1、2.3变量间的相关关系课时过关能力提升一、基础巩固1.对于给定的两个变量的统计数据,下列说法正确的是()A.都可以分析出两个变量的关系B.都可以用一条直线近似地表示两者的关系C.都可以作出散点图D.都可以用确定的表达式表示两者的关系解析:由两个变量的数据统计,不能分析出两个变量的关系,A错;不具有线性相关的两个变量不能用一条直线近似地表示它们的关系,更不能用确定的表达式表示它们的关系,B,D错.答案:C2.若有一个回归方程为y=2-1.5x,则变量x每增加1个单位长度时,变量y()A.平均增加1.5个单位长度B.平均增加2个单位长度C.平均减少1.5个单位长度D.平均减少2个单位长度解析:由于
2、回归方程y=2-1.5x是关于x的减函数,因此y随x的增加而减少,即排除选项A,B;由于回归方程y=2-1.5x的一次项系数为-1.5,因此变量x每增加1个单位长度时,变量y平均减少1.5个单位长度.答案:C3.已知x,y的取值如下表:x0134y2.24.34.86.7从散点图(图略)可以看出y与x线性相关,且回归方程为y=0.95x+a,则a=()A.3.25B.2.6C.2.2D.0解析:线性回归方程一定经过样本中心点(x,y),由取值表可计算x=0+1+3+44=2,y=2.2+4.3+4.8+6.74=4.5,知回归方程为y=0.95x+a,又经过点(2,4.5),代入得a=2.6.
3、答案:B4.设某大学的女生体重y(单位:kg)与身高x(单位:cm)具有线性相关关系,根据一组样本数据(xi,yi)(i=1,2,n),用最小二乘法建立的回归方程为y=0.85x-85.71,则下列结论不正确的是()A.y与x具有正的线性相关关系B.回归直线过样本点的中心(x,y)C.若该大学某女生身高增加1 cm,则其体重约增加0.85 kgD.若该大学某女生身高为170 cm,则可断定其体重必为58.79 kg解析:对A,x的系数大于0,y与x具有正的线性相关关系,故正确;对B,由回归直线必过样本中心点(x,y),故B正确;对C,由单调性知正确;对D,体重应约为58.79 kg,是估计变量
4、,故D不正确.答案:D5.四名同学根据各自的样本数据研究变量x,y之间的相关关系,并求得回归直线方程,分别得到以下四个结论:y与x负相关,且y=2.347x-6.423;y与x负相关,且y=-3.476x+5.648;y与x正相关,且y=5.437x+8.493;y与x正相关,且y=-4.326x-4.578.其中一定不正确的结论的序号是()A.B.C.D.解析:正相关指的是y有随x的增大而增大的趋势,负相关指的是y有随x的增大而减小的趋势,故不正确的为.答案:D6.由x与y的观测数据求得样本平均数x=5,y=8.8,且当x=8时,预测y=14.8,则由这组观测数据求得的回归方程是()A.y=
5、x+3.8B.y=2x-1.2C.y=0.5x+10.8D.y=-0.5x+11.3解析:可设回归方程为y=ax+b,因为样本中心点(x,y)在回归直线上,即点(5,8.8)在回归直线上,结合点(8,14.8)也在回归直线上,可得8a+b=14.8,5a+b=8.8,解得a=2,b=-1.2,故回归方程为y=2x-1.2,故选B.答案:B7.某考察团对全国10个城市的职工人均工资水平x(单位:千元)与居民人均消费水平y(单位:千元)进行统计调查,y与x具有相关关系,回归方程为y=0.66x+1.562.若某城市居民人均工资为9 000元,则其居民人均消费水平约为千元.解析:当x=9千元时,y=
6、0.669+1.562=7.502.答案:7.5028.已知由样本数据求得的回归直线方程为y=1.23x+0.08,且x=4.若去掉两个数据点(4.1,5.7)和(3.9,4.3)后重新求得的回归直线l的斜率估计值为1.2,则此回归直线l的方程为.解析:因为y=1.23x+0.08,所以y=1.234+0.08=5.因为去掉两个数据点(4.1,5.7)和(3.9,4.3),而4.1+3.92=4,5.7+4.32=5,所以剩余样本的中心点为(4,5),所以新回归直线l过点(4,5).设回归直线l的方程为y=1.2x+a,则1.24+a=5,解得a=0.2.故回归直线l的方程为y=1.2x+0.
