1、60圆的方程 一、内容归纳1.知识精讲圆的方程(1)标准式：(x-a)2+(y-b)2=r2(r0)，其中r为圆的半径，(a，b)为圆心。(2)一般式：x2+y2+Dx+Ey+F=0 (D2+E2-4F0)，其中圆心为半径为，FED42122(3)直径式：(x-x1)(x-x2)+(y-y1)(y-y2)=0，其中点(x1，y1)，(x2，y2)是圆的一条直径的两个端点。（用向量法证之）)2,2(ED（4）半圆方程：dxbxcybaxry222,(5)圆系方程：i)过圆C：x2+y2+Dx+Ey+F=0和直线 l：Ax+By+C=0的交点的圆的方程为x2+y2+Dx+Ey+F+(Ax+By+C
2、)=0ii)过两圆C1：x2+y2+D1x+E1y+F1=0，C2：x2+y2+D2x+E2y+F2=0的交点的圆的方程为x2+y2+D1x+E1y+F1+(x2+y2+D2x+E2y+F2)=0(-1)该方程不包括圆C2；（时为一条直线方程，相交两圆时为公共弦方程；两等圆时则为两圆的对称轴方程）1(6)圆的参数方程圆心在(0,0),半径为r的圆的参数方程为sincosryrx为参数圆心在(a,b),半径为r的圆的参数方程为sincosrbyrax为参数 圆 的 一 般 方 程 与 二 元 二 次 方 程Ax2+Bxy+Cy2+Dx+Ey+F=0的关系；二元二次方程表示圆的充要条件A=C0，B
3、=0，D2+E2-4AF0。二、问题讨论例1、根据下列条件，求圆的方程。3(1)和圆x2+y2=4相外切于点 P(-1，)，且半径为4；(2)经过坐标原点和点P(1，1)，并且圆心在直线2x+3y+1=0上；(3)已知一圆过P(4，-2)、Q(-1，3)两点，且在y轴上截得的线段长为 4，求圆的方程。3思维点拔无论是圆的标准方程或是圆的一般方程，都有三个待定系数，因此求圆的方程，应有三个条件来求。一般地，已知圆心或半径的条件，选用标准式，否则选用一般式。例2(优化设计P112例1)设为两定点，动点P到A点的距离与到B点的距离的比为定值，求P点的轨迹。)0)(0,(),0,(ccBcA)0(aa
4、【评述】上述解法是直接由题中条件，建立方程关系,，然后化简方程，这种求曲线方程的方法称为直接法。例3、(优化设计P112例2)一圆与y轴相切，圆心在直线上，且直线截圆所得的弦长为，求此圆的方程。03 yxxy 72【评述】求圆的弦长方法（1）几何法：用弦心距，半径及半弦构成直角三角形的三边（2）代数法：用弦长公式4)1(212212xxxxk例4、已知O的半径为3，直线与O相切，一动圆与相切，并与O相交的公共弦恰为O的直径，求动圆圆心的轨迹方程。llBOMACxy【点评】建立适当的坐标系能使求轨迹方程的过程较简单、所求方程的形式较“整齐”.备用题：例5、设定点M(-3，4)，动点N在圆x2+y
5、2=4上运动，以OM、ON为两边作平行四边形MONP，求点P的轨迹。思维点拔：求与圆有关的轨迹问题，充分利用圆的方程和圆的几何性质，找出动点与圆上点之间的关系或动点所满足的几何条件。例 6、已 知 圆的 方 程是：x2+y2-2ax+2(a-2)y+2=0，其中a1，且aR。(1)求证：a取不为1的实数时，上述圆恒过定点；(2)求与圆相切的直线方程；(3)求圆心的轨迹方程。思维点拔：本题是含参数的圆的方程，与圆的参数方程有本质的区别。当参数取某一确定的值时，方程表示一个确定的圆，当a变动时，方程表示圆的集合，即圆系。解本题(1)可用分离系数法求解；(2)可用待定系数法求解；(3)可用配方法求解。一般地，过两圆C1：f(x，y)=0与C2：g(x，y)=0的交点的圆系方程为：f(x，y)+g(x，y)=0(为参数)。三、课堂小结1、求圆的方程：主要用待定系数法，有两种求数，一是利用圆的标准方程，求出圆心坐标和半径；二是利用圆的一般方程求出系数D、E、F的值。2、已知圆经过两已知圆的交点，求圆的方程，用经过两圆交点的圆系方程简捷。3、解答圆的问题，应注意数形结合，充分运用圆的几何性质，简化运算。4、与圆有关的轨迹问题，可根据题设条件选择适当方法（如直接法、定义法、动点转移法等），有时还需要结合运用其他方法，如交轨法、参数法等。四、【布置作业】优化设计P113
