1、高考资源网（） 您身边的高考专家1.4定积分与微积分基本定理1.4.1曲边梯形面积与定积分学 习 目 标核 心 素 养1了解曲边梯形及其面积的含义；了解求曲边梯形面积的“分割、近似代替、求和、取极限”的基本过程(重点)2掌握定积分的概念，会用定义求定积分(难点)3理解定积分的几何意义与性质(易混点)1通过定积分概念的学习，培养学生的数学抽象素养.2借助对定积分的几何意义的理解和性质的应用，提升学生的直观想象、数学运算素养.一、曲边梯形由直线xa，xb(ab)，y0和曲线yf(x)所围成的图形称为曲边梯形(如图)二、定积分的定义设函数yf(x)定义在区间a，b上(如图)用分点ax0x1x2xn1
2、xnb把区间a，b分为n个小区间，其长度依次为xixi1xi，i0,1,2，n1记为这些小区间长度的最大者，当趋近于0时，所有的小区间长度都趋近于0.在每个小区间内任取一点i，作和式In(i)xi，当0时，如果和式的极限存在，我们把和式In的极限叫做函数f(x)在区间a，b上的定积分，记作f(x)dx，即f(x)dx(i)xi.其中f(x)叫做被积函数，a叫积分下限，b叫积分上限，f(x)dx叫做被积式此时称函数f(x)在区间a，b上可积三、定积分的性质与几何意义1定积分的性质(1)cf(x)dxcf(x)dx(c为常数)(2)设f(x)，g(x)可积，则f(x)g(x)dxf(x)dxg(x
3、)dx.2定积分的几何意义从几何上看，如果在区间a，b上函数f(x)连续且恒有f(x)0，那么定积分f(x)dx表示由直线xa，xb，y0和曲线yf(x)所围成的曲边梯形的面积这就是定积分f(x)dx的几何意义1判断(正确的打“”，错误的打“”)(1)f(x)dxf(t)dt.()(2)f(x)dx的值一定是一个正数()(3)(x22x)dxx2dx2xdx.()答案(1)(2)(3)2填空(1)由y0，ycos x，x0，x围成的图形的面积用定积分的形式表示为_(2)f(x)dxf(x)dx_.(3)2xdx_2xdx.(填“”)答案(1)cos xdx(2)f(x)dx(3)求曲边梯形的面
4、积【例1】求由直线x0，x1，y0和曲线yx(x1)围成的图形面积思路探究按分割、近似代替、求和、取极限四个步骤进行求解解(1)分割将曲边梯形分割成n个小曲边梯形，用分点，把区间0,1等分成n个小区间：，简写作(i1,2，n)每个小区间的长度为x.过各分点作x轴的垂线，把曲边梯形分成n个小曲边梯形，它们的面积分别记作：S1，S2，Si，Sn.(2)近似代替用小矩形面积近似代替小曲边梯形面积，在小区间上任取一点i(i1,2，n)，为了计算方便，取i为小区间的左端点，用f(i)的相反数f(i)为其一边长，以小区间长度x为另一边长的小矩形对应的面积近似代替第i个小曲边梯形面积，可以近似地表示为Sif
5、(i)x(i1,2，n)(3)求和因为每一个小矩形的面积都可以作为相应小曲边梯形面积的近似值，所以n个小矩形面积的和就是曲边梯形面积S的近似值，即SSi(i)x021222(n1)2012(n1)n(n1)(2n1).(4)取极限当分割无限变细，即x趋向于0时，n趋向于，此时趋向于S.从而有S .所以由直线x0，x1，y0和曲线yx(x1)围成的图形面积为.由极限法求曲边梯形的面积的步骤第一步：分割在区间a，b中等间隔地插入n1个分点，将其等分成n个小区间xi1，xi(i1,2，n)，小区间的长度xixixi1第二步：近似代替“以直代曲”，用矩形的面积近似代替小曲边梯形的面积，求出小曲边梯形面
6、积的近似值第三步：求和将n个小矩形的面积进行求和得Sn.第四步：取极限当n时，SnS，S即为所求1求由直线x1，x2，y0及曲线y围成的图形的面积S.解(1)分割在区间1,2上等间隔地插入n1个点，将它等分成n个小区间：，记第i个区间为(i1,2，n)，其长度为x.分别过上述n1个分点作x轴的垂线，把曲边梯形分成n个小曲边梯形(如图)，它们的面积分别记作：S1，S2，Sn，则小曲边梯形面积的和为SSi，(2)近似代替记f(x).当n很大，即x很小时，在区间上，可以认为f(x)的值变化很小，近似地等于一个常数，不妨认为它等于f.从图形上看，就是用平行于x轴的直线段近似地代替小曲边梯形的曲边这样，
7、在区间上，用小矩形面积Si近似地代替Si，即在局部小范围内“以直代曲”，则有SiSifx(i1,2，n)(3)求和小曲边梯形的面积和SnSiSinn.从而得到S的近似值SSn.(4)取极限分别将区间1,2等分成8,16,20，等份时，Sn越来越趋向于S，从而有SSn.所以由直线x1，x2，y0及曲线y围成的图形的面积S为.利用定义求定积分【例2】利用定积分的定义，计算(3x2)dx的值思路探究根据定积分的意义，分四步求解，即分割，近似代替，求和，取极限解令f(x)3x2.(1)分割在区间1,2上等间隔地插入n1个分点，将区间1,2等分成n个小区间(i1,2，n)，每个小区间的长度为x.(2)近
