1、3.1.2 空间向量的数乘运算内 容 标 准学 科 素 养1.掌握空间向量数乘运算的定义及运算律2.理解向量共线、向量共面的定义3.掌握共线向量定理和共面向量定理，会证明空间三点共线、四点共面.提升逻辑推理发展直观想象01 课前 自主预习02 课堂 合作探究03 课后 讨论探究04 课时 跟踪训练基础认识知识点一 空间向量的数乘运算预习教材P8687，思考并完成以下问题平面向量的数乘运算是什么？满足哪些运算律？提示：(1)实数 和向量 a 的乘积仍是一个向量(2)|a|a|.(3)a 的方向当 0 时，a 的方向与 a 方向相同；当 0方向0a0，其方向是任意的0方向a 的模是 a 的模的倍向
2、量相同相反|(3)空间向量的数乘运算律若，是实数，a，b 是空间向量，则有分配律：(ab)；()a；结合律：(a).abaa()a知识点二 共线向量与共面向量思考并完成以下问题(1)在学习平面向量时，共线向量是怎样定义的？如何规定 0 与任何向量的关系？提示：方向相同或相反的两向量称为共线向量；0 与任何向量是共线向量(2)对空间任意两个向量 a 与 b，如果 ab，a 与 b 有什么位置关系？反过来，a 与 b有什么位置关系时，ab?提示：类似于平面向量共线的充要条件，对空间任意两个向量 a，b(b0)，ab 的充要条件是存在实数，使 ab(b0)(3)对空间任意两个不共线的向量 a，b，如
3、果 pxayb，那么向量 p 与向量 a，b 有什么位置关系？反过来，向量 p 与向量 a，b 有什么位置关系时，pxayb?提示：如果两个向量 a，b 不共线，那么向量 p 与向量 a，b 共面的充要条件是存在惟一的有序实数对(x，y)，使 pxayb.知识梳理 共线向量与共面向量共线(平行)向量共面向量定义表示空间向量的有向线段所在的直线，则这些向量叫做共线向量或平行向量平行于的向量叫做共面向量充要条件对于空间任意两个向量 a，b(b0)，ab 的充要条件是存在实数 使若两个向量 a，b 不共线，则向量 p与 a，b 共面的充要条件是存在唯一的有序实数对(x，y)，使pxayb互相平行或重
4、合同一平面ab共线(平行)向量共面向量推论如果 l 为经过点 A 且平行于已知非零向量 a 的直线，那么对于空间任一点 O，点 P 在直线 l上的充要条件是存在实数 t，使OP OA ta，其中 a 叫做直线 l 的方向向量，如图所示若在 l 上取AB a，则式可化为OP OA tAB如图，空间一点 P 位于平面MAB 内的充要条件是存在有序实数对(x，y)，使MP xMA yMB 或对空间任意一点 O 来说，有OP OM xMA yMB自我检测1已知空间四边形 ABCD，M，G 分别是 BC，CD 的中点，连接 AM，AG，MG，则AB 12(BD BC)等于()A.AG B.CGC.BCD
5、.12BC答案：A2满足下列条件，能说明空间不重合的 A，B，C 三点共线的是()A.AB BC ACB.AB BC ACC.AB BCD|AB|BC|答案：C3对于空间的任意三个向量 a，b,2ab，它们一定是()A共面向量B共线向量C不共面向量D既不共线也不共面的向量答案：A探究一 空间向量的数乘运算 教 材P89练 习2 如 图，已 知 正 方 体ABCD-ABCD，点 E，F 分别是上底面 AC和侧面 CD的中心求下列各式中 x，y 的值：(1)AC x(AB BC CC)；(2)AE AA xAB yAD；(3)AF AD xAB yAA.解析：(1)在正方体中，AC AB BC C
6、C，x1.(2)AE AA 12ACAA 12AC AA 12(AB AD)xy12.(3)AF AD DF AD 12DC AD 12(DD DC)AD 12AA 12AB，xy12.例 1 已知 ABCD 为正方形，P 是 ABCD 所在平面外的一点，P 在平面 ABCD 上的射影恰好是正方形 ABCD 的中心 O，Q 是 CD 的中点，求下列各式中 x，y 的值(1)OQ PQ xPCyPA；(2)PAxPO yPQ PD.解析(1)如图所示，OQ PQ OP，由向量加法的平行四边形法则可得PO 12(PCPA)，OP 12PC12PA，OQ PQ OPPQ 12PC12PA.x12，y
7、12.(2)PAPD DA PD 2QOPD 2(PO PQ)PD 2PO 2PQ.x2，y2.方法技巧 1.对向量进行分解或对向量表达式进行化简时，要准确运用空间向量加法、减法的运算法则，要熟悉数乘向量运算的几何意义，同时还要注意将相关向量向选定的向量进行转化2在ABC 中，若 D 为 BC 边的中点，则AD 12(AB AC)，这一结论可视为向量形式的中点公式，应用非常广泛，应熟练掌握跟踪探究 1.如图所示，在平行六面体 ABCD-A1B1C1D1 中，O 为AC 的中点(1)化简：A1O 12AB 12AD；(2)设 E 是棱 DD1 上的点，且DE 23DD1，若EO xAB yAD
