1、第四章 平面向量、数系的扩充与复数的引入第三节 平面向量的数量积(1)(2015课标全国卷)向量(1,1),b(1,2),则(2b)()A1 B0 C1 D2(2)已知正方形,ABCD 的边长为 1,点 E 是 AB 边上的动点,则DE CB 的值为_;DE DC 的最大值为_解析:(1)法一(1,1),b(1,2),22,b3,从而(2b)22b431.法二(1,1),b(1,2),2b(2,2)(1,2)(1,0),从而(2b)(1,0)(1,1)1,故选 C.(2)如图所示,以 AB,AD 所在的直线分别为 x 轴和 y 轴建立平面直角坐标系,由于正方形边长为 1,故 B(1,0),C(
2、1,1),D(0,1)又 E 在 AB 边上,故设 E(t,0)(0t1)则DE(t,1),CB(0,1)故DE CB 1.又DC(1,0),DE DC(t,1)(1,0)t,且 0t1.DE DC 的最大值为 1.答案:(1)C(2)111求两个向量的数量积有三种方法:利用定义;利用向量的坐标运算;利用数量积的几何意义 2(1)要有“基底”意识,关键用基向量表示题目中所求相关向量(2)注意向量夹角的大小,以及夹角0,90,180三种特殊情形【变式训练】(1)(2015广东卷)在平面直角坐标系 xOy中,已知四边形 ABCD 是平行四边形,AB(1,2),AD(2,1),则AD AC()A5
3、B4 C3 D2(2)(2016课标全国卷)设向量 a(m,1),b(1,2),且|ab|2|a|2|b|2,则 m_解析:(1)由四边形 ABCD 为平行四边形,知AC AB AD(3,1),故AD AC(2,1)(3,1)5.(2)先化简|ab|2|a|2|b|2,再利用向量数量积的坐标运算公式求解|ab|2|a|2|b|22ab|a|2|b|2,ab0.又 a(m,1),b(1,2),m20,m2.答案:(1)A(2)2(1)(2015福建卷)设(1,2),b(1,1),ckb.若 bc,则实数 k 的值等于()A32B53C.53D.32(2)若向量,b 满足:|1,(b),(2b)b
4、,则|b|()A2 B.2C1 D.22解析:(1)ckb(1k,2k),又 bc,所以 1(1k)1(2k)0,解得 k32.(2)(b),|1,(b)0,|2b0,b1.又(2b)b,(2b)b0.2b|b|20.|b|22.|b|2.答案:(1)A(2)B1非零向量垂直的充要条件:bb0|b|b|x1x2y1y20.2(1)bb0 是对非零向量而言的,若0 时,b0,但不能说b.(2)bb0,体现了“形”与“数”的转化,可解决几何问题中的线线垂直问题 已知向量AB 与AC 的夹角为 120,且|AB|3,|AC|2.若AP AB AC,且AP BC,求实数 的值解:BC AC AB,AP
5、 AB AC,又AP BC,AP BC 0.则(AB AC)(AC AB)(1)AB AC AB 2AC 20,(1)3212 940,因此 712.(1)(2017广州一模)已知|a|1,|b|2,且 a(ab),则向量 a 与向量 b 的夹角是_(2)(2016衡水中学月考)已知平面向量 m,n 的夹角为6,且|m|3,|n|2,在ABC 中,AB 2m2n,AC2m6n,D 为 BC 的中点,则|AD|()A2 B4 C6 D8解析:(1)本题主要考查向量的线性运算由已知a(ab),可得 a(ab)0,即|a|2|a|b|cosa,b,代入|a|1,|b|2可得,cosa,b 22,所以
6、向量 a与向量 b 的夹角是4.(2)由题意得AD 12(AB AC)2(mn),所以|AD|2(mn)22m2n22mn 2 3422 3 32 2.答案:(1)4 (2)A(2)(2016衡水中学月考)已知平面向量 m,n 的夹角为6,且|m|3,|n|2,在ABC 中,AB 2m2n,AC 2m6n,D 为BC 的中点,则|AD|()A2 B4 C6 D8解析:由题意得AD 12(AB AC)2(mn),所以|AD|2(mn)22 m2n22mn 23422 3 32 2.答案:A1在进行向量模与夹角的计算时,关键是求出向量的数量积,注意避免错用公式如2|2 是正确的,而b|b|和|b|
7、b|都是错误的 2(1)研究向量的夹角应注意“共起点”;(2)两个非零共线向量的夹角分别是 0与 180;(3)求向量的长度,进而可解决平面上两点间的距离,求线段的长度问题(1)已知向量(1,3),b(3,m)若向量,b 的夹角为6,则实数 m()A2 3B.3C0 D 3(2)已知平面向量 a,b 的夹角为 120,且b1,则|b|的最小值为()A.6B.3C.2D1解析:(1)cos,b b|b|,cos6 3 3m2 32m2,解得 m 3.(2)由题意可知:1b|b|cos120,所以 2|b|2|b|22,即|2|b|24.|b|222bb22b22426,所以|b|6.答案:(1)B(2)A