1、第1讲 向量的概念与线性运算 知 识 梳理 1平面向量的有关概念：（1）向量的定义：既有_大小又有方向_的量叫做向量.（2）表示方法：用有向线段来表示向量.有向线段的_长度_表示向量的大小，用_箭头所指的方向_表示向量的方向.用字母a，b，或用，表示.特别提醒： 1) 模：向量的长度叫向量的模，记作|a|或|.2) 零向量：长度为零的向量叫做零向量，记作0；零向量的方向不确定.3) 单位向量：长度为1个长度单位的向量叫做单位向量.4) 共线向量：方向相同或相反的向量叫共线向量，规定零向量与任何向量共线.5) 相等的向量：长度相等且方向相同的向量叫相等的向量.2向量的线性运算1.向量的加法：（1
2、）定义：求两个向量和的运算，叫做向量的加法.如图，已知向量a，b，在平面内任取一点，作a，b，则向量叫做a与b的和，记作a+b，即 a+b特殊情况： 对于零向量与任一向量a，有 a a a（2）法则：_三角形法则_，_平行四边形法则_（3）运算律：_ a+b=b+a；_，_（a+b）+c=a+（b+c）._2.向量的减法：（1）定义：求两个向量差的运算，叫做向量的减法.已知向量a、b，求作向量 (a-b) + b = a + (-b) + b = a + 0 = a 减法的三角形法则作法：在平面内取一点O， 作= a, = b, 则= a - b 即a - b可以表示为从向量b的终点指向向量a
3、的终点的向量注意：1) 表示a - b强调：差向量“箭头”指向被减数2) 用“相反向量”定义法作差向量，a - b = a + (-b) 显然，此法作图较繁，但最后作图可统一a-bAABBBOa-baabbOAOBa-ba-bBAO-babc a - b = a + (-b) a - b（2）法则：_三角形法则_3.实数与向量的积：（1）定义：实数与向量a的积是一个向量，记作a，规定：|a|=|a|.当0时，a的方向与a的方向相同；当0时，a的方向与a的方向相反；当=0时，a与a平行.（2）运算律：（a）=（）a， （+）a=a+a， （a+b）=a+b.特别提醒：1) 向量的加、减及其与实数
4、的积的结果仍是向量。2) 重要定理：向量共线定理：向量b与非零向量a共线的充要条件是有且仅有一个实数，使得b=a，即bab=a（a0）. 重 难 点 突 破 1.重点：理解向量及与向量相关的概念，掌握向量的几何表示，掌握向量的加法与减法，会正确运用三角形法则、平行四边形法则2.难点：掌握向量加法的交换律、结合律，并会用它们进行向量化简与计算3.重难点：.问题1: 相等向量与平行向量的区别答案：向量平行是向量相等的必要条件。问题2:向量平行（共线）与直线平行（共线）有区别答案：直线平行不包括共线（即重合），而向量平行则包括共线（重合）的情况。问题3：对于两个向量平行的充要条件：aba=b，只有b
5、0才是正确的.而当b=0时，ab是a=b的必要不充分条件.问题4；向量与有向线段的区别：（1）向量是自由向量，只有大小和方向两个要素；与起点无关：只要大小和方向相同，则这两个向量就是相同的向量；（2）有向线段有起点、大小和方向三个要素，起点不同，尽管大小和方向相同，也是不同的有向线段 热 点 考 点 题 型 探 析考点一： 向量及与向量相关的基本概念题型1. 概念判析例1判断下列各命题是否正确(1)零向量没有方向 (2)若(3)单位向量都相等 (4) 向量就是有向线段(5)两相等向量若共起点,则终点也相同 (6)若，则；(7)若，则 (8)若四边形ABCD是平行四边形,则(9) 的充要条件是且