7、2.答案:y=1.2x+0.29.某电脑公司有6名产品推销员,其中工作年限与年推销金额数据如下表:推销员编号12345工作年限x/年35679推销金额y/万元23456(1)请画出上表数据的散点图;(2)求年推销金额y关于工作年限x的回归方程;(3)若第6名推销员的工作年限为11年,试估计他的年推销金额.b=i=1nxiyi-nx yi=1nxi2-nx2=i=1n(xi-x)(yi-y)i=1n(xi-x)2,a=y-b x.解:(1)散点图如图所示.(2)由(1)知y与x具有线性相关关系.x=6,y=4,i=16xi2=200,i=16xiyi=134,b=134-564200-562=0
8、.7,a=y-b x=-0.2.年推销金额y关于工作年限x的线性回归方程为y=0.7x-0.2.(3)由(2)知,当x=11时,y=0.711-0.2=7.5.可以估计第6名推销员的年推销金额为7.5万元.二、能力提升1.对变量x,y有观测数据(xi,yi)(i=1,2,10),得散点图.对变量u,v有观测数据(ui,vi)(i=1,2,10),得散点图.由这两个散点图可以判断()图图A.变量x与y正相关,u与v正相关B.变量x与y正相关,u与v负相关C.变量x与y负相关,u与v正相关D.变量x与y负相关,u与v负相关解析:由题图知,散点图在从左上角到右下角的带状区域内,则变量x与y负相关;由
9、题图知,散点图在从左下角到右上角的带状区域内,则变量u与v正相关.答案:C2.某学生课外活动兴趣小组对两个相关变量收集到5组数据如下表:x1020304050y62758189由最小二乘法求得回归方程为y=0.67x+54.9,现发现表中有一个数据模糊不清,请推断该数据的值为()A.60B.62C.68D.68.3解析:由题意可得x=30,代入回归方程得y=75.设看不清的数为a,则62+a+75+81+89=755,所以a=68.答案:C3.已知x与y之间的几组数据如下表:x123456y433120假设根据上表数据所得回归直线方程为y=bx+a.若某同学根据上表中的最后两组数据(5,2)和
10、(6,0)求得的直线方程为y=bx+a,则以下结论正确的是()A.bb,aaB.bb,aaC.bb,aaD.ba解析:由x=72,y=136,得b=33-67213691-6722=-57,a=y-bx=136-5772=143.b=-2,a=12,bb,aa,故选B.答案:B4.一般来说,一个人脚越长,他的身高就越高.现对10名成年人的脚长x与身高y进行测量,得如下数据(单位:cm):x20212223242526272829y141146154160169176181188197203作出散点图后,发现样本点散落在一条直线附近.经计算得到一些数据:x=24.5, y=171.5,i=110
11、xiyi=42 595,i=110xi2=6 085,10x y=42 017.5,10x2=6 002.5.某刑侦人员在某案发现场发现一对脚印,量得每个脚印长26.5 cm,则估计案发嫌疑人的身高为 cm.答案:185.55.已知具有线性相关的五个样本点A1(0,0),A2(2,2),A3(3,2),A4(4,2),A5(6,4),用最小二乘法得到回归直线l1的方程为y=bx+a,过点A1,A2的直线l2的方程为y=mx+n,则下列4个结论中,mb,an;直线l1过点A3;i=15(yi-bxi-a)2i=15(yi-mxi-n)2;i=15|yi-bxi-a|i=15|yi-mxi-n|,
12、正确结论的序号是.解析:由所给数据计算可得,x=3,y=2,回归直线l1的方程为y=0.6x+0.2,过点A1,A2的直线l2的方程为y=x.b=0.6,a=0.2,m=1,n=0,则mb,an,故正确;回归直线过样本中心点(3,2),即直线l1过点A3,故正确;代入数据求得i=15(yi-bxi-a)2=0.8,i=15(yi-mxi-n)2=9,故错误;代入数据求得i=15|yi-bxi-a|=1.6,i=15|yi-mxi-n|=5,故错误.综上可得,正确结论的序号是.答案:6.某种产品的广告费支出 x(单位:百万元)与销售额y(单位:百万元)之间有如下对应数据:x24568y30406
13、05070(1)画出散点图;(2)从散点图中判断销售额与广告费支出有什么样的关系?解:(1)以x对应的数据为横坐标,以y对应的数据为纵坐标,所作的散点图如图所示:(2)从图中可以发现广告费支出与销售额之间具有相关关系,并且当广告费支出由小变大时,销售额也大多由小变大,图中的数据大致分布在某条直线的附近,即x与y成正相关关系.7.在7块并排、形状大小相同的试验田上进行施化肥量对水稻产量影响的试验,得到数据列表如下(单位:kg):施化肥量x15202530354045水稻产量y330345365405445450455(1)画出散点图;(2)求水稻产量y与施化肥量x之间的回归直线方程;(3)当施化
14、肥量为60 kg时,对水稻的产量予以估计;(4)是否施化肥越多产量越高?解:(1)画出散点图如图:(2)借助计算器列表如下:i1234567xi15202530354045yi330345365405445450455xiyi4 9506 9009 12512 15015 57518 00020 475x=30,y399.3,i=17xi2=7 000,i=17xiyi=87 175计算得:b=i=17xiyi-7xyi=17xi2-7x 287 175-730399.37 000-73024.75,a399.3-4.7530257.即得线性回归直线方程为y=4.75x+257.(3)当施化肥量为60 kg时,可以估计水稻产量为542 kg.(4)由y=4.75x+257可知,两个随机变量为正相关,因此产量随施用化肥量的增加而增加.但是从实际问题出发考虑,化肥的施用量应当控制在一定的范围内.
