=_.【解析】如图, 、t(+)三向量的终点在一直线上,存在实数使:t(+)=()得(t)=(t)又、不共线,t=0且t=0 解得t=6向量方法证明:对角线互相平分的四边形是平行四边形。已知四边形ABCD,AC与BD交于O,AO=OC,DO=OB,求证:ABCD是平行四边形。证:如图: 又由已知 ,故AB与DC平行且相等,所以ABCD是平行四边形。 抢 分 频 道 基础巩固训练1. 判断下列命题是否正确,并说明理由:(1)共线向量一定在同一条直线上。()(2)所有的单位向量都相等。()(3)向量共线,共线,则共线。()(4)向量共线,则()(5)向量,则。()(6)平行四边形两对边所在的
14、向量一定是相等向量。()解:(1)错。因为两个向量的方向相同或相反叫共线向量,而两个向量所在直线平行时也称它们为共线向量,即共线向量不一定在同一条直线上。(2)错。单位向量是指长度等于1个单位长度的向量,而其方向不一定相同,它不符合相等向量的意义。(3)错。注意到零向量与任意向量共线,当为零向量时,它不成立。(想一想:你能举出反例吗?又若时,此结论成立吗?)(4)对。因共线向量又叫平行向量。(5)错。平行向量与平行直线是两个不同概念,AB、CD也可能是同一条直线上。(6)错。平行四边形两对边所在的向量也可能方向相反。2. (四川省成都市一诊)在四边形ABCD中,“”是“四边形ABCD为梯形”的
15、A、充分不必要条件B、必要不充分条件C、充要条件D、既不充分也不必要条件答案:A 四边形ABCD为梯形,但反之不成立.选A3已知向量,若向量共线,则下列关系一定成立的是( )A、 B、 C、 D、或答案:D 提示:考虑情况要充分。4D、E、F分别是ABC的BC、CA、AB上的中点,且, ,给出下列命题,其中正确命题的个数是( ) A、1 B、2 C、3 D、4答案:D 提示:结合图形及向量加减法的几何意义,易得4个命题均是正确命题。5已知:,则下列关系一定成立的是( )A、A,B,C三点共线 B、A,B,D三点共线C、C,A,D三点共线 D、B,C,D三点共线答案:C 解析:,所以C,A,D三
16、点共线6(广东北江中学2008高三统测)若则向量的关系是( ) A平行 B重合 C垂直 D不确定ABCD答案:C 提示:分别表示平行四边形的两条对角线,它们相等,即说明四边形ABCD为矩形。故选C综合拔高训练7(安徽省合肥市2008年高三年级第一次质检)如图,已知,用表示,则( )A B CD答案:B解析:8已知+=,-=,用、表示= 。答案: 提示:(+)+(-)=+=所以=9已知,且,试求t关于k的函数。答案:,则 -3t = ( 2t + 1 )( k2 1 ) 10如图,在OAB中,AD与BC交于M点,设,(1)试用和表示向量(2)在线段AC上取一点E,线段BD上取一点F,使EF过M点,设,。求证:。解:(1)设,则+,A、M、D三点共线, 共线, m+2n=1 而,=, C、M、B三点共线, 共线= 4m+n=1 联立、解得m=, n=,故。(2)证明:=(-), = 共线, = - 。