6、；解题思路：正确理解向量的有关概念，以概念为判断依据，或通过举反例说明。解析：解：(1) 不正确，零向量方向任意, (2) 不正确，说明模相等,还有方向 (3) 不正确，单位向量的模为1,方向很多 (4) 不正确，有向线段是向量的一种表示形式 (5)正确， （6）正确，向量相等有传递性 （7）不正确，因若，则不共线的向量也有，。(8) 不正确, 如图 （9）不正确，当，且方向相反时，即使，也不能得到；【名师指引】对于有关向量基本概念的考查，可以从概念的特征入手，也可以从通过举出反例而排除或否定相关命题。【新题导练】1 判断下列命题是否正确，若不正确，请简述理由.向量与是共线向量，则A、B、C、
7、D四点必在一直线上；单位向量都相等；任一向量与它的相反向量不相等；四边形ABCD是平行四边形的充要条件是 模为0是一个向量方向不确定的充要条件；共线的向量，若起点不同，则终点一定不同.解：不正确.共线向量即平行向量，只要求方向相同或相反即可，并不要求两个向量、在同一直线上.不正确.单位向量模均相等且为1，但方向并不确定.不正确.零向量的相反向量仍是零向量，但零向量与零向量是相等的.、正确.不正确.如图与共线，虽起点不同，但其终点却相同.评述：本题考查基本概念，对于零向量、单位向量、平行向量、共线向量的概念特征及相互关系必须把握好.2下列命题正确的是（ ）A.与共线，与共线，则与c也共线B.任意
8、两个相等的非零向量的始点与终点是一平行四边形的四顶点C.向量与不共线，则与都是非零向量D.有相同起点的两个非零向量不平行解：由于零向量与任一向量都共线，所以A不正确；由于数学中研究的向量是自由向量，所以两个相等的非零向量可以在同一直线上，而此时就构不成四边形，根本不可能是一个平行四边形的四个顶点，所以B不正确；向量的平行只要方向相同或相反即可，与起点是否相同无关，所以不正确；对于C，其条件以否定形式给出，所以可从其逆否命题来入手考虑，假若与不都是非零向量，即与至少有一个是零向量，而由零向量与任一向量都共线，可有与共线，不符合已知条件，所以有与都是非零向量，所以应选C.考点二: 向量的加、减法题
9、型1: 考查加加、减法运算及相关运算律例2 化简解题思路：考查向量的加、减法，及相关运算律。解法一（统一成加法）=解法二（利用）= = =解法三（利用）设O是平面内任意一点，则=【名师指引】掌握向量加减的定义及向量加法的交换律、结合律等基础知识在求解时需将杂乱的向量运算式有序化处理，必要时也可化减为加，减低出错律 题型2: 结合图型考查向量加、减法例3 (2008广州市一模)在所在的平面上有一点，满足，则与的面积之比是( )A B C DBCAP5-1-2解题思路： 本题中的已知向量都集中体现在三角形中为此，可充分利用向量加减法的三角形法则实施求解【解析】由,得,即,所以点是边上的第二个三等分
10、点,如图所示.故【名师指引】三角形中两边对应向量已知，可求第三边所对应的向量值得注意的是，向量的方向不能搞错当向量运算转化成代数式运算时，其运算过程可仿照多项式的加减运算进行【新题导练】3若32，3，其中，是已知向量，求，.解析：记32 3得得11. 将代入有：4如图，在ABC中，D、E为边AB的两个三等分点，=3a，=2b，求，ABCDE解析： =+ = 3a+2b，因D、E为的两个三等分点，故=ab =， =3aab =2ab，=2abab=ab考点三: 向量数乘运算及其几何意义题型1: 三点共线问题例4 设是不共线的向量,已知向量,若A,B,D三点共线,求k的值解题思路：证明存在实数，使
11、得解析：, 使得例5 已知A、B、C、P为平面内四点，求证：A、B、C三点在一条直线上的充要条件是存在一对实数m、n，使=m+n，且m+n=1解题思路： A、B、C 三点共线的一个充要条件是存在 实数，使得=很显然，题设条件中向量表达式并未涉及、，对此，我们不妨利用 = 来转化，以便进一步分析求证解析：证明 充分性，由=mn， mn=1， 得 =mn（） =（mn）n=n， =nA、B、C三点共线必要性:由A、B、C 三点共线知，存在常数，使得=， 即 +=（+）=（1）=（1），m=1，n=，mn=1， =mn【名师指引】1、逆向应用向量加法运算法则，使得本题的这种证法比其他证法更简便，值得
