1、高考导航 函数作为高中数学的基础内容之一，在各个知识间起到“中枢”的作用，其概念与性质在高考中，主要考查函数的表示方法(图象、解析式)、分段函数、单调区间、最值的求解，函数的奇偶性和周期性的判断，以及函数性质的综合运用等，试题的难度不大；函数的应用体现了新高考考查应用的理念，在高考中主要体现在函数零点个数的判断、零点取值范围、函数零点与函数图象、方程的解等问题上热点一 函数图象的识别与判断函数图象的识别与判断是近年高考考查的一个重要考点，高考命题者对其情有独钟因此，我们应当既能欣赏函数图象题的美丽，又能窥出他们的区别点，现一起走进函数图象的考题，欣赏他们迷人的“图景”，聚焦其识别与判断技巧【例
2、1】已知0a1，则函数f(x)ax与函数g(x)logax的图象在同一坐标系中可以是()答案 D探究提高 已知含参函数的解析式，判断其图象的关键是：根据函数解析式明确函数的定义域、值域，函数的单调性、奇偶性、周期性等性质，根据这些性质对函数图象进行具体分析判断，即可得出正确选项若能熟记基本初等函数的性质，则此类题目就不攻自破解析 因为 0a1，所以1a1，所以函数 f(x)ax1ax的图象过点(0，1)且单调递增，函数 g(x)logax 的图象过点(1，0)且单调递减故选 D.【训练 1】(2014潍坊二模)函数 y12|x1|的大致图象为()解析 因为 y12|x1|12x1，x1，2x1
3、，x1，所以图象为 B.答案 B热点二 函数性质的三个核心点函数的性质是基本初等函数最核心的知识，主要包括：函数的单调性、周期性、奇偶性、有界性，以及函数图象的对称性、函数的定义域和值域等对于函数性质问题，重在灵活运用，巧妙构建，便可实现函数问题的巧思妙解核心点 1 已知函数解析式求函数定义域【例 2】函数 f(x)109xx2lg（x1）的定义域为()A1，10 B1，2)(2，10C(1，10 D(1，2)(2，10答案 D解析 要使函数 f(x)有意义，则 x 需满足 109xx20，x10，lg（x1）0，即（x1）（x10）0，x1，x2，解得：1x10 且 x2.探究提高 已知函数
4、解析式求解函数定义域的关键在于把握函数解析式的结构特征，准确列出使得解析式的每一部分都有意义的不等式(组)，则不等式(组)的解集就是该函数的定义域常见求解函数定义域的问题主要包含三类式子：分式、根式、对数式求函数定义域时要注意：(1)分式的分母不为零；(2)偶次方根的被开方数非负；(3)对数的真数大于 0；(4)实际问题中的自变量必须符合实际意义等另外，还应注意指数式与正切式中自变量取值的限制条件，如零次幂的底数不为零；正切函数 ytan x 中，xk2(kZ)【训练 2】(2014珠海模拟)函数 y（x1）02x1 的定义域为_解析 由x10，2x10，得 x12，.答案 12，核心点 2
5、基本初等函数性质的判断【例 3】(2014福建卷)已知函数 f(x)x21，x0，cos x，x0，则下列结论正确的是()Af(x)是偶函数Bf(x)是增函数Cf(x)是周期函数Df(x)的值域为1，)解析 A 项，f2 cos2 0，而 f2 221244，显然 f2 f2，所以函数 f(x)不是偶函数，排除 A.B项，当x0时，函数f(x)单调递增，而f(x)cos x在区间(2，)上单调递减，故函数f(x)不是增函数，排除B.C项，当x0时，f(x)x21(1，)，对任意的非零实数T，f(xT)f(x)均不成立，故该函数不是周期函数，排除C.D项，当x0时，f(x)x21(1，)；当x0
6、时，f(x)cos x1，1故函数f(x)的值域为1，1(1，)，即1，)，所以该项正确，选D.答案 D探究提高(1)函数单调性的实质就是自变量与函数值的变化是否同向判断函数单调性的方法主要有：定义法、导数法和图象法，而判断复合函数单调性主要依据同增异减的规律(2)判断函数奇偶性主要是利用定义法，即先判断其定义域是否关于原点对称，然后判断f(x)与f(x)的关系，若两者相等，则为偶函数；若两者互为相反数，则为奇函数(3)若f(x)为周期函数，则存在非零常数T，使得f(xT)f(x)对定义域内的每一个自变量x都成立答案 C【训练 3】(2014山东实验中学诊断)下列函数中，在其定义域内，既是奇函
