1、第四章 平面向量、数系的扩充与复数的引入第三节 平面向量的数量积(1)(2015课标全国卷)向量(1，1)，b(1，2)，则(2b)()A1 B0 C1 D2(2)已知正方形，ABCD 的边长为 1，点 E 是 AB 边上的动点，则DE CB 的值为_；DE DC 的最大值为_解析：(1)法一(1，1)，b(1，2)，22，b3，从而(2b)22b431.法二(1，1)，b(1，2)，2b(2，2)(1，2)(1，0)，从而(2b)(1，0)(1，1)1，故选 C.(2)如图所示，以 AB，AD 所在的直线分别为 x 轴和 y 轴建立平面直角坐标系，由于正方形边长为 1，故 B(1，0)，C(
2、1，1)，D(0，1)又 E 在 AB 边上，故设 E(t，0)(0t1)则DE(t，1)，CB(0，1)故DE CB 1.又DC(1，0)，DE DC(t，1)(1，0)t，且 0t1.DE DC 的最大值为 1.答案：(1)C(2)111求两个向量的数量积有三种方法：利用定义；利用向量的坐标运算；利用数量积的几何意义 2(1)要有“基底”意识，关键用基向量表示题目中所求相关向量(2)注意向量夹角的大小，以及夹角0，90，180三种特殊情形【变式训练】(1)(2015广东卷)在平面直角坐标系 xOy中，已知四边形 ABCD 是平行四边形，AB(1，2)，AD(2，1)，则AD AC()A5
3、B4 C3 D2(2)(2016课标全国卷)设向量 a(m，1)，b(1，2)，且|ab|2|a|2|b|2，则 m_解析：(1)由四边形 ABCD 为平行四边形，知AC AB AD(3，1)，故AD AC(2，1)(3，1)5.(2)先化简|ab|2|a|2|b|2，再利用向量数量积的坐标运算公式求解|ab|2|a|2|b|22ab|a|2|b|2，ab0.又 a(m，1)，b(1，2)，m20，m2.答案：(1)A(2)2(1)(2015福建卷)设(1，2)，b(1，1)，ckb.若 bc，则实数 k 的值等于()A32B53C.53D.32(2)若向量，b 满足：|1，(b)，(2b)b
4、，则|b|()A2 B.2C1 D.22解析：(1)ckb(1k，2k)，又 bc，所以 1(1k)1(2k)0，解得 k32.(2)(b)，|1，(b)0，|2b0，b1.又(2b)b，(2b)b0.2b|b|20.|b|22.|b|2.答案：(1)A(2)B1非零向量垂直的充要条件：bb0|b|b|x1x2y1y20.2(1)bb0 是对非零向量而言的，若0 时，b0，但不能说b.(2)bb0，体现了“形”与“数”的转化，可解决几何问题中的线线垂直问题 已知向量AB 与AC 的夹角为 120，且|AB|3，|AC|2.若AP AB AC，且AP BC，求实数 的值解：BC AC AB，AP
5、 AB AC，又AP BC，AP BC 0.则(AB AC)(AC AB)(1)AB AC AB 2AC 20，(1)3212 940，因此 712.(1)(2017广州一模)已知|a|1，|b|2，且 a(ab)，则向量 a 与向量 b 的夹角是_(2)(2016衡水中学月考)已知平面向量 m，n 的夹角为6，且|m|3，|n|2，在ABC 中，AB 2m2n，AC2m6n，D 为 BC 的中点，则|AD|()A2 B4 C6 D8解析：(1)本题主要考查向量的线性运算由已知a(ab)，可得 a(ab)0，即|a|2|a|b|cosa，b，代入|a|1，|b|2可得，cosa，b 22，所以
6、向量 a与向量 b 的夹角是4.(2)由题意得AD 12(AB AC)2(mn)，所以|AD|2（mn）22m2n22mn 2 3422 3 32 2.答案：(1)4 (2)A(2)(2016衡水中学月考)已知平面向量 m，n 的夹角为6，且|m|3，|n|2，在ABC 中，AB 2m2n，AC 2m6n，D 为BC 的中点，则|AD|()A2 B4 C6 D8解析：由题意得AD 12(AB AC)2(mn)，所以|AD|2（mn）22 m2n22mn 23422 3 32 2.答案：A1在进行向量模与夹角的计算时，关键是求出向量的数量积，注意避免错用公式如2|2 是正确的，而b|b|和|b|
7、b|都是错误的 2(1)研究向量的夹角应注意“共起点”；(2)两个非零共线向量的夹角分别是 0与 180；(3)求向量的长度，进而可解决平面上两点间的距离，求线段的长度问题(1)已知向量(1，3)，b(3，m)若向量，b 的夹角为6，则实数 m()A2 3B.3C0 D 3(2)已知平面向量 a，b 的夹角为 120，且b1，则|b|的最小值为()A.6B.3C.2D1解析：(1)cos，b b|b|，cos6 3 3m2 32m2，解得 m 3.(2)由题意可知：1b|b|cos120，所以 2|b|2|b|22，即|2|b|24.|b|222bb22b22426，所以|b|6.答案：(1)B(2)A