1、12.1 复数的概念 第12章 复数 学 习 任 务核 心 素 养 1理解复数的基本概念、复数的代数表示(重点)2利用复数的代数形式进行分类和复数相等的充要条件的应用(重点、难点)3理解实部、虚部的概念(易混点)通过对复数的学习，培养数学抽象素养 情境导学探新知 NO.1知识点1知识点2 数的扩充过程，也可以从方程是否有解的角度来理解：因为类似 x43 的方程在自然数范围内无解，所以人们引入了负数并将自然数扩充成整数，使得类似 x43 的方程在整数范围内有解；因为类似 2x5 的方程在整数范围内无解，所以人们引入了分数并将整数扩充成有理数，使得类似 2x5 的方程在有理数范围内有解；因为类似
2、x27 的方程在有理数范围内无解，所以人们引入了无理数并将有理数扩充成实数，使得类似 x27 的方程在实数范围内有解 我们已经知道，类似 x21 的方程在实数范围内无解那么，能否像前面一样，引入一种新的数，使得这个方程有解并将实数进行扩充呢？知识点 1 复数的相关概念(1)虚数单位 为了使实数的开方运算总可以实施，我们引入一个新数 i，叫作_，并规定：i2_；_可以与 i 进行四则运算，进行四则运算时，原有的加法、乘法运算律仍然成立 虚数单位1 实数(2)复数、复数集 形如 abi(a，bR)的数叫作复数，全体_所组成的集合叫作复数集，记作 C 复数 zabi(a，bR)，其中 a 与 b 分
3、别叫作复数 z 的_与_ 复数实部虚部1复数 i2 的虚部是()Ai B2 C1 D2 C i22i，因此虚部是 1 知识点 2 复数的分类与复数相等(1)复数的分类 复数 zabi(a，bR)，当且仅当 b0 时，z 是_；当 b0时，z 叫作_；当_时，zbi 叫作纯虚数(2)复数相等的充要条件 设 a，b，c，d 都是实数，那么 abicdi_ 两个复数相等的充要条件是它们的_和_分别相等 实数a虚数a0且b0 ac且bd实部虚部复数集、实数集、虚数集、纯虚数集之间存在怎样的关系？提示 2思考辨析(正确的画“”，错误的画“”)(1)若 a，b 为实数，则 zabi 为虚数()(2)若 a
4、 为实数，则 za 一定不是虚数()(3)bi 是纯虚数()(4)如果两个复数的实部的差和虚部的差都等于 0，那么这两个复数相等()答案(1)(2)(3)(4)3如果(xy)ix1，则实数 x，y 的值分别为()Ax1，y1 Bx0，y1 Cx1，y0 Dx0，y0 A(xy)ix1，xy0，x10，x1，y1 合作探究释疑难 NO.2类型1 类型2 类型3 类型 1 复数的相关概念【例 1】下列命题：若 aR，则(a1)i 是纯虚数；若 a，bR，且 ab，则 aibi；若(x24)(x23x2)i 是纯虚数，则实数 x2；实数集是复数集的真子集 其中正确的是()A B C D D 对于复数
5、 abi(a，bR)，当 a0 且 b0 时，为纯虚数对于，若 a1，则(a1)i 不是纯虚数，即错误两个虚数不能比较大小，则错误对于，若 x2，则 x240，x23x20，此时(x24)(x23x2)i0，不是纯虚数，则错误显然，正确 复数相关概念的辨析(1)举反例：判断一个命题为假命题，只要举一个反例即可，所以解答这类题型时，可按照“先特殊，后一般，先否定，后肯定”的方法进行解答(2)化代数式：对于复数实部、虚部的确定，不但要把复数化为 abi 的形式，更要注意这里 a，b 均为实数时，才能确定复数的实、虚部 跟进训练 1下列命题中是假命题的是_(填序号)自然数集是非负整数集；实数集与复数
6、集的交集为实数集；实数集与虚数集的交集是0；纯虚数集与实数集的交集为空集 复数可分为实数和虚数两大部分，虚数中含有纯虚数，因此，实数集与虚数集没有公共元素，是假命题 类型 2 复数的分类及应用【例 2】(1)复数 za2b2(a|a|)i(a，bR)为纯虚数的充要条件是_(2)(对接教材 P112 例 2)已知 mR，复数 zmm2m1(m22m3)i，当 m 为何值时：z 为实数；z 为虚数；z 为纯虚数(1)a0 且 ab 要使复数 z 为纯虚数，则 a2b20，a|a|0，a0，ab(2)解 要使 z 为实数，需满足 m22m30，且mm2m1 有意义，即 m10，解得 m3 要使 z
