1、北京一零一中2019-2020学年度第二学期期末考试高二数学（本试卷满分120分，考试时间100分钟）一、选择题共10小题，每小题4分，共40分.在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项.1. 已知集合，则（ ）A. B. C. D. 【答案】B【解析】【分析】解一元二次不等式得到A的解集，结合数轴表示A的解集，进而可知【详解】由有，则或或，数轴上表示如下故选：B【点睛】本题主要考查了集合的补集运算，应用了一元二次不等式的解法，结合数轴求解集的补集2. 若，则（ ）A. B. C. D. 【答案】D【解析】【分析】由指数函数和对数函数图像可以判断和0, 1的大小，从而可以判断出答案.【
2、详解】由指数函数的单调性有：，.由对数函数的单调性有：所以.故选：D【点睛】本题考查利用插值法比较大小，考查指数函数、对数函数的图像和性质，属于基础题.3. 设，则“”是“”的A. 充分而不必要条件B. 必要而不充分条件C. 充要条件D. 既不充分也不必要条件【答案】B【解析】【分析】求出的解集，根据两解集的包含关系确定.【详解】等价于，故推不出；由能推出故“”是“”的必要不充分条件故选B【点睛】充要条件的三种判断方法：(1)定义法：根据pq，qp进行判断；(2)集合法：根据由p，q成立的对象构成的集合之间的包含关系进行判断；(3)等价转化法：根据一个命题与其逆否命题的等价性，把要判断的命题转
3、化为其逆否命题进行判断这个方法特别适合以否定形式给出的问题4. 某班由24名男生和16名女生组成，现按分层抽样的方法选取10名同学参加志愿者服务，某男同学必须参加，则志愿者人员组成的不同方法种数为（ ）A. B. C. D. 【答案】C【解析】【分析】结合分层抽样的性质可得抽取的男女生人数，再由组合的知识即可得解.【详解】由题意，抽取的10名同学中，男生有人，女生有人，又某男同学必须参加，所以志愿者人员组成的不同方法种数为.故选：C.【点睛】本题考查了分层抽样及组合的应用，考查了运算求解能力，属于基础题.5. 若对于任意的实数，有，则的值为（ ）A. B. C. D. 【答案】B【解析】试题分
4、析：因为，所以，故选择B.考点：二项式定理.6. 下列函数图象中，满足的只可能是（ ）A. B. C. D. 【答案】D【解析】【分析】由题意结合函数图象的特征逐项判断即可得解.【详解】对于A，函数在上单调递增，所以不满足，故A错误；对于B，函数在上单调递增，所以不满足，故B错误；对于C，函数图象开口朝上，且对称轴为，所以，故C错误；对于D，函数在上单调递减，在上单调递增，故可能满足，故D正确.故选：D.7. 如图所示，1，2，3表示三个开关，若在某段时间内它们每个正常工作的概率都是0.9，那么此系统的可靠性是（ ）A. 0.999B. 0.981C. 0.980D. 0.729【答案】B【解
5、析】【分析】求出开关1、2均正常工作的概率及开关3正常工作的概率，由相互独立事件概率公式、对立事件的概率公式即可得解.【详解】由题意，开关1、2在某段时间内均正常工作的概率，开关3正常工作的概率，故该系统正常工作的概率,所以该系统的可靠性为.故选：B.8. 设函数为奇函数，则（ ）A. 0B. 1C. D. 5【答案】C【解析】【分析】由奇函数的性质可得，令代入可得，再逐步计算即可得解.【详解】因为函数为奇函数，所以，又，令，则，所以，所以，.故选：C.9. 已知函数有最小值，则函数的零点个数为（ ）A. 0B. 1C. 2D. 不确定【答案】C【解析】【分析】对函数求导，转化条件为有解，再结
6、合二次函数的性质即可得解.【详解】由题意，因为函数有最小值，且，所以函数存在单调递减区间，即有解，所以有两个不等实根，所以函数的零点个数为2.故选：C.【点睛】本题考查了利用导数研究函数的最值，考查了运算求解能力，属于基础题.10. 设直线l1，l2分别是函数f(x)= 图象上点P1，P2处的切线，l1与l2垂直相交于点P，且l1，l2分别与y轴相交于点A，B，则PAB的面积的取值范围是A. (0,1)B. (0,2)C. (0,+)D. (1,+)【答案】A【解析】试题分析：设（不妨设），则由导数的几何意义易得切线的斜率分别为由已知得切线的方程分别为，切线的方程为，即分别令得又与的交点为，故
7、选A考点：1.导数的几何意义；2.两直线垂直关系；3.直线方程的应用；4.三角形面积取值范围.二、填空题共5小题，每小题5分，共25分.11. 函数的定义域是_.【答案】【解析】【分析】使函数式有意义即可【详解】由题意，解得或故答案为：【点睛】本题考查求函数的定义域，一般使函数式有意义的自变量的取值范围即为函数的定义域，掌握基本初等函数的定义是解题关键当然实际问题中自变量还有实际意义的限制12. 函数的零点个数是_.【答案】1【解析】分析】由函数的单调性结合、，由零点存在性定理即可得解.【详解】由题意，函数在上单调递增，又，所以函数在区间内有1个零点，所以函数的零点个数是1.故答案为：1.13
