1、高考资源网（） 您身边的高考专家章末复习提升课函数的定义域和值域(1)函数f(x)(3x1)0的定义域是()A.B.C. D.(2)已知函数yf(x1)的定义域是2，3，则yf(2x1)的定义域是()A. B.1，4C.5，5 D.3，7(3)求下列函数的值域：y；yx4；y2x，x.【解】(1)选D.由题意得，解得x0时，f(x)x22x3.求出函数f(x)在R上的解析式；写出函数的单调区间(写出即可，不需要证明).【解】(1)令x1t，则xt1，因为f(x1)x25x4，所以f(t)(t1)25(t1)4t27t10，所以f(x)x27x10.故填x27x10.(2)设x0，所以f(x)(
2、x)22(x)3x22x3.又因为f(x)是定义在R上的奇函数，所以f(x)f(x)，所以f(x)x22x3.又因为f(0)0，所以f(x)画出函数f(x)的图像，如图：由图像可知函数f(x)的单调递增区间为(，1，1，)，单调递减区间为1，0)，(0，1.求函数解析式的题型与相应的解法(1)已知形如f(g(x)的解析式求f(x)的解析式，使用换元法或配凑法.(2)已知函数的类型(往往是一次函数或二次函数)，使用待定系数法.(3)含f(x)与f(x)或f(x)与f，使用解方程组法.(4)已知一个区间的解析式，求另一个区间的解析式，可用奇偶性转移法. 1.已知二次函数f(x)满足f(0)1，f(
3、1)2，f(2)5，则该二次函数的解析式为.解析：设二次函数的解析式为f(x)ax2bxc(a0)，由题意得解得故f(x)x21.答案：f(x)x212.若3f(x1)2f(1x)2x，则f(x)的解析式为.解析：令tx1，则xt1，tR，原式变为3f(t)2f(t)2(t1).以t代替t，式变为3f(t)2f(t)2(1t).由消去f(t)得f(t)2t，故f(x)2x.答案：f(x)2x函数的单调性和奇偶性已知f(x)(xa).(1)若a2，试证明f(x)在(，2)内单调递增；(2)若a0且f(x)在(1，)内单调递减，求a的取值范围.【解】(1)证明：x1x20，x1x20，所以f(x1
4、)f(x2)，所以f(x)在(，2)内单调递增.(2)1x10，x2x10，所以要使f(x1)f(x2)0，只需(x1a)(x2a)0恒成立，所以a1.综上所述，a的取值范围是(0，1.函数单调性与奇偶性应用的常见题型(1)用定义判断或证明函数的单调性和奇偶性.(2)利用函数的单调性和奇偶性求单调区间.(3)利用函数的单调性和奇偶性比较大小，解不等式.(4)利用函数的单调性和奇偶性求参数的取值范围. 1.(2019张家界检测)已知函数yf(x)是R上的偶函数，且在(，0上是增函数，若f(a)f(2)，则实数a的取值范围是()A.a2B.a2C.2a2D.a2或a2解析：选D.因为yf(x)是偶
5、函数，且在(，0上是增函数，所以yf(x)在0，)上是减函数，由f(a)f(2)，得f(|a|)f(2)，所以|a|2，得a2或a2，故选D.2.已知函数f(x)是R上的增函数，求a的取值范围.解：因为f(x)在R上是单调递增的函数，所以f(x)需满足在区间(，1和(1，)上都是单调递增的，并且端点处(x1)的函数值12a5，即a3；f(x)x2ax5的对称轴为直线x，f(x)在(，1上单调递增，所以1，即a2；f(x)在(1，)上单调递增，所以a0，k0)对称：yf(x)yf(x)；yf(x)yf(x)；yf(x)yf(x). 1.已知函数yax2bxc，如果abc且abc0，则它的图像可能
6、是()解析：选D.因为abc且abc0，所以a0，c0，f(1)0，则可知开口向上，排除A、C，然后根据f(0)c0，可知函数图像与y轴的交点在x轴下方.2.已知f(x)为定义在R上的奇函数，且f(x)f(2x)，当x0，1时，f(x)x.求x3，5时，f(x)的所有解的和.解：当x1，0时，x0，1，所以f(x)x.又因为f(x)为奇函数，所以x1，0时，f(x)f(x)x，即x1，1时，f(x)x.又由f(x)f(2x)可得f(x)的图像关于直线x1对称.由此可得f(x)在3，5上的图像如图：在同一坐标系内画出y的图像，由图可知在3，5上共有四个交点，所以f(x)在3，5上共有四个解，从左
