1、课时作业46空间点、直线、平面之间的位置关系一、选择题1若空间中有两条直线，则“这两条直线为异面直线”是“这两条直线没有公共点”的()A充分不必要条件 B必要不充分条件C充要条件 D既不充分又不必要条件解析：若两条直线无公共点，则两条直线可能异面，也可能平行若两条直线是异面直线，则两条直线必无公共点答案：A2若两条直线和一个平面相交成等角，则这两条直线的位置关系是()A平行 B异面C相交 D平行、异面或相交解析：经验证，当平行、异面或相交时，均有两条直线和一个平面相交成等角的情况出现，故选D.答案：D3若空间三条直线a，b，c满足ab，bc，则直线a与c()A一定平行 B一定相交C一定是异面直
2、线 D一定垂直解析：两条平行线中一条与第三条直线垂直，另一条直线也与第三条直线垂直，故选D.答案：D4已知正四棱柱ABCDA1B1C1D1中，AA12AB，E为AA1的中点，则异面直线BE与CD1所成角的余弦值为()A. B.C. D.解析：取DD1的中点F，连接CF，D1CF为BE与CD1所成的角，取AB1，则cosD1CF.故直线BE与CD1所成角的余弦值为.答案：C5已知空间中有三条线段AB，BC和CD，且ABCBCD，那么直线AB与CD的位置关系是()AABCDBAB与CD异面CAB与CD相交DABCD或AB与CD异面或AB与CD相交解析：若三条线段共面，如果AB，BC，CD构成等腰三
3、角形，则直线AB与CD相交，否则直线AB与CD平行；若不共面，则直线AB与CD是异面直线答案：D6已知a，b，c为三条不同的直线，且a平面M，b平面N，MNc.若a与b是异面直线，则c至少与a，b中的一条相交；若a不垂直于c，则a与b一定不垂直；若ab，则必有ac；若ab，ac，则必有MN.其中正确命题的个数是()A0 B1C2 D3解析：命题正确，命题错误其中命题中a和b有可能垂直；命题中当bc时，平面M，N有可能不垂直，故选C.答案：C二、填空题7三条直线可以确定三个平面，这三条直线的公共点个数是_解析：因三条直线可以确定三个平面，所以这三条直线有两种情况：一是两两相交，有1个交点；二是互
4、相平行，没有交点答案：0或18已知正方体ABCDA1B1C1D1中，E、F分别为BB1、CC1的中点，那么异面直线AE与D1F所成角的余弦值为_解析：如图，连接DF，因为DF与AE平行，所以DFD1即为异面直线AE与D1F所成角的平面角，设正方体的棱长为2，则FD1FD，由余弦定理得cosDFD1.答案：9如图，正方体的底面与正四面体的底面在同一平面上，且ABCD，则直线EF与正方体的六个面所在的平面相交的平面个数为_解析：在正四面体中取CD的中点G，连接FG，EG，作FH平面CDE于点H.因为正四面体的高FH在平面EFG内，且FH平行于正方体的高，可证得平面EFG平行于正方体的左、右两个侧面
5、，故直线EF仅与正方体的六个面中的上、下两个平面及前、后两个平面相交，共4个答案：4三、解答题10如图所示，四边形ABEF和ABCD都是直角梯形，BADFAB90，BC綊AD，BE綊FA，G、H分别为FA、FD的中点(1)证明：四边形BCHG是平行四边形；(2)C、D、F、E四点是否共面？为什么？解：(1)证明：由已知FGGA，FHHD，可得GH綊AD.又BC綊AD，GH綊BC，四边形BCHG为平行四边形(2)由BE綊AF，G为FA中点知，BE綊FG，四边形BEFG为平行四边形，EFBG.由(1)知BG綊CH，EFCH，EF与CH共面又DFH，C、D、F、E四点共面11已知三棱柱ABCA1B1
6、C1的侧棱长和底面边长均为2，A1在底面ABC内的射影O为底面ABC的中心，如图所示：(1)连接BC1，求异面直线AA1与BC1所成角的大小；(2)连接A1C，A1B，求三棱锥C1BCA1的体积解：(1)连接AO，并延长与BC交于点D，则AD是BC边上的中线点O是正ABC的中心，且A1O平面ABC，BCAD，BCA1O.ADA1OO，BC平面ADA1.BCAA1.又AA1CC1，异面直线AA1与BC1所成的角为BC1C.CC1BC，即四边形BCC1B1为正方形，异面直线AA1与BC1所成角的大小为.(2)三棱柱的所有棱长都为2，可求得AD，AOAD，A1O.VABCA1B1C1SABCA1O2
7、，VA1B1C1CBVABCA1B1C1VA1ABC.VC1BCA1VA1BCC1VA1BCC1B1.1已知m，n为异面直线，m平面，n平面.直线l满足lm，ln，l，l，则()A，且lB，且lC与相交，且交线垂直于lD与相交，且交线平行于l解析：由题意可知与相交，可能垂直，故A，B错；因交线分别垂直于异面直线m，n，又lm，ln，l，l，所以交线平行于l，故选D.答案：D2(2014大纲全国卷)已知二面角l为60，AB，ABl，A为垂足，CD，Cl，ACD135，则异面直线AB与CD所成角的余弦值为()A.B.C.D.解析：如图，在平面内过C作CEAB，则ECD为异面直线AB与CD所成的角或
8、其补角，不妨取CE1，过E作EO于O.在平面内过O作OHCD于H，连EH，则EHCD.因为ABCE，ABl，所以CEl.又因为EO平面，所以COl.故ECO为二面角l的平面角，所以ECO60.而ACD135，COl，所以OCH45.在RtECO中，COCEcosECO1cos60.在RtCOH中，CHCOcosOCHsin45.在RtECH中，cosECH.答案：B3如图所示，在四棱锥SABCD中，SB底面ABCD.底面ABCD为梯形，ABAD，ABCD，AB1，AD3，CD2.若点E是线段AD上的动点，则满足SEC90的点E的个数是_ 解析：由于SB底面ABCD，SE在底面ABCD上的射影为
9、BE，要使SEC90，只要BEEC即可由平面几何知识可知，以BC为直径的圆与AD有两个交点，故满足条件的E点的个数是2.答案：24如图，在棱长为a的正方体ABCDA1B1C1D1中，点E是棱D1D的中点，点F在棱B1B上，且满足B1F2BF.(1)求证：EFA1C1；(2)在棱C1C上确定一点G，使A，E，G，F四点共面，并求此时C1G的长解：(1)证明：如图所示，连接B1D1，ABCDA1B1C1D1为正方体，四边形A1B1C1D1为正方形A1C1B1D1，且BB1平面A1B1C1D1.A1C1BB1.B1D1BB1B1，A1C1平面BB1D1D.EF平面BB1D1D，EFA1C1.(2)如图所示，假设A，E，G，F四点共面，则A，E，G，F四点确定平面AEGF，ABCDA1B1C1D1为正方体，平面AA1D1D平面BB1C1C.平面AEGF平面AA1D1DAE，平面AEGF平面BB1C1CGF，由平面与平面平行的性质定理得AEGF，同理可得AFGE，因此四边形AEGF为平行四边形，GFAE.在RtADE中，ADa，DEDD1，ADE90，由勾股定理得AEa，在直角梯形B1C1GF中，下底B1FBB1a，直角腰B1C1a，斜腰GFAEa，由勾股定理可得GFa，结合图形可知C1GB1F，解得C1Ga.
