1、考点突破第2课时 导数与函数的极值、最值考点突破考点一 用导数研究函数的极值(多维探究)命题角度一 根据函数图像判断极值【例11】设函数f(x)在R上可导，其导函数为f(x)，且函数y(1x)f(x)的图像如图所示，则下列结论中一定成立的是()A函数f(x)有极大值f(2)和极小值f(1)B函数f(x)有极大值f(2)和极小值f(1)C函数f(x)有极大值f(2)和极小值f(2)D函数f(x)有极大值f(2)和极小值f(2)考点突破解析 由题图可知，当x3，此时f(x)0；当2x1时，01x3，此时f(x)0；当1x2时，11x0，此时f(x)2时，1x0，由此可以得到函数f(x)在x2处取得
2、极大值，在x2处取得极小值答案 D考点突破命题角度二 求函数的极值【例12】求函数f(x)xaln x(aR)的极值考点突破解 由 f(x)1axxax，x0 知：(1)当 a0 时，f(x)0，函数 f(x)为(0，)上的增函数，函数 f(x)无极值；(2)当 a0 时，令 f(x)0，解得 xa.又当 x(0，a)时，f(x)0，从而函数 f(x)在 xa 处取得极小值，且极小值为 f(a)aaln a，无极大值综上，当 a0 时，函数 f(x)无极值；当 a0 时，函数 f(x)在 xa 处取得极小值 aaln a，无极大值.考点突破命题角度三 已知极值求参数【例 13】已知关于 x 的
3、函数 f(x)13x3bx2cxbc 在 x1 处有极值43，试求 b，c 的值考点突破解 f(x)x22bxc，由 f(x)在 x1 处有极值43，可得f112bc0，f113bcbc43.解得b1，c1 或b1，c3.若 b1，c1，则 f(x)x22x1(x1)20，f(x)没有极值若 b1，c3，则 f(x)x22x3(x3)(x1)考点突破当 x 变化时，f(x)与 f(x)的变化情况如下表：x(，3)3(3,1)1(1，)f(x)001f(x)极小值12极大值43 当 x1 时，f(x)有极大值43，满足题意故 b1，c3 为所求考点突破规律方法(1)求函数f(x)极值的步骤：确定
4、函数的定义域；求导数f(x)；解方程f(x)0，求出函数定义域内的所有根；列表检验f(x)在f(x)0的根x0左右两侧值的符号如果左正右负，那么f(x)在x0处取极大值；如果左负右正，那么f(x)在x0处取极小值(2)可导函数yf(x)在点x0处取得极值的充要条件是f(x0)0，且在x0左侧与右侧f(x)的符号不同应注意，导数为零的点不一定是极值点对含参数的求极值问题，应注意分类讨论考点突破【训练1】设函数f(x)ax32x2xc(a0)(1)当a1，且函数图像过(0,1)时，求函数的极小值；(2)若f(x)在R上无极值点，求a的取值范围考点突破解 由题意得 f(x)3ax24x1.(1)函数
5、图像过(0,1)时，有 f(0)c1.当 a1 时，f(x)3x24x1.令 f(x)0，解得 x1；令 f(x)0，解得13x1.所以函数在，13 和(1，)上单调递增；在13，1 上单调递减故函数 f(x)的极小值是 f(1)13212111.考点突破(2)若 f(x)在 R 上无极值点，则 f(x)在 R 上是单调函数，故 f(x)0或 f(x)0 恒成立当 a0 时，f(x)4x1，显然不满足条件；当 a0 时，f(x)0 或 f(1)0 恒成立的充要条件是(4)243a10，即 1612a0，解得 a43.综上，a 的取值范围是43，.考点突破考点二 利用导数求函数的最值【例2】(2
6、017郑州模拟)已知函数f(x)(xk)ex.(1)求f(x)的单调区间；(2)求f(x)在区间0,1上的最小值考点突破解(1)由 f(x)(xk)ex，得 f(x)(xk1)ex，令 f(x)0，得 xk1.当 x 变化时，f(x)与 f(x)的变化情况如下表：x(，k1)k1(k1，)f(x)0f(x)ek1所以，f(x)的单调递减区间是(，k1)；单调递增区间是(k1，)考点突破(2)当 k10，即 k1 时，函数 f(x)在0,1上单调递增，所以 f(x)在区间0,1上的最小值为 f(0)k，当 0k11，即 1k2 时，由(1)知 f(x)在0，k1)上单调递减，在(k1,1上单调递
