1、114投影与直观图1了解中心投影、平行投影的概念2理解直观图的斜二测画法规则3会画常见几何体的直观图1平行投影(1)有关概念点的平行投影如图，已知图形F、直线l与平面相交，过F上任意一点M作直线MM平行于l，交平面于点M，则点M叫做点M在平面内关于直线l的平行投影(或象)图形的平行投影如果图形F上的所有点在平面内关于直线l的平行投影构成图形F，则F叫做图形F在内关于直线l的平行投影平面叫做投射面，直线l叫做投射线(2)当图形中的直线或线段不平行于投射线时，平行投影都具有下列性质：直线或线段的平行投影仍是直线或线段；平行直线的平行投影是平行或重合的直线；平行于投射面的线段，它的投影与这条线段平行
2、且等长；与投射面平行的平面图形，它的投影与这个图形全等；在同一直线或平行直线上，两条线段平行投影的比等于这两条线段的比2直观图(1)空间图形的直观图：用来表示空间图形的平面图形，叫做空间图形的直观图(2)斜二测画法：一种画直观图的方法，其规则是：在已知图形中建立直角坐标系xOy，画直观图时，它们分别对应x轴和y轴，两轴交于O，使xOy45(或135)，它们确定的平面表示水平平面；已知图形中平行于x轴或y轴的线段，在直观图中分别画成平行于x轴和y轴的线段；已知图形中平行于x轴的线段，在直观图中保持原长度不变；平行于y轴的线段，长度变为原来的(3)正等测画法正等测画法的依据还是平行投影，不过这时投
3、射线和人的视线平行，并且投射线与投射面垂直，它一般用于画圆、圆柱、圆锥、圆台、球等旋转体3中心投影中心投影：一个点光源把一个图形照射到一个平面上，这个图形的影子就是它在这个平面上的中心投影中心投影和平行投影的区别在于：平行投影的投射线都互相平行，中心投影的投射线交于同一点画实际效果图时，一般用中心投影法；画立体几何中的图形时一般用平行投影法1如果图形所在的平面不平行于投射线，那么下列说法正确的是()A矩形的平行投影一定是矩形B梯形的平行投影一定是梯形C正方形的平行投影一定是矩形D正方形的平行投影一定是菱形解析：选B梯形两底的平行投影一定平行，所以选B2下列关于直观图画法的说法中，不正确的是()
4、A原图中平行于x轴的线段，其对应线段仍平行于x轴，长度不变B原图中平行于y轴的线段，其对应线段仍平行于y轴，长度不变C画与坐标系xOy对应的坐标系xOy时，xOy可以等于135D画直观图时，由于选轴不同，所画的直观图可能不同解析：选B平行于y轴的线段其长度变为原来的3平行投影与中心投影有什么区别？解：平行投影的投射线都互相平行，中心投影的投射线是由同一点出发的中心投影与平行投影下列说法：平行投影的投射线互相平行，中心投影的投射线相交于一点；空间图形经过中心投影后，直线变成直线，但平行线可能变成了相交的直线；两条相交直线的平行投影是两条相交直线其中，正确的个数为()A0B1C2 D3【解析】题号
5、判断原因分析由平行投影和中心投影的定义可知空间图形经过中心投影后，直线可能变成直线，也可能变成一个点，如当投影中心在直线上时，投影为点；平行线有可能变成相交线，如照片中由近到远，物体之间的距离越来越近，最后相交于一点两条相交直线的平行投影是两条相交直线或一条直线【答案】B (1)考虑一个几何体的投影是什么图形，要分清楚是平行投影还是中心投影，投射面的位置如何 (2)空间图形在平行投影和中心投影下，大多情况下得到的图形是不同的，但是也有相同的情况，如直线经过两种投影，都有可能变为一个点下列说法正确的是_直线或线段的平行投影仍为直线或线段；与投射面平行的平面图形，其投影与这个图形一定全等；平行四边
6、形的平行投影可能是矩形；两平行直线的平行投影一定平行；如果一条长为2米的线段，其平行投影为1米，则长为10米的线段，其平行投影的长为5米解析：因为当直线或线段与投射线平行时，其平行投影为一个点，故不正确；正确；因为经平行投影后的角度可以改变，平行性不变，故平行四边形的平行投影可能是矩形，故正确；因为两平行直线的平行投影可能是一条直线或两个点，故不正确；因为中的两线段不一定平行，故不正确答案：直观图的画法画水平放置的直角梯形的直观图，如图所示【解】(1)在已知的直角梯形OBCD中，以底边OB所在直线为x轴，垂直于OB的腰OD所在直线为y轴建立平面直角坐标系画相应的x轴和y轴，使xOy45，如图所