7、为虚数，需满足 m22m30，且mm2m1 有意义，即m10，解得 m1 且 m3 要使 z 为纯虚数，需满足mm2m1 0，m10，m22m30，解得 m0 或 m2 利用复数的分类求参数时，要先确定构成实部、虚部的式子有意义的条件，再结合实部与虚部的取值求解.要特别注意复数 zabia，bR为纯虚数的充要条件是 a0 且 b0.跟进训练 2(1)复数 z(m23m2)(m2m2)i，当实数 m 为何值时：z 为实数；z 为虚数；z 为纯虚数(2)当实数 m 为何值时，复数 zm2m6m(m22m)i 为：实数；虚数；纯虚数 解(1)当 m2m20，即 m2 或 m1 时，z 为实数 当 m
8、2m20，即 m2 且 m1 时，z 为虚数 当m2m20，m23m20，即 m2 时，z 为纯虚数(2)m22m0，m0，即 m2，当 m2 时，复数 z 是实数 当 m22m0，且 m0，即 m0 且 m2 时，复数 z 是虚数 由 m2m6m0，m0，m22m0，解得 m3，当 m3 时，复数 z 是纯虚数 类型 3 复数相等的充要条件【例 3】(1)若复数 z(m1)(m2 9)i0，则实数 m 的值等于_(2)已知关于 x 的方程 x2(12i)x(3mi)0 有实数根，求实数 m 的值 1若两个复数能比较大小，那么这两个复数是什么数？2复系数方程有实数根，该方程满足判别式 0 吗？
9、(1)3 z0，求实数 m 的取值范围 解 由题意可知，x2(12i)x(3mi)x2x3m(2x1)i0，故2x10，x2x3m0，解得x12，m 112.所以实数 m 的取值范围为112，复数相等问题的解题技巧(1)必须是复数的代数形式才可以根据实部与实部相等，虚部与虚部相等列方程组求解(2)根据复数相等的条件，将复数问题转化为实数问题，为应用方程思想提供了条件，同时这也是复数问题实数化思想的体现 提醒：若两个复数能比较大小，则这两个复数必为实数 当堂达标夯基础 NO.31 2 3 4 5 1(多选题)对于复数 abi(a，bR)，下列说法不正确的是()A若 a0，则 abi 为纯虚数 B
10、若 a(b1)i32i，则 a3，b2 C若 b0，则 abi 为实数 Di 的平方等于 1 1 2 3 4 5 ABD 对于 A，当 a0 时，abi 也可能为实数；对于 B，若 a(b1)i32i，则 a3，b1；对于 D，i 的平方为1所以 ABD 均错误 1 2 3 4 5 2若复数 z(m2)(m29)i(mR)是正实数，则实数 m 的值为()A2 B3 C3 D3 B 由题知m290，m20，解得 m3故选 B 1 2 3 4 5 3已知 z1m23mmi，z24(5m4)i，其中 mR，i 为虚数单位，若 z1z2，则 m 的值为_ 1 由 题 意 得 m2 3m mi 4 (5
11、m 4)i，从 而m23m4，m5m4，解得 m1 1 2 3 4 5 4若 aR，则(a1)i 是纯虚数；若(x21)(x23x2)i(xR)是纯虚数，则 x1；两个虚数不能比较大小 其中正确命题的序号是_(填序号)1 2 3 4 5 当 a1 时，(a1)i0，故错误；两个虚数不能比较大小，故对；若(x21)(x23x2)i 是纯虚数，则x210，x23x20，即 x1，故错 5 1 2 3 4 5分别求满足下列条件的实数 x，y 的值(1)2x1(y1)ixy(xy)i；(2)x2x6x1(x22x3)i0 5 1 2 3 4 解(1)x，yR，由复数相等的定义，得2x1xy，y1xy，解得x3，y2.5 1 2 3 4(2)xR，由复数相等的定义，得x2x6x10，x22x30，即x3或x2，且x1，x3或x1，x3 回顾本节知识，自我完成以下问题：1复数是如何分类的？提示 对于复数 zabi(a，bR)而言，当 b0 时，z 是实数；当 b0 时，z 是虚数；当 a0 且 b0 时，z 是纯虚数 2两个复数相等的条件是什么？提示 若 z1abi(a，bR)，z2cdi(c，dR)，则 z1z2ac 且 bd 3两个复数可以比较大小吗？提示 当两个复数均为实数时，可以比较大小，否则不能比较大小 点击右图进入 课 后 素 养 落 实 谢谢观看 THANK YOU!