7、增，所以 f(x)在区间0,1上的最小值为 f(k1)ek1.当 k11，即 k2 时，函数 f(x)在0,1上单调递减，所以 f(x)在区间0,1上的最小值为 f(1)(1k)e.综上可知，当 k1 时，f(x)mink；当 1k0)，若函数 f(x)在 x1 处与直线 y12相切，(1)求实数 a，b 的值；(2)求函数 f(x)在1e，e 上的最大值考点突破解(1)由 f(x)aln xbx2，得 f(x)ax2bx(x0)函数 f(x)在 x1 处与直线 y12相切f1a2b0，f1b12，解得a1，b12.考点突破(2)由(1)知 f(x)ln x12x2，则 f(x)1xx1x2x
8、，当1exe 时，令 f(x)0，得1ex1，令 f(x)0，得 1x0)的导函数 yf(x)的两个零点为3 和 0.(1)求 f(x)的单调区间；(2)若 f(x)的极小值为e3，求 f(x)在区间5，)上的最大值考点突破解(1)f(x)2axbexax2bxcexex2ax22abxbcex.令 g(x)ax2(2ab)xbc，由于 ex0.令 f(x)0，则 g(x)ax2(2ab)xbc0，3 和 0 是 yg(x)的零点，且 f(x)与 g(x)的符号相同又因为 a0，所以3x0，即 f(x)0，当 x0时，g(x)0，即 f(x)5f(0)，所以函数 f(x)在区间5，)上的最大值
9、是 5e5.考点突破规律方法(1)求极值、最值时，要求步骤规范，含参数时，要讨论参数的大小(2)求函数最值时，不可想当然地认为极值点就是最值点，要通过比较才能下结论(3)求函数在无穷区间(或开区间)上的最值，不仅要研究其极值情况，还要研究其单调性，并通过单调性和极值情况，画出函数的大致图像，然后借助图像观察得到函数的最值考点突破【训练3】(2017衡水中学月考)已知函数f(x)ax1lnx(aR)(1)讨论函数f(x)在定义域内的极值点的个数；(2)若函数f(x)在x1处取得极值，任意x(0，)，f(x)bx2恒成立，求实数b的最大值考点突破解(1)f(x)的定义域为(0，)，f(x)a1xa
10、x1x.当 a0 时，f(x)0 在(0，)上恒成立，函数 f(x)在(0，)上单调递减f(x)在(0，)上没有极值点当 a0 时，由 f(x)0，得 0 x0，得 x1a，考点突破f(x)在0，1a 上递减，在1a，上递增，即 f(x)在 x1a处有极小值综上，当 a0 时，f(x)在(0，)上没有极值点；当 a0 时，f(x)在(0，)上有一个极值点(2)函数 f(x)在 x1 处取得极值，f(1)a10，则 a1，从而 f(x)x1ln x.因此 f(x)bx211xln xx b，考点突破令 g(x)11xln xx，则 g(x)ln x2x2，令 g(x)0，得 xe2，则 g(x)
11、在(0，e2)上递减，在(e2，)上递增，g(x)ming(e2)11e2，即 b11e2.故实数 b 的最大值是 11e2.考点突破思想方法1利用导数研究函数的单调性、极值、最值可列表观察函数的变化情况，直观而且条理，减少失分2求极值、最值时，要求步骤规范、表格齐全；含参数时，要讨论参数的大小3可导函数yf(x)在点x0处取得极值的充要条件是f(x0)0，且在x0左侧与右侧f(x)的符号不同.4.若函数yf(x)在区间(a，b)内有极值，那么yf(x)在(a，b)内绝不是单调函数，即在某区间上单调函数没有极值考点突破易错防范1求函数单调区间与函数极值时要养成列表的习惯，可使问题直观且有条理，减少失分的可能2求函数最值时，不可想当然地认为极值点就是最值点，要通过认真比较才能下结论3解题时要注意区分求单调性和已知单调性的问题，处理好f(x)0时的情况；区分极值点和导数为0的点.