1、第2课时正弦定理和余弦定理学习目标1.熟练掌握正弦、余弦定理及其变形形式.2.能利用正弦、余弦定理解决有关三角形的恒等式化简、证明及形状判断等问题知识点一正弦定理、余弦定理及常见变形1正弦定理及常见变形(1)2R(其中R是ABC外接圆的半径)；(2)a2Rsin A；(3)sin A，sin B，sin C.2余弦定理及常见变形(1)a2b2c22bccos A，b2a2c22accos B，c2a2b22abcos C；(2)cos A，cos B，cos C.知识点二有关三角形的隐含条件(1)由ABC180可得sin(AB)sin C，cos(AB)cos C，(2)由大边对大角可得sin
2、 Asin BAB.(3)由锐角ABC可得任意两内角之和大于，进而可得sin Acos B.1当b2c2a20时，ABC为锐角三角形()2ABC中，若cos 2Acos 2B，则AB.()3在ABC中，恒有a2(bc)22bc(1cos A)()4ABC中，若c2a2b20，则角C为钝角()题型一利用正弦、余弦定理解三角形例1在ABC中，若ccos Bbcos C，cos A，求sin B的值解由ccos Bbcos C，结合正弦定理，得sin Ccos Bsin Bcos C，故sin(BC)0，0B，0C，BC，BC0，BC，故bc.cos A，由余弦定理可知，a2b2c22bccos A
3、2b22b2b2，得3a22b2，再由余弦定理，得cos B，故sin B.引申探究1对于本例中的条件，ccos Bbcos C，能否使用余弦定理？解由余弦定理，得cb.化简得a2c2b2a2b2c2，c2b2，从而cb.2本例中的条件ccos Bbcos C的几何意义是什么？解如图，作ADBC，垂足为D.则ccos BBD，bcos CCD.ccos Bbcos C的几何意义为边AB，AC在BC边上的射影相等反思感悟(1)边、角互化是处理三角形边、角混合条件的常用手段(2)解题时要画出三角形，将题目条件直观化，根据题目条件，灵活选择公式跟踪训练1在ABC中，已知b2ac，a2c2acbc.(
4、1)求A的大小；(2)求的值解(1)由题意及余弦定理知，cos A，A(0，)，A.(2)由b2ac，得，sin Bsin Bsin A.题型二判断三角形形状例2在ABC中，已知a，b，c分别是角A，B，C的对边，若，试判断三角形的形状解方法一由正弦定理知，a2Rsin A，b2Rsin B，R为ABC外接圆半径，sin Acos Bsin Bcos Bsin Acos Bsin Acos A，sin Bcos Bsin Acos A，sin 2Bsin 2A，2A2B或2A2B，即AB或AB，ABC为等腰三角形或直角三角形方法二由，得11，由余弦定理，得，.a2(b2c2a2)b2(a2c2
5、b2)，a2c2a4b2c2b4，c2(a2b2)(a2b2)(a2b2)a2b2或c2a2b2.ABC是等腰三角形或直角三角形反思感悟(1)要结合题目特征灵活选择使用正弦定理还是使用余弦定理(2)变形要注意等价性，如sin 2Asin 2B2A2B.c2(a2b2)(a2b2)(a2b2) c2a2b2.跟踪训练2在ABC中，若sin2Asin2Bsin2C，则ABC的形状是()A锐角三角形 B直角三角形C钝角三角形 D不能确定答案C解析由正弦定理知，sin A，sin B，sin C.sin2Asin2Bsin2C可化为a2b2c2，a2b2c20.cos C0.角C为钝角，ABC为钝角三
6、角形题型三利用正弦、余弦定理进行求值、化简和证明例3在ABC中，有(1)abcos Cccos B；(2)bccos Aacos C；(3)cacos Bbcos A，这三个关系式也称为射影定理，请给出证明证明方法一(1)由正弦定理，得b2Rsin B，c2Rsin C，bcos Cccos B2Rsin Bcos C2Rsin Ccos B2R(sin Bcos Ccos Bsin C)2Rsin(BC)2Rsin Aa.即abcos Cccos B.同理可证(2)bccos Aacos C；(3)cacos Bbcos A.方法二(1)由余弦定理，得cos B，cos C，bcos Ccc
7、os Bbca.abcos Cccos B.同理可证(2)bccos Aacos C；(3)cacos Bbcos A.反思感悟证明三角形中边角混合关系恒等式，可以考虑两种途径：一是把角的关系通过正弦、余弦定理转化为边的关系，正弦借助正弦定理转化，余弦借助余弦定理转化；二是通过正弦定理把边的关系转化为角的关系跟踪训练3在ABC中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c.若a4，b5，c6，则 .答案1解析由余弦定理得cos A，所以1.求三角形一角的值典例在ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，若(a2c2b2)tan Bac，则角B的值为()A. B.或 C. D.或答案B解析cos
8、 B，a2c2b22accos B，代入已知等式得2accos Btan Bac，即sin B，则B或.素养评析选择运算方法是数学运算素养的内涵之一运算从一点出发可以有无限个方向一个式子也可以有无限个变形，逐个试探肯定不现实那么如何选择运算方向才能算得出，算得快？要点有3个：公式要熟，如本例至少应知道cos B，tan B.观察联想，如看到a2c2b2应联想到a2c2b22accos B.权衡选择，如本例也可把所有的边都化为相应角的正弦，但权衡运算繁简，不如整体把a2c2b2化为2accos B简单.1在ABC中，若b2a2c2ac，则B等于()A60 B45或135C120 D30答案C解析