8、似代替、作和取i(i1,2，n)，则Snx012(n1)55.(3)取极限(3x2)dxSn .利用定义求定积分的步骤2利用定积分的定义，计算(x1)dx的值解f(x)x1在区间1,2上连续，将区间1,2等分成n个小区间(i1,2，n)，每个区间的长度为x，在上取i1(i1,2，n)，f(i)112，(i)xn012(n1)22，(1x)dx .定积分的几何意义【例3】利用定积分的几何意义求下列定积分(1)dx；(2)(2x1)dx；(3)(x33x)dx.思路探究对于本题(1)、(2)可先确定被积函数、积分区间，画出图形，然后用几何法求出图形面积，从而确定定积分的值；对于(3)可根据被积函数
9、的奇偶性求解解(1)曲线y表示的几何图形为以原点为圆心以3为半径的上半圆，如图(1)所示其面积为S32.由定积分的几何意义知dx.(2)曲线f(x)2x1为一条直线.(2x1)dx表示直线f(x)2x1，x0，x3围成的直角梯形OABC的面积，如图(2)所示其面积为S(17)312.根据定积分的几何意义知(2x1)dx12.(3)yx33x在区间1,1上为奇函数，图象关于原点对称，曲边梯形在x轴上方部分面积与x轴下方部分面积相等由定积分的几何意义知 (x33x)dx0.上例(1)中变为dx，如何求解？解由y，知x2y29(y0)，x，其图象如图所示：由定积分的几何意义，知dx等于圆心角为60的
10、弓形CED的面积与矩形ABCD的面积之和S弓形323，S矩形|AB|BC|2，dx.1定积分的几何意义的应用(1)利用定积分的几何意义求f(x)dx的值的关键是确定由曲线yf(x)，直线xa，xb及y0所围成的平面图形的形状常见的图形有三角形、直角梯形、矩形、圆等可求面积的平面图形(2)不规则的图形常利用分割法将图形分割成几个容易求定积分的图形求面积，要注意分割点要确定准确2奇、偶函数在区间a，a上的定积分(1)若奇函数yf(x)的图象在a，a上连续，则0.(2)若偶函数yf(x)的图象在a，a上连续，则2f(x)dx.定积分性质的应用探究问题1怎样求分段函数的定积分？提示：可先把每一段函数的
11、定积分求出后再相加2怎样求奇(偶)函数在区间a，a上的定积分？提示：若奇函数yf(x)的图象在a，a上连续，则f(x)dx0；若偶函数yg(x)的图象在a，a上连续，则g(x)dx2g(x)dx.【例4】利用定积分的性质和定义表示下列曲线围成的平面区域的面积(1)y0，y，x2；(2)yx2，xy2.思路探究由定积分的几何意义，作出图形，分割区间表示解(1)曲线所围成的平面区域如图(1)所示设此面积为S，则S(0)dxdx.(1)(2)(2)曲线所围成的平面区域如图(2)所示设面积为S，则SA1A2.因为A1由y，y，x1围成，A2由y，yx2，x1和x4围成，所以A1()dx2dx，A2(x
12、2)dx(x2)dx.故S2 dx(x2)dx.利用定积分的性质求定积分的技巧灵活应用定积分的性质解题，可以把比较复杂的函数拆成几个简单函数，把积分区间分割成可以求积分的几段，进而把未知的问题转化为已知的问题，在运算方面更加简洁应用时注意性质的推广：3已知xdx，x2dx，求下列定积分的值(1)(2xx2)dx；(2)(2x2x1)dx.解(1)(2xx2)dx2xdxx2dx2e2.(2)(2x2x1)dx2x2dxxdx1dx，因为已知xdx，x2dx，又由定积分的几何意义知：1dx等于直线x0，xe，y0，y1所围成的图形的面积，所以1dx1ee，故(2x2x1)dx2ee3e2e.1在
13、“近似代替”中，函数f(x)在区间xi，xi1上的近似值()A只能是左端点的函数值f(xi)B只能是右端点的函数值f(xi1)C可以是该区间内任一点的函数值f(i)(ixi，xi1)D以上答案均正确解析作近似计算时，xxi1xi很小，误差可忽略，所以f(x)可以是xi，xi1上任一值f(i)答案C2图中阴影部分的面积用定积分表示为()A.2xdxB.(2x1)dxC.(2x1)dxD.(12x)dx解析根据定积分的几何意义，阴影部分的面积为2xdx1dx(2x1)dx.答案B3在计算由曲线yx2以及直线x1，x1，y0所围成的图形面积时，若将区间1,1n等分，则每个小区间的长度为_解析每个小区间长度为.答案4若f(x)g(x)dx3，f(x)g(x)dx1，则2g(x)dx_.解析2g(x)dx(f(x)g(x)(f(x)g(x)dxf(x)g(x)dxf(x)g(x)dx312.答案25用定积分的几何意义求dx.解由y可知x2y24(y0)，其图象如图dx等于圆心角为60的弓形CED的面积与矩形ABCD的面积之和S弓形2222sin.S矩形|AB|BC|2.dx2.- 14 - 版权所有高考资源网