7、到右记为x1，x2，x3，x4，则x1与x4，x2与x3关于直线x1对称，所以1，1，所以x1x2x3x44.三个“二次”间的转化若二次函数f(x)ax2bxc(a0)满足f(x1)f(x)2x，且f(0)1.(1)求f(x)的解析式；(2)若在区间1，1上，不等式f(x)2xm恒成立，求实数m的取值范围.【解】(1)由f(0)1，得c1，所以f(x)ax2bx1.又f(x1)f(x)2x，所以a(x1)2b(x1)1(ax2bx1)2x，即2axab2x.所以所以因此，所求解析式为f(x)x2x1.(2)f(x)2xm等价于x2x12xm，即x23x1m0，要使此不等式在区间1，1上恒成立，
8、只需使函数g(x)x23x1m在区间1，1上的最小值大于0即可.因为g(x)x23x1m在区间1，1上单调递减，所以gming(1)m1，由m10，得m1.因此满足条件的实数m的取值范围是(，1).二次函数、二次方程与二次不等式统称三个“二次”，它们常结合在一起，而二次函数又是三个“二次”的核心，通过二次函数的图像贯穿为一体.因此，解决此类问题首先采用转化思想，把方程、不等式问题转化为函数问题.借助于函数思想研究方程、不等式(尤其是恒成立)问题是高考命题的热点. 设关于x的一元二次方程ax2x10(a0)有两个实根x1，x2.(1)求(1x1)(1x2)的值；(2)求证：x11且x21.解：(
9、1)由根与系数的关系可知，x1x2，x1x2，(1x1)(1x2)1(x1x2)x1x211.(2)证明：令f(x)ax2x1，由14a0，得02a，所以抛物线f(x)ax2x1的对称轴x21.又f(1)a0，所以f(x)的图像与x轴的交点都在点(1，0)的左侧，故x11且x21.函数的应用某工厂有214名工人，现要生产1 500件产品，每件产品由3个A型零件和1个B型零件配套组成，每名工人加工5个A型零件与3个B型零件所需的时间相同.现将全部工人分成两组，分别加工A型零件与B型零件，且同时开工.设加工A型零件的工人有x名，单位时间内每名工人加工A型零件5k(kN*)个，加工完A型零件所需的时
10、间为g(x)，加工完B型零件所需的时间为h(x).(1)试比较g(x)与h(x)的大小，并写出完成总任务所需时间的表达式；(2)怎样分组才能使完成总任务所需的时间最少？【解】(1)由已知A型零件需要生产4 500个，B型零件需要生产1 500个，加工B型零件的工人有(214x)名，单位时间内每名工人加工B型零件3k个.所以g(x)，h(x).则g(x)h(x).因为0x214，且xN，kN*，所以当0x137时，g(x)h(x)，当137x214时，g(x)h(x).所以f(x)其中xN.(2)因为当0x137时，f(x)为减函数，当137x214时，f(x)为增函数，且1，所以当x137时f
11、(x)的值最小，即安排137名工人加工A型零件，77名工人加工B型零件时，完成总任务所需时间最少.解应用题的基本步骤(1)审题：读懂题意，分清条件与结论，理顺数量关系；(2)建模：将已知条件转化为数学语言，应用数学知识建立相应的函数模型；(3)解模：求解函数模型，得到数学结论；(4)还原：将数学方面的结论还原到实际问题中去，解释实际意义. 某企业生产一种机器的固定成本为0.5万元，但每生产1百台机器时，又需可变成本(即另增加投入)0.25万元.市场对此商品的年需求量为5百台，销售的收入(单位：万元)函数为F(x)5xx2(0x5)，其中x是产品生产的数量(单位：百台).(1)将利润表示为产量的