7、示(2)在x轴上截取OBOB，在y轴上截取ODOD，过点D作x轴的平行线l，在l上沿x轴正方向取点C使得DCDC连接BC，如图(3)所得四边形OBCD就是直角梯形OBCD的直观图如图画水平放置的图形的直观图的关键及注意事项(1)在画水平放置的图形的直观图时，选取适当的直角坐 标系是关键，一般要使平面多边形尽可能多的顶点在坐标轴上或边与坐标轴平行，以便于画图(2)画图时要注意原图和直观图中线段的长度的关系是否发生变化画出底面是正方形且侧棱均相等的四棱锥的直观图解：(1)画轴画Ox轴、Oy轴、Oz轴，使xOy45(或135)，xOz90，如图(1)(2)画底面以O为中心在xOy平面内，画出正方形A
8、BCD的直观图(3)画顶点在Oz轴上任取一点P(4)成图顺次连接PA、PB、PC、PD，并擦去辅助线，将被遮住的部分改为虚线，得四棱锥的直观图(如图(2)直观图的还原与计算如图是四边形ABCD的水平放置的直观图ABCD，则原四边形ABCD的面积是()A14B10C28D14【解析】因为ADy轴，ABCD，ABCD，所以原图形是一个直角梯形又AD4，所以原直角梯形的上、下底及高分别是2，5，8，故其面积为S(25)828【答案】C直观图还原为平面图形的方法及面积的求法(1)还原图形的过程是画直观图的逆过程，关键是找与x轴、y轴平行的直线或线段平行于x轴的线段长度不变，平行于y轴的线段还原时长度变
9、为原来的2倍，由此确定图形的各个顶点，顺次连接即可(2)求图形的面积，关键是能正确画出图形，然后求出相应边的长度，利用公式求解注意原图的面积S与直观图的面积S之间的关系为S2S已知正三角形ABC的边长为a，那么ABC的平面直观图ABC的面积为()Aa2Ba2Ca2 Da2解析：选D如图所示为实际图形和直观图由可知，BCBCa，OAOAa，在图中作ADBC于点D，则ADOAa所以SABCBCADaaa21画水平放置的平面图形的直观图的步骤为：画轴(让尽量多的点在坐标轴上)；取点；成图在图形中，平行于x轴的线段，在直观图中保持其长度不变；平行于y轴的线段，在直观图中长度减半画平面图形的直观图，关键
10、是确定各顶点(或其它有代表性的点)的位置；而确定顶点的位置，需要选取有关的两个坐标系，并在两个坐标系之间，建立一定的对应关系，其中以平行投影的性质为主要依据2画立体图形的直观图，在画轴时，要多画一条与xOy平面垂直的轴Oz，且平行于Oz的线段，在直观图中的长度不变，其他与平面图形直观图的画法一致既能画水平放置的平面图形的直观图，又能画空间图形的直观图，这就要求掌握好斜二测画法的规则若对斜二测画法的规则不清楚，则容易出错同时，又要能由直观图还原到原图形，养成逆向思维的习惯1在灯光下，圆形窗框在与窗框平行的墙面上的影子的形状是()A平行四边形B椭圆形C圆形 D菱形解析：选C由点光源的中心投影的性质
11、可知影子应为圆形2如图为一平面图形的直观图，则此平面图形可能是()解析：选C根据斜二测画法的规则：平行于x轴或在x轴上的线段的长度在新坐标系中不变，在y轴上或平行于y轴的线段的长度在新坐标中变为原来的，并注意到xOy90，xOy45，因此由直观图还原成原图形为选项C3已知有一个长为5 cm，宽为4 cm的矩形，则其斜二测直观图的面积为_解析：由于该矩形的面积为S5420(cm2)所以其斜二测直观图的面积为SS5(cm2)答案：5 cm24长度相等的两条平行线段的直观图的长度_答案：相等学生用书P83(单独成册)A基础达标1下列命题中真命题的个数是()正方形的平行投影一定是菱形；平行四边形的平行
12、投影一定是平行四边形；三角形的平行投影一定是三角形A0B1C2 D3解析：选A若平面图形所在平面与投射线平行，则上述三个命题中的平面图形的平行投影都是线段，可知三个命题都不成立故选A2下列说法正确的是()A相等的线段在直观图中仍然相等B若两条线段平行，则在直观图中对应的两条线段仍然平行C两个全等三角形的直观图一定也全等D两个图形的直观图是全等的三角形，则这两个图形一定是全等三角形解析：选B直角坐标系的选取不同时，图形的直观图也会不同，所以选项A，C，D错误，但平行关系不会发生变化3图中斜二测直观图所示的平面图形是(ABOy，BCOx)()A直角梯形B等腰梯形C不可能是梯形D平行四边形解析：选A