8、. 已知，则的最小值为_.【答案】20【解析】【分析】由对数运算的性质可得且，再由基本不等式即可得解.【详解】因为，所以且，所以，当且仅当即，时，等号成立，所以的最小值为.故答案为：20.【点睛】本题考查了对数运算性质及基本不等式的应用，考查了运算求解能力，属于基础题.14. 设函数，则的极小值是_.【答案】0【解析】【分析】按绝对值定义去掉绝对值符号后结合二次函数的单调性可得【详解】由题意，在上递增，在上递减，在上递增，时，极小值故答案为：0【点睛】本题考查求函数的极值，掌握极值的定义是解题关键，解题时可先确定函数的单调性，由单调性得极值15. 定义在上的函数满足，则的值是_.【答案】【解析
9、】【分析】转化条件可得当时，的周期为3，进而可得，运算即可得解.【详解】因为当时，所以，所以，所以当时，的周期为3，所以.故答案为：.【点睛】本题考查了函数周期性判断与应用，考查了对数的运算，合理转化条件是解题关键，属于中档题.三、解答题共5小题，共55分.解答应写出文字说明、演算步骤或证明过程.16. 设，则求.【答案】【解析】【分析】由对数函数、指数函数的性质可得，再由交集的定义即可得解.【详解】由题意，或，所以.【点睛】本题考查了对数函数、指数函数的性质及集合的交集运算，考查了运算求解能力，属于基础题.17. 已知关于一元二次不等式.（1）若不等式的解集是或，求的值；（2）若不等式的解集
10、是，求的取值范围.【答案】（1）；（2）.【解析】【分析】（1）由不等式的解集为知,且，是方程的两根，代入可解.（2）不等式的解集为，知二次函数图像恒在 轴下方，则利用且可解【详解】（1）不等式的解集为，是方程的两根，且（2）不等式的解集为且的取值范围是【点睛】解含参数的一元二次不等式时分类讨论的依据(1)二次项中若含有参数应讨论是等于，小于，还是大于，然后将不等式转化为一次不等式或二次项系数为正的形式(2)当不等式对应方程的实根的个数不确定时，讨论判别式与的关系(3)确定无实根时可直接写出解集，确定方程有两个实根时，要讨论两实根的大小关系，从而确定解集形式18. 已知函数（，常数）.（1）讨
11、论函数奇偶性，并说明理由；（2）若函数在上为增函数，求的取值范围.【答案】（1）时，为偶函数，时，既不是奇函数也不是偶函数；（2）【解析】【分析】（1）根据奇偶性的定义判断；（2）求出导函数，由在上恒成立求得的范围【详解】（1）函数定义域是，关于原点对称，时，则，为偶函数，时，不恒为0，既不是奇函数也不是偶函数；（2），由题意在上恒成立，时，即，此时的最小值为16，【点睛】本题考查函数的奇偶性，考查用导数研究函数的单调性，掌握单调性与导数的关系是解题关键19. 某中学号召学生在今年春节期间至少参加一次社会公益活动（以下简称活动）该校合唱团共有100名学生，他们参加活动的次数统计如图所示（I）求
12、合唱团学生参加活动的人均次数；（II）从合唱团中任意选两名学生，求他们参加活动次数恰好相等的概率（III）从合唱团中任选两名学生，用表示这两人参加活动次数之差的绝对值，求随机变量的分布列及数学期望【答案】（I）合唱团学生参加活动的人均次数为；（II）；（III）【解析】【详解】解：由图可知，参加活动1次、2次和3次的学生人数分别为10、50和40（I）该合唱团学生参加活动的人均次数为（II）从合唱团中任选两名学生，他们参加活动次数恰好相等的概率为（III）从合唱团中任选两名学生，记“这两人中一人参加1次活动，另一人参加2次活动”为事件，“这两人中一人参加2次活动，另一人参加3次活动”为事件，“
13、这两人中一人参加1次活动，另一人参加3次活动”为事件易知；.的分布列：012的数学期望：20. 对于函数yH(x)，若在其定义域内存在x0，使得x0H(x0)1成立，则称x0为函数H(x)的“倒数点”已知函数f(x)ln x，g(x)(x1)21.(1)求证：函数f(x)有“倒数点”，并讨论函数f(x)的“倒数点”的个数；(2)若当x1时，不等式xf(x)mg(x)x恒成立，试求实数m的取值范围【答案】（1）见解析；（2）1，).【解析】【分析】（1）构造函数 (x0)，转化为研究该函数的零点问题即可；（2）对不等式进行转化得2xln xm(x21)，当x1时恒成立，构造函数，x1，通过求导分
14、析函数的单调性最值求参数范围即可.【详解】(1)证明设h(x)ln x (x0)，则h(x)0(x0)，所以h(x)在(0，)为单调递增函数而h(1)0，所以函数h(x)有零点且只有一个零点所以函数f(x)有“倒数点”且只有一个“倒数点”(2)xf(x)mg(x)x等价于2xln xm(x21)，设d(x)2ln xm，x1.则，x1，易知mx22xm0的判别式为44m2.当m1时，d(x)0，d(x)在1，)上单调递减，d(x)d(1)0，符合题意；当0m1时，方程mx22xm0有两个正根且0x11d(1)0，不合题意；当m0时，d(x)0，d(x)在(1，)上单调递增，此时d(x)d(1)0，不合题意；当1md(1)0，不合题意；当m1时，d(x)0，d(x)在(1，)上单调递增，此时d(x)d(1)0，不合题意综上，实数m的取值范围是1，)【点睛】本题考查了运用导数求含有参量的函数单调区间及不等式恒成立问题，在求单调区间时需要注意分类讨论，做到不漏情况，属于中档题.