8、zAA1，试求实数 x，y，z 的值解析：(1)A1O 12(AB AD)A1O AO A1A.(2)EO AO AE 12(AB AD)AD 23AA112AB 12AD 23AA1，所以 x12，y12，z23.探究二 空间共线向量定理及其应用教材P99习题3.1B组2题改编如图，已知空间四边形 OABC中，OAOB，CACB，点 E，F，G，H 分别是 OA，OB，BC，CA 的中点求证：四边形 EFGH 是平行四边形证明：E，F，G，H 分别为 OA，OB，BC，CA 的中点，OE 12OA，OF 12OB，CG 12CB，CH 12CA.AB OB OA 2OF 2OE2(OF OE
9、)2EF，ABEF，且|AB|2|EF|.同理 HGAB，且|AB|2|HG|，四边形 EFGH 是平行四边形例 2 如图所示，在正方体 ABCD-A1B1C1D1 中，点 E 在 A1D1 上，且A1E 2ED1，点 F 在对角线 A1C 上，且A1F 23FC.求证：E，F，B 三点共线证明 设AB a，AD b，AA1 c.因为A1E 2ED1，A1F 23FC，所以A1E 23A1D1，A1F 25A1C，所以A1E 23AD 23b，A1F 25(AC AA1)25(AB AD AA1)25a25b25c.所以EF A1F A1E 25a 415b25c25a23bc.又EB EA1
10、 A1A AB 23bcaa23bc，所以EF 25EB.因为EF 与EB 有公共点 E，所以 E，F，B 三点共线方法技巧 1.本题利用向量的共线证明了线线平行，解题时应注意向量共线与两直线平行的区别2判断或证明两向量 a，b(b0)共线，就是寻找实数，使 ab 成立，为此常结合题目图形，运用空间向量的线性运算法则将目标向量化简或用同一组向量表达跟踪探究 2.如图所示，已知四边形 ABCD，ABEF 都是平行四边形且不共面，M，N 分别是 AC，BF 的中点，判断CE 与MN 是否共线解析：M，N 分别是 AC，BF 的中点，且四边形 ABCD，ABEF 都是平行四边形，MN MA AF F
11、N 12CA AF 12FB.又MN MC CE EB BN12CA CE AF 12FB，2MN 12CA AF 12FB 12CA CE AF 12FB CE，即CE 2MN.CE 与MN 共线探究三 空间共面向量定理及其应用阅读教材 P88例 1如图，已知平行四边形 ABCD，过平面 AC 外一点 O 作射线 OA，OB，OC，OD，在四条射线上分别取点 E，F，G，H，并且使OEOAOFOBOGOCOHODk，求证：E，F，G，H 四点共面题型：空间四点共面的判定方法步骤：(1)由数乘运算表示出向量OE，OF，OG，OH.(2)由向量减法运算得出EG.(3)由AB、AC、AD 的关系得
12、出EG、EF、EH 的关系，从而判定 E，F，G，H 四点共面例 3 已知 A，B，C 三点不共线，平面 ABC 外的一点 M 满足OM 12OA 13OB 16OC.(1)判断MA，MB，MC 三个向量是否共面；(2)判断点 M 是否在平面 ABC 内解析(1)因为OM 12OA 13OB 16OC，所以 6OM 3OA 2OB OC，所以 3OA 3OM(2OM 2OB)(OM OC)，因此 3MA 2BM CM 2MB MC.故向量MA，MB，MC 共面(2)由(1)知向量MA，MB，MC 共面，三个向量又有公共点 M，故 M，A，B，C 共面，即点 M 在平面 ABC 内方法技巧 1.
13、证明空间三个向量共面，常用如下方法：(1)设法证明其中一个向量可以表示成另两个向量的线性组合，即若 axbyc，则向量 a，b，c 共面；(2)寻找平面，证明这些向量与平面 平行2对空间四点 P，M，A，B 可通过证明下列结论成立来证明四点共面：(1)MP xMA yMB；(2)对空间任一点 O，OP OM xMA yMB；(3)PM AB(或PAMB，或PB AM)跟踪探究 3.已知 A，B，M 三点不共线，对于平面 ABM 外的任意一点 O，确定在下列条件下，点 P 是否与 A，B，M 一定共面(1)OM OB 3OP OA；(2)OP 4OA OB OM.解析：(1)OM OB 3OP
14、OA，OP OM(OA OP)(OB OP)OM PAPB，OP OM PAPB，MP PAPB，MP，PA，PB为共面向量，P 与 A，B，M 共面(2)OP 2OA(OA OB)(OA OM)2OA BA MA，根据空间向量共面的推论，点 P 位于平面 ABM 内的充要条件是OP OA xBA yMA，P 与 A，B，M 不共面课后小结利用向量的数乘运算可以判定两个向量共线、三个向量共面问题，进而解决几何中的点共线、点共面、线面平行等问题素养培优混淆共面向量与共线向量的相关结论致误已知 e1，e2 是两个非零空间向量，如果AB e12e2，AC 3e14e2，AD e18e2，则下列结论正确的是()AA，B，C，D 四点共线BA，B，C，D 四点共面CA，B，C，D 不一定共面D无法确定 A，B，C，D 四点的位置关系易错分析 由已知条件，AC 与AD 不共线，且AC AD 2e14e22(e12e2)2AB，由此得(AC AD)AB.若设AC AD AE，则 A，B，E 三点共线，并不是 A，B，C，D 四点共线考查逻辑推理的学科素养自我纠正 因为AC AD 2e14e22(e12e2)2AB，即AB 12AC 12AD，所以由共面向量定理可知AB，AC，AD 三个向量共面又因为 A 是公共点，所以 A，B，C，D 四点共面，故选 B.答案：B04 课时 跟踪训练
