1、专题二 数 列考情动态分析 数列是高中代数的重要内容之一,由于它既具有函数特征,又能构成独特的递推关系,使得它既与中学数学其他部分知识如:函数、方程、不等式、解析几何、二项式定理等有较紧密的联系,又有自己鲜明的特征,因此它是历年高考考查的重点、热点和难点,在高考中占有极其重要的地位.试题往往综合性强、难度大,承载着考查学生数学思维能力和分析、建模、解决问题的能力以及函数与方程的思想、转化与化归的思想、分类讨论的思想.通过对2006年全国及16省市高考试题的研究,本专题在高考试题中占有较大比重,分值约占总分的12%,大多为一道选择题或填空题,一道解答题.试题注重基础,着重考查等差、等比数列的通项
2、公式、前n项和公式、数学归纳法及应用问题,选择题和填空题,突出“小、巧、活”的特点.而解答题大多为中等以上难度的试题或难度大的压轴题.展望2007年高考,数列仍是重点考查内容之一,估计试题经常在数列的知识、函数知识、不等式的知识和解析几何知识等的交汇点处命题,使数列试题呈现综合性强、立意新、角度新、难度大的特点.体现了函数与方程、等价转化、分类讨论等重要的数学思想以及待定系数法、配方法、换元法、消去法、归一法、分离变量法、归纳猜想证明等基本的数学方法,在复习数列单元时,一定要以等差、等比数列为载体,以通项公式、求和公式为主线,注重基础,联系实际.通过对试题的练习,提高其运算能力、思辨能力、解决
3、实际问题的能力,才能以不变应万变,在高考中立于不败之地.2.1 数列的基本运算和性质考点核心整合1.数列的通项公式an=f(n)(nN*)实质上就是一个函数关系式,求数列的通项公式常用以下方法:(1)公式法:等差与等比数列采用此方法;(2)观察归纳法:先观察哪些因素随项数n的变化而变化,哪些因素不变;分析符号、数字、字母与项数n在变化过程中的联系,初步归纳出公式,再取n的特值验证,如有误差再作调整,如题目需要,可用数学归纳法对归纳出的结果加以证明;(3)递推关系法:它指先观察数列相邻项间的递推关系,将它们一般化得到数列普遍的递推关系,再通过代数方法利用递推关系,求出通项公式;(4)利用Sn与a
4、n的关系,特别注意对n=1时进行验证.2.抓住基本量,利用方程观点解题 善于利用通项公式、前n项和公式求其余的量.3.等差与等比数列的单调性:重视思想方法在解题中的应用:等差数列等比数列在等差数列an中,公差为d增减性d0递增数列d=0常数列d0递减数列在等比数列an中,公比为q增减性或递增函数或a11递减函数,q=1常数列;q0(nN*),则logaan成等差数列,反之也对;等比数列an的前n项积为Vn,则Vn=a1n(nN*). 灵活运用两类数列的上述性质解题,可使问题化繁为简,化难为易,减少解题运算量.5.具体问题求和,掌握有关方法和题型(1)错位相减法:一个等差数列与等比数列对应项积组
5、成的数列,求和采用此法,此外,有关应用问题求和也会出现上述情况.(2)倒序相加法:涉及此法的题目不多,主要是用组合数性质=“上”“下”合并.(3)分组求和法:善于观察、通过分析、组合转化为n个等差、等比或常见数列再求和.(4)裂项相消法:是分解与组合思想在数列问题中的具体应用,实质为将数列中的某些项分解、重新组合,使得可以消去一些项,最终达到求和的目的,一般通过研究通项来实现.常见类型有,等形式.考题名师诠释【例1】 若干个能唯一确定一个数列的量称为该数列的“基本量”.设an是公比为q的无穷等比数列,下列an的四组量:S1与S2;a2与S3;a1与an;q与an中,一定能成为该数列“基本量”的
