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2018北师大版文科数学高考总复习课件:3-2导数在研究函数中的应用-2 .ppt

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资源描述

1、考点突破第2课时 导数与函数的极值、最值考点突破考点一 用导数研究函数的极值(多维探究)命题角度一 根据函数图像判断极值【例11】设函数f(x)在R上可导,其导函数为f(x),且函数y(1x)f(x)的图像如图所示,则下列结论中一定成立的是()A函数f(x)有极大值f(2)和极小值f(1)B函数f(x)有极大值f(2)和极小值f(1)C函数f(x)有极大值f(2)和极小值f(2)D函数f(x)有极大值f(2)和极小值f(2)考点突破解析 由题图可知,当x3,此时f(x)0;当2x1时,01x3,此时f(x)0;当1x2时,11x0,此时f(x)2时,1x0,由此可以得到函数f(x)在x2处取得

2、极大值,在x2处取得极小值答案 D考点突破命题角度二 求函数的极值【例12】求函数f(x)xaln x(aR)的极值考点突破解 由 f(x)1axxax,x0 知:(1)当 a0 时,f(x)0,函数 f(x)为(0,)上的增函数,函数 f(x)无极值;(2)当 a0 时,令 f(x)0,解得 xa.又当 x(0,a)时,f(x)0,从而函数 f(x)在 xa 处取得极小值,且极小值为 f(a)aaln a,无极大值综上,当 a0 时,函数 f(x)无极值;当 a0 时,函数 f(x)在 xa 处取得极小值 aaln a,无极大值.考点突破命题角度三 已知极值求参数【例 13】已知关于 x 的

3、函数 f(x)13x3bx2cxbc 在 x1 处有极值43,试求 b,c 的值考点突破解 f(x)x22bxc,由 f(x)在 x1 处有极值43,可得f112bc0,f113bcbc43.解得b1,c1 或b1,c3.若 b1,c1,则 f(x)x22x1(x1)20,f(x)没有极值若 b1,c3,则 f(x)x22x3(x3)(x1)考点突破当 x 变化时,f(x)与 f(x)的变化情况如下表:x(,3)3(3,1)1(1,)f(x)001f(x)极小值12极大值43 当 x1 时,f(x)有极大值43,满足题意故 b1,c3 为所求考点突破规律方法(1)求函数f(x)极值的步骤:确定

4、函数的定义域;求导数f(x);解方程f(x)0,求出函数定义域内的所有根;列表检验f(x)在f(x)0的根x0左右两侧值的符号如果左正右负,那么f(x)在x0处取极大值;如果左负右正,那么f(x)在x0处取极小值(2)可导函数yf(x)在点x0处取得极值的充要条件是f(x0)0,且在x0左侧与右侧f(x)的符号不同应注意,导数为零的点不一定是极值点对含参数的求极值问题,应注意分类讨论考点突破【训练1】设函数f(x)ax32x2xc(a0)(1)当a1,且函数图像过(0,1)时,求函数的极小值;(2)若f(x)在R上无极值点,求a的取值范围考点突破解 由题意得 f(x)3ax24x1.(1)函数

5、图像过(0,1)时,有 f(0)c1.当 a1 时,f(x)3x24x1.令 f(x)0,解得 x1;令 f(x)0,解得13x1.所以函数在,13 和(1,)上单调递增;在13,1 上单调递减故函数 f(x)的极小值是 f(1)13212111.考点突破(2)若 f(x)在 R 上无极值点,则 f(x)在 R 上是单调函数,故 f(x)0或 f(x)0 恒成立当 a0 时,f(x)4x1,显然不满足条件;当 a0 时,f(x)0 或 f(1)0 恒成立的充要条件是(4)243a10,即 1612a0,解得 a43.综上,a 的取值范围是43,.考点突破考点二 利用导数求函数的最值【例2】(2

6、017郑州模拟)已知函数f(x)(xk)ex.(1)求f(x)的单调区间;(2)求f(x)在区间0,1上的最小值考点突破解(1)由 f(x)(xk)ex,得 f(x)(xk1)ex,令 f(x)0,得 xk1.当 x 变化时,f(x)与 f(x)的变化情况如下表:x(,k1)k1(k1,)f(x)0f(x)ek1所以,f(x)的单调递减区间是(,k1);单调递增区间是(k1,)考点突破(2)当 k10,即 k1 时,函数 f(x)在0,1上单调递增,所以 f(x)在区间0,1上的最小值为 f(0)k,当 0k11,即 1k2 时,由(1)知 f(x)在0,k1)上单调递减,在(k1,1上单调递

