1、学科素养拓训 本章知识在整个初中数学中占有重要地位,掌握好幂的运算性质是学好本章内容的基础.本章主要围绕数学运算、逻辑推理等核心素养考查学生的综合能力,如第1题以新定义的形式考查同底数幂的乘法,可以使学生巩固同底数幂的乘法运算性质,提高运用公式的能力;第2题通过几何图形探究代数式的不同形式的转化,体现的核心素养是直观想象、逻辑推理.1.幂的运算的新定义问题我们知道,同底数幂的乘法性质为:aman=am+n(其中a0,m,n为正整数).类似地,我们规定关于任意正整数m,n的一种新运算:h(m+n)=h(m)h(n).(1)若h(1)=23,则h(2)=;(2)若h(1)=3,求h(n)h(2 0
2、21)的值.(用含n的代数式表示,其中n为正整数)答案1.解:(1)49 h(1)=23,h(m+n)=h(m)h(n),h(2)=h(1+1)=23 23=49.(2)h(1)=3,h(m+n)=h(m)h(n),h(2)=h(1)h(1)=32;h(3)=h(2)h(1)=33;h(n)=h(n-1)h(1)=3n.h(n)h(2 021)=3n32 021=3n+2 021.2.类比探究问题问题再现:数形结合思想是解决数学问题的一种重要的思想方法,借助这种思想可将抽象的数学知识变得直观,从而可以帮助我们快速解题.初中数学中的一些代数公式,很多都可以通过用几何图形面积表示的方法进行直观推导
3、和解释.例如:利用图形的几何意义说明完全平方公式.将一个边长为a的正方形的边长增加b,形成两个长方形和两个正方形,如图1,这个图形的面积可以表示为(a+b)2或a2+2ab+b2,所以(a+b)2=a2+2ab+b2.这就验证了两数和的完全平方公式.类比解决:(1)请你类比上述方法,利用图形的几何意义说明平方差公式.(要求画出图形并写出推理过程)尝试解决:如图2,A表示1个11的正方形,则A的面积为111=13;B表示1个22的正方形,C与D恰好可以拼成1个22的正方形,因此B,C,D就可以表示2个22的正方形,则其总面积为222=23.而A,B,C,D恰好可以拼成1个(1+2)(1+2)的大
4、正方形,由此可得13+23=(1+2)2=32.(2)请你类比上述推导过程,利用图形的几何意义确定13+23+33=.(要求写出结论并画出图形,写出推理过程)问题拓广:(3)请用上面的表示几何图形面积的方法探究13+23+33+n3=.(直接写出结论)答案2.解:(1)如图1,阴影部分的面积是a2-b2,如图2,阴影部分的面积是(a+b)(a-b).因为图2中阴影部分是由图1中阴影部分割补得来的,所以(a+b)(a-b)=a2-b2.这就验证了平方差公式.(2)62 如图3,A表示1个11的正方形,则A的面积为111=13;B表示1个22的正方形,C与D恰好可以拼成1个22的正方形,因此B,C,D就可以表示2个22的正方形,则其总面积为222=23;G与H,E与F,I可以表示3个33的正方形,则其总面积为333=33.而整个图形恰好可以拼成1个(1+2+3)(1+2+3)的大正方形,由此可得13+23+33=(1+2+3)2=62.答案(3)12n(n+1)2 由(2)可知13+23+33+n3=(1+2+3+n)2,又因为1+2+3+n=12n(n+1),所以13+23+33+n3=12n(n+1)2.