9、b2a2c22accos Ba2c2ac，ac2accos B，cos B，又0B180，B120.2在ABC中，角A，B，C所对的边的长分别为a，b，c，若asin Absin Bcsin C，则ABC的形状是()A锐角三角形 B直角三角形C钝角三角形 D不确定答案C解析根据正弦定理可得a2b2c2.由余弦定理得cos C0)，则cos B.4在ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且ccos Aacos C2c，若ab，则sin B等于()A. B.C. D.答案A解析ccos Aacos C2c，由正弦定理可得sin Ccos Asin Acos C2sin C，sin(AC)
10、2sin C，sin B2sin C，b2c，又ab，a2c.cos B，B(0，)，sin B.1熟悉正弦、余弦定理的各种变形，注意观察题目条件的结构特征，根据这些特征尽量使用正弦、余弦定理各种变形整体代换，可以有效减少计算量2对所给条件进行变形，主要有两种方向(1)化边为角(2)化角为边一、选择题1若三条线段的长分别为5,6,7，则用这三条线段()A能组成直角三角形 B能组成锐角三角形C能组成钝角三角形 D不能组成三角形答案B解析设最大角为，则最大边对应的角的余弦值为cos 0，所以能组成锐角三角形2已知在ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，若2b22a2ac2c2，则sin
11、B等于()A. B. C. D.答案A解析由2b22a2ac2c2，得2(a2c2b2)ac0.由余弦定理，得a2c2b22accos B，4accos Bac0.ac0，4cos B10，cos B，又B(0，)，sin B.3在ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c.若a，b3，A60，则边c等于()A1 B2 C4 D6答案C解析a2c2b22cbcos A，13c292c3cos 60，即c23c40，解得c4或c1(舍去)4若ABC的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，满足(ab)2c24，且C60，则ab的值为()A. B84 C1 D.答案A解析由余弦定理c2a2b2
12、2abcos C(ab)22ab2abcos C，(ab)2c22ab(1cos C)2ab(1cos 60)3ab4，ab.5已知在ABC中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且c2b2ab，C，则的值为()A. B1 C2 D3答案C解析由余弦定理得c2b2a22abcos Ca2abab，所以a2b，所以由正弦定理得2.6在ABC中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若bc2a,3sin A5sin B，则C等于()A. B. C. D.答案C解析由正弦定理和3sin A5sin B，得3a5b，即ba，又bc2a，ca，由余弦定理得cos C，C.7若ABC的两边长分别为2
13、,3，其夹角的余弦值为，则其外接圆的直径为()A. B. C. D9答案B解析设另一条边为x，则x222322239，x3.设cos ，为长度为2,3的两边的夹角，则sin .2R.8在ABC中，ABC，AB，BC3，则sin BAC等于()A. B. C. D.答案C解析在ABC中，由余弦定理，得AC2BA2BC22BABCcosABC()23223cos 5.AC，由正弦定理，得sinBAC.二、填空题9在ABC中，B60，a1，c2，则 .答案2解析由余弦定理得，b2a2c22accos B3，b，由正弦定理得，2.10若ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，asin Acsin
14、 Casin Cbsin B，则B .答案45解析由正弦定理，得a2c2acb2，由余弦定理，得b2a2c22accos B，故cos B.又因为B为三角形的内角，所以B45.11在ABC中，a2b2bc，sin C2sin B，则A .答案30解析由sin C2sin B及正弦定理，得c2b，把它代入a2b2bc，得a2b26b2，即a27b2.由余弦定理，得cos A，又0A0，所以sin B，所以2sin2sin 2B2cos2sin 2B1cos B2sin Bcos B12.13在ABC中，a，b，c分别为内角A，B,C的对边,且2asin A(2bc)sin B(2cb)sin C
15、.(1)求角A的大小；(2)若sin Bsin C，试判断ABC的形状解(1)2asin A(2bc)sin B(2cb)sin C，2a2(2bc)b(2cb)c，即bcb2c2a2，cos A.0A180，A60.(2)ABC180，BC18060120，由sin Bsin C，得sin Bsin(120B)，sin Bsin 120cos Bcos 120sin B，sin Bcos B，即sin(B30)1.又0B120，30B300，0A90，即角A是锐角15在ABC中，A，B，C的对边分别为a，b，c，且.(1)求C的大小；(2)如果ab6，4，求c的值考点正弦、余弦定理与其他知识的综合题点正弦、余弦定理与平面向量的综合解(1)由正弦定理，可化为，即tan C.又C(0，)，C.(2)|C|cos Cabcos C4，且cos Ccos .ab8.由余弦定理，得c2a2b22abcos C(ab)22ab2abcos (ab)23ab623812.c2.