7、增,所以 f(x)在区间0,1上的最小值为 f(k1)ek1.当 k11,即 k2 时,函数 f(x)在0,1上单调递减,所以 f(x)在区间0,1上的最小值为 f(1)(1k)e.综上可知,当 k1 时,f(x)mink;当 1k0),若函数 f(x)在 x1 处与直线 y12相切,(1)求实数 a,b 的值;(2)求函数 f(x)在1e,e 上的最大值考点突破解(1)由 f(x)aln xbx2,得 f(x)ax2bx(x0)函数 f(x)在 x1 处与直线 y12相切f1a2b0,f1b12,解得a1,b12.考点突破(2)由(1)知 f(x)ln x12x2,则 f(x)1xx1x2x

8、,当1exe 时,令 f(x)0,得1ex1,令 f(x)0,得 1x0)的导函数 yf(x)的两个零点为3 和 0.(1)求 f(x)的单调区间;(2)若 f(x)的极小值为e3,求 f(x)在区间5,)上的最大值考点突破解(1)f(x)2axbexax2bxcexex2ax22abxbcex.令 g(x)ax2(2ab)xbc,由于 ex0.令 f(x)0,则 g(x)ax2(2ab)xbc0,3 和 0 是 yg(x)的零点,且 f(x)与 g(x)的符号相同又因为 a0,所以3x0,即 f(x)0,当 x0时,g(x)0,即 f(x)5f(0),所以函数 f(x)在区间5,)上的最大值

9、是 5e5.考点突破规律方法(1)求极值、最值时,要求步骤规范,含参数时,要讨论参数的大小(2)求函数最值时,不可想当然地认为极值点就是最值点,要通过比较才能下结论(3)求函数在无穷区间(或开区间)上的最值,不仅要研究其极值情况,还要研究其单调性,并通过单调性和极值情况,画出函数的大致图像,然后借助图像观察得到函数的最值考点突破【训练3】(2017衡水中学月考)已知函数f(x)ax1lnx(aR)(1)讨论函数f(x)在定义域内的极值点的个数;(2)若函数f(x)在x1处取得极值,任意x(0,),f(x)bx2恒成立,求实数b的最大值考点突破解(1)f(x)的定义域为(0,),f(x)a1xa

10、x1x.当 a0 时,f(x)0 在(0,)上恒成立,函数 f(x)在(0,)上单调递减f(x)在(0,)上没有极值点当 a0 时,由 f(x)0,得 0 x0,得 x1a,考点突破f(x)在0,1a 上递减,在1a,上递增,即 f(x)在 x1a处有极小值综上,当 a0 时,f(x)在(0,)上没有极值点;当 a0 时,f(x)在(0,)上有一个极值点(2)函数 f(x)在 x1 处取得极值,f(1)a10,则 a1,从而 f(x)x1ln x.因此 f(x)bx211xln xx b,考点突破令 g(x)11xln xx,则 g(x)ln x2x2,令 g(x)0,得 xe2,则 g(x)

11、在(0,e2)上递减,在(e2,)上递增,g(x)ming(e2)11e2,即 b11e2.故实数 b 的最大值是 11e2.考点突破思想方法1利用导数研究函数的单调性、极值、最值可列表观察函数的变化情况,直观而且条理,减少失分2求极值、最值时,要求步骤规范、表格齐全;含参数时,要讨论参数的大小3可导函数yf(x)在点x0处取得极值的充要条件是f(x0)0,且在x0左侧与右侧f(x)的符号不同.4.若函数yf(x)在区间(a,b)内有极值,那么yf(x)在(a,b)内绝不是单调函数,即在某区间上单调函数没有极值考点突破易错防范1求函数单调区间与函数极值时要养成列表的习惯,可使问题直观且有条理,减少失分的可能2求函数最值时,不可想当然地认为极值点就是最值点,要通过认真比较才能下结论3解题时要注意区分求单调性和已知单调性的问题,处理好f(x)0时的情况;区分极值点和导数为0的点.

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