7、数又是减函数的是()Af(x)1xBf(x)xCf(x)2x2xDf(x)tan x解析 f(x)1x在定义域上是奇函数，但不单调；f(x)x为非奇非偶函数；f(x)tan x 在定义域上是奇函数，但不单调 核心点3 函数性质的综合应用【例4】(1)(2014新课标全国卷)已知偶函数f(x)在0，)单调递减，f(2)0.若f(x1)0，则x的取值范围是_(2)已知函数 f(x)为定义在 R 上的奇函数，对任意 xR，都有 f x32 f(x)，且当 x0，32 时，f(x)log2(2x1)，则 f(2 015)f(2 013)_审题流程(1)一审：抓住f(2)0，代换为f(x1)f(2)二审
8、：利用偶函数的性质，将不等式转化三审：利用函数f(x)在0，)上的单调性转化为自变量之间的大小关系求解(2)一审：求函数的周期二审：利用周期转化求函数值三审：求f(0)？f(2)？解析(1)因为f(x)为偶函数，所以f(x)f(x)f(|x|)，故不等式f(x1)0可化为f(|x1|)0.因为f(x)在0，)上单调递减，且f(2)0，所以|x1|2，即2x12，解得1x3.所以x的取值范围是(1，3)(2)因为函数f(x)为奇函数且f(0)有定义，故f(0)0，且f(2 015)f(2 015)即f(2 015)1，故f(2 015)1.综上，f(2 015)f(2 013)101.答案(1)
9、(1，3)(2)1当 x0 时，fx32 f(x)，得 f(x3)f(x)，即 T3，可得 f(2 015)f(36712)f(2)，f(2 013)f(3671)f(0)由已知 f(0)0，而 f(2)f 1232 f 12，又 f 12 log22121 log221，所以 f(2)f 12 1，探究提高 函数性质的综合应用主要包括利用函数性质求值、解不等式与比较大小三个方面：求值的关键是利用函数的奇偶性、对称性以及函数的周期性将自变量转化到指定区间内，然后代入函数解析式求值；解不等式问题主要利用函数的奇偶性与单调性等将函数值的大小转化为自变量之间的大小关系求解；比较大小问题主要利用奇偶性
10、、周期性、对称性把要比较的几个值转化到同一区间上或对称区间上，再利用函数的单调性解决【训练 4】已知 f(x)是定义在(，)上的偶函数，且在(，0上是增函数，设 af(log47)，bf(log123)，cf(0.20.6)，则 a，b，c 的大小关系是()AcabBcbaCbcaDabc又 f(x)是定义在(，)上的偶函数，且在(，0上是增函数，故 f(x)在0，)上是单调递减的，f(0.20.6)f(log123)f(log47)，即 cba.答案 B热点三 函数与方程的求解问题函数的零点与方程的解、函数图象等问题密切相关，该部分的重点主要包括以下四个方面：(1)函数零点所在区间的确定；(
11、2)函数零点个数的判断；(3)函数零点近似值的求解；(4)由函数零点所在范围或函数零点个数求解参数的取值范围等在高考试题中多作为选择题或填空题进行考查，难度中等偏下【例 5】已知函数 f(x)2x1，x0，f（x1），x0，若方程 f(x)xa 有且只有两个不相等的实数根，则实数 a 的取值范围是()A(，0 B0，1)C(，1)D0，)解析 函数 f(x)2x1，x0，f（x1），x0的图象如图所示，当a1 时，函数 yf(x)的图象与函数 yxa 的图象有两个交点，即方程 f(x)xa 有且只有两个不相等的实数根 答案 C探究提高 解决分段函数与函数零点的综合问题的关键在于“对号入座”，即
12、根据分段函数中自变量取值范围的界定，代入相应的解析式求解零点，注意取值范围的大前提，以及函数性质和数形结合在判断零点个数时的强大功能【训练 5】(1)(2015合肥模拟)函数 f(x)1xlog2x 的一个零点落在区间()A(0，1)B(1，2)C(2，3)D(3，4)(2)函数 f(x)x1212x的零点个数为()A0 B1 C2 D3解析(1)f(1)10，故其中一个零点会落在(1，2)内(2)f(x)x1212x的零点，即令 f(x)0.根据此题可得 x1212x，在平面直角坐标系中分别画出幂函数 yx12和指数函数 y12x的图象，可得交点只有一个，所以零点只有一个 答案(1)B(2)B