12、函数；(2)年产量是多少时，企业所得利润最大？解：(1)设利润函数为G(x)，成本函数为R(x)，则依题意，得G(x)F(x)R(x)(0.50.25x)0.5x24.75x0.5(0x5).(2)因为由(1)知利润函数G(x)0.5x24.75x0.5(0x5)，所以当x4.75时，G(x)有最大值，所以年产量为475台时，企业所得利润最大.1.函数f(x)的值域是()A.RB.(0，2)(2，)C.(0，) D.0，23，)解析：选D.当x0，1时，f(x)2x20，2；当x(1，2)时，f(x)2；当x2，)时，f(x)x13，).综上所述，f(x)的值域为0，23，).故选D.2.(2
13、019沈阳期末)已知函数y(k0)在3，8上的最大值为1，则k的值为()A.1 B.6C.1或6 D.6解析：选A.由题意知，当k0时，函数y在3，8上单调递减，因为函数在3，8上的最大值为1，所以1，所以k1；当k0时，函数y在3，8上单调递增，因为函数在3，8上的最大值为1，所以1，解得k6(舍去)，故选A.3.若f(x)3ax2a1，若存在x0(1，1)，使f(x0)0成立，则实数a的取值范围是()A.1a B.a1C.a1或a D.a解析：选C.由于给出的是一次函数形式，通过数形结合分析应满足条件f(1)f(1)0(5a1)(a1)0(5a1)(a1)0a或a1，故选C.4.学校团委接
14、受了一项任务，完成这项任务的时间t与参加此项任务的同学人数x之间满足关系式：tax.当x10时，t100，当x20时，t100.若想所用时间最短，则参加人数为()A.13 B.14C.15 D.16解析：选B.由已知得10010a20a，解得a，b，则tx.由x得x2200.又xN*，则x14或x15.当x14时，t11494；x15时，t21594.因为t2t1，故选B.5.(2019湖州检测)已知函数f(x)(aR).(1)若f(1)2，求函数yf(x)2x在上的值域；(2)当a时，试判断f(x)在(0，1上的单调性，并用定义证明你的结论.解：(1)根据题意，函数f(x)，若f(1)2，则
15、2，解得a，则f(x)x，则yf(x)2xx，设g(x)x，分析易得g(x)在上为减函数，且g2，g(2)2，故yf(x)2x在上的值域为.(2)f(x)2ax，当a时，f(x)在(0，1上为减函数，证明如下：设0x1x21，f(x1)f(x2)(2ax1x21)，又由a且0x1x21，则(x1x2)0，(2ax1x21)0，则f(x1)f(x2)0，即函数f(x)在(0，1上为减函数.A基础达标1.函数f(x)的定义域为()A.1，2B.(1，2C.2，) D.1，)解析：选B.法一：要使函数f(x)有意义，则解得1x2，故选B.法二：因为x1，排除A；取x3，则42x4620，所以x3，排
16、除C、D，故选B.2.函数f(x)x的零点有()A.0个 B.1个C.2个 D.无数个解析：选C. 令f(x)0，即x0，所以x2.故f(x)的零点有2个，选C.3.向一杯子中匀速注水时，杯中水面高度h随时间t变化的函数hf(t)的图像如图所示，则杯子的形状是()解析：选A.从题图中看出，在时间段0，t1，t1，t2内水面高度是匀速上升的，在0，t1上升慢，在t1，t2上升快.故选A.4.已知f(x)x1，f(a)2，则f(a)()A.4 B.2C.1 D.3解析：选A.因为f(x)x1，所以f(a)a12，所以a3，所以f(a)a11314.5.已知函数f(x)则不等式f(x)f(1)的解集
17、是()A.(3，1)(3，)B.(3，1)(2，)C.(1，1)(3，)D.(，3)(1，3)解析：选A.画出函数f(x)的图像如图所示，令f(x)f(1)，得x3，1，3，所以当f(x)f(1)时，必有x(3，1)(3，).故选A.6.已知f(x)若f(x)3，则x的值是.解析：由f(x)3得或或解得x.答案：7.在如图所示的锐角三角形空地中，欲建一个面积最大的内接矩形花园(阴影部分)，则其边长x为(m).解析：如图，过点A作AHBC于点H，交DE于点F，易知，又AHBC40，则DEAFx，FH40x.则Sx(40x)(x20)2400，当x20时，S取得最大值.答案：208.已知f(x)x
