1、45.2形形色色的函数模型新课程标准解读核心素养1.理解函数模型是描述客观世界中变量关系和规律的重要数学语言和工具数学建模2.在实际情境中，会选择合适的函数类型刻画现实问题的变化规律数学运算随着经济和社会的发展，汽车已逐步成为人们外出的代步工具下面是某地一汽车销售公司对近三年的汽车销售量的统计表：年份201820192020销量/万辆81830结合以上三年的销量及人们生活的需要，2021年初，该汽车销售公司的经理提出全年预售43万辆汽车的目标问题(1)在实际生产生活中，对已收集到的样本数据常采用什么方式获取直观信息？(2)你认为该目标能够实现吗？知识点几种常见函数模型函数模型函数解析式一次函数
2、模型f(x)kxb(k，b为常数，k0)反比例函数模型f(x)b(k，b为常数且k0)二次函数模型f(x)ax2bxc(a，b，c为常数，a0)指数型函数模型f(x)baxc(a，b，c为常数，b0，a0且a1)对数型函数模型f(x)blogaxc(a，b，c为常数，b0，a0且a1)幂函数型模型f(x)axnb(a，b为常数，a0)分段函数模型y对于建立的各种函数模型，要能够对其进行识别，充分利用数学方法加以解决，并能积累一定数量的典型的函数模型，这是顺利解决实际问题的重要资本运用已知函数模型刻画实际问题时，由于实际问题的条件与得出已知模型的条件会有所不同，因此往往需要对模型进行修正 1某公
3、司为了适应市场需求对产品结构做了重大调整，调整后初期利润增长迅速，后期增长越来越慢，若要建立恰当的函数模型来反映该公司调整后利润y与时间x的关系，可选用()A一次函数B二次函数C指数型函数 D对数型函数解析：选D由于一次函数、二次函数、指数型函数后期增长不会越来越慢，只有对数型函数后期增长越来越慢2某种细胞分裂时，由1个分裂成2个，2个分裂成4个，现有2个这样的细胞，分裂x次后得到细胞的个数y与x的关系可以表示为_解析：分裂一次后为2222个，分裂两次后为4223个，分裂x次后为y2x1个，所以函数关系式y2x1.答案：y2x1建立函数模型解决实际问题例1十一长假期间，某宾馆有50个房间供游客
4、住宿，当每个房间的房价为每天180元时，房间会全部住满当每个房间每天的房价每增加10元时，就会有一个房间空闲宾馆需对游客居住的每个房间每天支出20元的各种费用(人工费，消耗费用等等)受市场调控，每个房间每天的房价不得高于340元设每个房间每天的房价增加x元(x0且x为10的整数倍)(1)设一天订住的房间数为y，直接写出y与x的函数关系式及自变量x的取值范围；(2)设宾馆一天的利润为W元，求W与x的函数关系式；(3)一天订住多少个房间时，宾馆每天的利润最大？最大利润是多少元？解(1)y50x(0x160，且x是10的整数倍)(2)W(180x20)x234x8 000(0x160，且x是10的整
5、数倍)(3)由(2)得Wx234x8 000(x170)210 890，当x170时，W随x的增大而增大又0x160.当x160时，W最大10 880，则y50x34.故一天订住34个房间时，宾馆每天的利润最大，最大利润是10 880元建立函数模型的步骤(1)正确理解并简化实际问题：了解问题的实际背景，明确其实际意义，掌握对象的各种信息根据实际对象的特征和建模的目的，对问题进行必要的简化，并用精确的语言提出一些恰当的假设；(2)建立函数模型：在上述基础上，利用适当的数学工具来刻画各变量之间的函数关系，建立相应的数学结构；(3)求得数学问题的解；(4)将求解时分析计算的结果与实际情形进行比较，验
6、证模型的准确性、合理性和适用性 跟踪训练一种放射性元素，最初的质量为500 g，按每年10%衰减(1)求t年后，这种放射性元素的质量w的表达式；(2)由求出的函数表达式，求这种放射性元素的半衰期(结果精确到0.1)解：(1)最初的质量为500 g.经过1年，w500(110%)5000.9；经过2年，w5000.92；由此推知，t年后，w5000.9t.(2)由题意得5000.9t250，即09t0.5，两边取以10为底的对数，得lg 0.9tlg 0.5，即tlg 0.9lg 0.5，t6.6.即这种放射性元素的半衰期为6.6年.建立拟合函数模型解决实际问题例2(链接教科书第139页例3)某
7、学习小组在暑期社会实践活动中，通过对某商店一种商品销售情况的调查发现：该商品在过去的一个月内(以30天计)的日销售单价P(x)(单位：元)与时间x(单位：天，1x30，xN)的函数关系满足P(x)1(k为正常数)该商品的日销售量Q(x)(单位：个)与时间x的部分数据如下表所示：x10202530Q(x)110120125120已知第10天该商品的日销售收入为121元(1)求k的值；(2)给出以下四种函数模型：Q(x)axb；Q(x)a|x25|b；Q(x)abx；Q(x)alogbx.请你根据表中的数据，从中选择最合适的一种函数模型来描述该商品的日销售量Q(x)与时间x的关系，并求出该函数的解
8、析式；(3)求该商品的日销售收入f(x)(单位：元)的最小值解(1)依题意知第10天该商品的日销售收入为P(10)Q(10)110121，解得k1.(2)由题中的数据，知随着时间的变化，该商品的日销售量有增有减，而均为单调函数，故最合适的函数模型为Q(x)a|x25|b.从表中数据可得即解得故Q(x)125|x25|(1x30，xN)(3)由(2)知Q(x)125|x25|所以f(x)P(x) Q(x)当1x0)来模拟这种电脑元件的月产量y千件与月份的关系请问用以上哪个模拟函数较好？说明理由解：若用函数yaxb(a0)模拟，取(1，50)，(2，52)，则有得y2x48.当x3时，y54.若用函数yaxb模拟，取(1，50)，(2，52)，则有得y2x48.当x3时，y56.由题知3月份的产量为53.9千件，因此用函数y2x48模拟的估计误差较小，故用函数yaxb模拟比较好7