12、一提的是，一个向量拆成两个向量的和，一定要强化目标意识2、这是一个重要结论，要牢记。题型2: 用向量法解决几何问题 例6 已知ABCD的两条对角线AC与BD交于E，O是任意一点，求证：+=4 解题思路：由平行四边形的对角线互相平分和相等向AODCB量的定义可得。解析：证明：E是对角线AC和BD的交点 =- ,=- 在OAE中，+=同理 += ， += ，+=以上各式相加，得 +=4【名师指引】用向量法解平面几何问题，实质上是将平面几何问题的代数化处理，在解题中应注意进行向量语言与图形语言的互译【新题导练】5-1-35已知、是两个不共线的向量，若它们起点相同，、t（+）三向量的终点在一直线上，则
13、实数t=_.【解析】如图, 、t（+）三向量的终点在一直线上,存在实数使:t（+）=（）得（t）=（t）又、不共线，t=0且t=0 解得t=6向量方法证明：对角线互相平分的四边形是平行四边形。已知四边形ABCD，AC与BD交于O，AO=OC，DO=OB，求证：ABCD是平行四边形。证：如图： 又由已知 ，故AB与DC平行且相等，所以ABCD是平行四边形。 抢 分 频 道 基础巩固训练1. 判断下列命题是否正确，并说明理由：（1）共线向量一定在同一条直线上。（）（2）所有的单位向量都相等。（）（3）向量共线，共线，则共线。（）（4）向量共线，则（）（5）向量，则。（）（6）平行四边形两对边所在的
14、向量一定是相等向量。（）解：（1）错。因为两个向量的方向相同或相反叫共线向量，而两个向量所在直线平行时也称它们为共线向量，即共线向量不一定在同一条直线上。（2）错。单位向量是指长度等于1个单位长度的向量，而其方向不一定相同，它不符合相等向量的意义。（3）错。注意到零向量与任意向量共线，当为零向量时，它不成立。（想一想：你能举出反例吗？又若时，此结论成立吗？）（4）对。因共线向量又叫平行向量。（5）错。平行向量与平行直线是两个不同概念，AB、CD也可能是同一条直线上。（6）错。平行四边形两对边所在的向量也可能方向相反。2. (四川省成都市一诊)在四边形ABCD中，“”是“四边形ABCD为梯形”的
15、A、充分不必要条件B、必要不充分条件C、充要条件D、既不充分也不必要条件答案：A 四边形ABCD为梯形，但反之不成立.选A3已知向量，若向量共线，则下列关系一定成立的是（ ）A、 B、 C、 D、或答案：D 提示：考虑情况要充分。4D、E、F分别是ABC的BC、CA、AB上的中点，且， ，给出下列命题，其中正确命题的个数是（ ） A、1 B、2 C、3 D、4答案：D 提示：结合图形及向量加减法的几何意义，易得4个命题均是正确命题。5已知：，则下列关系一定成立的是（ ）A、A，B，C三点共线 B、A，B，D三点共线C、C，A，D三点共线 D、B，C，D三点共线答案：C 解析：，所以C，A，D三
16、点共线6（广东北江中学2008高三统测）若则向量的关系是（ ） A平行 B重合 C垂直 D不确定ABCD答案：C 提示：分别表示平行四边形的两条对角线，它们相等，即说明四边形ABCD为矩形。故选C综合拔高训练7(安徽省合肥市2008年高三年级第一次质检)如图，已知，用表示，则（ ）A B CD答案：B解析：8已知+=，-=，用、表示= 。答案： 提示：（+）+（-）=+=所以=9已知，且，试求t关于k的函数。答案：，则 -3t = ( 2t + 1 )( k2 1 ) 10如图，在OAB中，AD与BC交于M点，设，（1）试用和表示向量（2）在线段AC上取一点E，线段BD上取一点F，使EF过M点，设，。求证：。解：（1）设，则+，A、M、D三点共线， 共线， m+2n=1 而，=， C、M、B三点共线， 共线= 4m+n=1 联立、解得m=， n=，故。（2）证明：=（-）， = 共线， = - 。