18、2xk(kN)，若方程f(x)2在上有两个不相等的实数根，则k.解析：令F(x)f(x)2x2xk2，则F(x)在上有两个不同零点.由于对称轴为直线x，所以即所以k.由kN，得k2.答案：29.设函数f(x).(1)求f(x)的定义域，并判断f(x)的奇偶性；(2)求证：ff(2x).解：(1)要使原函数有意义，只需4x20，即x2，所以f(x)的定义域为x|x2，因为f(x)的定义域为x|x2，所以定义域关于原点对称.又f(x)f(x)，所以f(x)为偶函数.(2)证明：因为f，f(2x)，所以ff(2x).B能力提升10.定义运算ab设函数f(x)x(x1)，则该函数的图像应该是()解析：
19、选C.由ab的定义，可知f(x)由于f(0)011，所以函数图像过点(0，1)，排除A，B；当x0时，yx20，排除D，只有C符合，故选C.11.记实数x1，x2，xn中的最大数为maxx1，x2，xn，最小数为minx1，x2，xn，则maxminx1，x2x1，x6()A. B.1C.3 D.解析：选D.如图所示，yminx1，x2x1，x6的图像为图中的实线部分，则易知求最大数即为图中B点的纵坐标，又B，故选D.12.已知函数f(x)(a0，x0).(1)求证：f(x)在(0，)上是单调递增函数；(2)若f(x)在上的值域是，求a的值.解：(1)证明：任取x1，x2(0，)，且x1x2，
20、则x2x10，x1x20，所以f(x2)f(x1)0，所以f(x2)f(x1)，所以f(x)在(0，)上是单调递增函数.(2)由(1)知f(x)在上单调递增，所以f，f(2)2，易得a.13.已知yf(x)是R上的奇函数，且当x0时，f(x)x24x1.(1)求yf(x)的解析式；(2)画出yf(x)的图像，并指出yf(x)的单调区间.解：(1)设x0，则x0，所以f(x)(x)24(x)1x24x1，又yf(x)是R上的奇函数，所以f(x)f(x)x24x1，又f(0)0，所以f(x)(2)先画出yf(x)(x0)的图像，利用奇函数的对称性可得到相应yf(x)(x0)的图像，其图像如图所示.
21、由图可知，yf(x)的单调递增区间为(2，0)和(0，2，单调递减区间为(，2和(2，).C拓展探究14.通过研究学生的学习行为，心理学家发现，发生接受能力依赖于老师引入概念和描述问题所用的时间，讲座开始时，学生的兴趣激增，中间有一段不太长的时间，学生的兴趣保持理想的状态，随后学生的注意力开始分散.分析结果和实验表明，用f(x)表示学生掌握和接受概念的能力(f(x)的值越大，表示接受能力越强)，x表示提出和讲授概念的时间(单位：min)，则有以下公式：f(x)(1)开讲多少分钟后，学生的接受能力最强？能维持多少分钟？(2)开讲5 min时与开讲20 min时比较，学生的接受能力何时强一些？(3
22、)一道数学难题，需要55的接受能力以及13 min的时间，老师能否及时在学生处于所需接受能力的状态下讲授完这道难题？解：(1)当0x10时，f(x)0.1x22.6x430.1(x13)259.9.故当0x10时，函数f(x)为增函数，故其最大值为f(10)0.1(1013)259.959.当10x16时，f(x)59.当16x30时，f(x)为减函数，且f(x)59.因此，开讲10 min后，学生达到最强接受能力(为59)，能维持6 min.(2)f(5)0.1(513)259.953.5，f(20)3201074753.5，故开讲5 min时学生的接受能力比开讲20 min时要强一些.(3)当0x10时，令f(x)55，解得x6(x20舍去).当16x30时，令f(x)55，解得x17.因此学生达到(含超过)55的接受能力时间为17611(min)13(min).故老师来不及在学生处于所需接受能力的状态下讲授完这道难题.- 18 - 版权所有高考资源网