13、因为ABOy，BCOx，所以B45，所以在平面图形中B为直角又根据平行于x轴的线段长度在原坐标中不变，故在平面图形中ADBC，且ADBC，故为直角梯形4正方形OABC的边长为1 cm，它是水平放置的一个平面图形的直观图，则原图形的周长是()A6 cmB8 cmC(23)cm D(22)cm解析：选B如图，OA1 cm，在RtOAB中，OB2 cm，所以AB3 cm所以四边形OABC的周长为8 cm5已知两个圆锥，底面重合在一起(底面平行于水平面)，其中一个圆锥顶点到底面的距离为2 cm，另一个圆锥顶点到底面的距离为3 cm，则其直观图中这两个顶点之间的距离为()A2 cm B3 cmC25 c
14、m D5 cm解析：选D圆锥顶点到底面的距离即圆锥的高，故两顶点间距离为235(cm)，在直观图中与z轴平行的线段长度不变，仍为5 cm，故选D6若线段AB平行于投影面，O是AB上一点，且AOOBmn，则点O的平行投影点O分线段AB的平行投影线段AB的长度之比是_解析：由平行投影的性质知AOOBAOOB答案：mn7如图，平行四边形OPQR是四边形OPQR的直观图，若OP3，OR1，则原四边形OPQR的周长为_解析：由四边形OPQR的直观图可知原四边形是矩形，且OP3，OR2，所以原四边形OPQR的周长为2(32)10答案：108如图所示的是一个水平放置的正方形ABCO，它在直角坐标系xOy中，
15、点B的坐标为(2，2)，则用斜二测画法画出的正方形的直观图中，顶点B到x轴的距离为_解析：在直观图中四边形ABCO是有一个角为45且长边为2，短边为1的平行四边形，所以顶点B到x轴的距离为答案：9画如图放置的直角三角形的直观图解：画法：(1)画x轴和y轴，使xOy45(如图(2)(2)在原图中作BDx轴，垂足为D(如图(1)(3)截取OAOA，OCOC，ODOD，DBBD，且BDy轴(4)连线成图(擦去辅助线)(如图(3)10如图所示，四边形ABCD是一个梯形，CDAB，CDBO1，三角形AOD为等腰直角三角形，O为AB的中点，试求梯形ABCD水平放置的直观图的面积解：法一：在梯形ABCD中，
16、AB2，高OD1，由于梯形ABCD水平放置的直观图仍为梯形，且上底CD和下底AB的长度都不变，如图所示，在直观图中，ODOD，梯形的高DE，于是梯形ABCD的面积为(12)法二：梯形ABCD的面积S(DCAB)OD(12)1所以梯形ABCD直观图的面积为SSB能力提升11已知一水平放置的三角形的平面直观图是边长为1的正三角形，那么原三角形的面积为()A BC D解析：选B如图，找到三角形ABC的高是关键ABC的高AD，所以OAAD，所以OA2OA所以SABCBCOA12给出下列说法：正方形的直观图是一个平行四边形，其相邻两边长的比为12，有一内角为45；水平放置的正三角形的直观图是一个底边长不
17、变，高为原三角形高的一半的三角形；不等边三角形水平放置的直观图是不等边三角形；水平放置的平面图形的直观图是平面图形写出其中正确说法的序号_解析：对于，若以该正方形的一组邻边所在的直线为x轴、y轴，则结论正确；但若以该正方形的两条对角线所在的直线为x轴、y轴，由于此时该正方形的各边均不在坐标轴上或与坐标轴平行，则其直观图中相邻两边长不一定符合“横不变，纵减半”的规则；对于，水平放置的正三角形的直观图是一个底边长不变，高比原三角形高的一半还要短的三角形；对于，只要坐标系选取的恰当，不等边三角形的水平放置的直观图可以是等边三角形答案：13用斜二测画法画如图所示的水平放置的正三角形的直观图解：(1)如图所示，以BC边所在的直线为x轴，以BC边上的高AO所在的直线为y轴(2)画对应的x轴、y轴，使xOy45在x轴上取OBOCOBOC，在y轴上取OAOA，连接AB，AC，则三角形ABC即为正三角形ABC的直观图，如图所示14(选做题)如图是一个边长为1的正方形ABCD，已知该正方形是某个水平放置的四边形用斜二测画法画出的直观图，试画出该四边形的真实图形并求出其面积解：四边形ABCD的真实图形如图所示，因为AC在水平位置，ABCD为正方形，所以DACACB45，所以在原四边形ABCD中，ADAC，ACBC，因为AD2DA2，ACAC，所以S四边形ABCDACAD2