6、是第_.其中n为大于1的整数,Sn为an的前n项和.解析:对于,若已知S1与S2,则a1、a2确定,该数列唯一确定; 对于,若已知a2与S3,a1和q可能不唯一,如a2=2,S3=7,则可得a1=1且q=2或a1=4且q=; 对于,若已知a1与an,a1和q也有可能不唯一,如a1=1,a3=4,则q=2或-2; 对于,若已知q与an,则显然a1和q唯一确定.故填.答案:【例2】记等比数列an的前n项和为Sn已知S4=1,S8=17,求an的通项公式.解:设an的公式为q,由S4=1,S8=17知q1,所以得=1, =17. 由、式,得q4+1=17,q4=16.q=2或q=-2. 将q=2代入
7、式得a1=,所以an=; 将q=-2代入式得a1=-, 所以an=.评述:本题考查等比数列的通项公式,前n项和公式及方程思想、整体思想,特殊注意利用前n项和公式时要考虑q1、q=1两种情况.【例3】 数列an的前n项和Sn=npan(nN*)且a1a2,(1)求常数p的值;(2)证明an为等差数列.分析:(1)关键是把Sn写成项的和的形式,建立关于p的方程,给n以具体的值n=1和n=2.(2)求an的表达式.(1)解:由Sn=npana1=pa1(p-1)a1=0. 若p=1,则S2=2a2.a1+a2=2a2.a1=a2,矛盾.p1.a1=0. 由S2=2pa2,得a1+a2=2pa2,(2
8、p-1)a2=0.a1a2,a1=0,a20.p=.(2)证明:由S3=3a3a3=2a2,由S4=4a4,得a4=3a2,猜想an=(n-1)a2. 以下用数学归纳法证明. 当n=1时,a1=0=(1-1)a2,等式成立. 假设当n=k时成立,即ak=(k-1)a2. 当n=k+1时,Sk+1=Sk+ak+1(k+1)ak+1=kak+ak+1ak+1=ak=a2ak+1=ka2, 即n=k+1时,命题成立. 故an=(n-1)a2(nN*).an是以a1=0为首项,公差为a2的等差数列.评述:以数列为载体,考查学生的数学思想方法和逻辑推理能力是近几年高考的突出特点.本题学生容易出现由a1=
9、pa1 p=1,忽略了a1可能为0的情况.链接思考 本题第(2)问能否不用数学归纳法证明呢?若能,读者不妨一试.【例4】(2006广东高考,19)已知公比为q(0q1),使得存在且不等于零.(注:无穷等比数列各项的和即当n时该无穷等比数列前n项和的极限)解:(1)依题意可知,(2)由(1)知,an=3()n-1,所以数列T(2)的首项为t1=a2=2,公差d=2a2-1=3,S10=102+1093=155.即数列T(2)的前10项之和为155.(3)bi=ai+(i-1)(2ai-1)=(2i-1)ai-(i-1)=3(2i-1)()i-1-(i-1),Sn=45-(18n+27)()n-,
10、=-()n-. 当m=2时,=-;当m2时,=0,所以m=2.评述:本题是一道数列综合应用题,注意求解过程中的转化与化归.【例5】已知数列xn满足x1=x2=1,并且=(为非零参数,n=2,3,4,).(1)若x1、x3、x5成等比数列,求参数的值;(2)设01,常数kN*且k3,证明+(nN*).(1)解:由已知x1=x2=1,且=x3=,=x4=3,=x5=6. 若x1、x3、x5成等比数列,则=x1x5,即2=6,而0,解得=1.(2)证明:设an=,由已知,数列an是以=1为首项,为公比的等比数列,故=n-1,则=n+k-2n+k-3n-1=. 因此,对任意nN*,+=+2k+=(k+2k+nk)=. 当k3且01时,01,01-nk1, 所以+(nN*).评注:本小题以数列的递推关系为载体,主要考查等比数列的等比中项及前n项和公式、等差数列前n项和公式、不等式的性质及证明等基础知识,考查运算能力和推理论证能力.