1、题组层级快练(六十六)1抛物线y4x2的焦点到准线的距离是()A.B.C. D1答案A解析由x2y，知p，所以焦点到准线的距离为p.2过点P(2,3)的抛物线的标准方程是()Ay2x或x2yBy2x或x2yCy2x或x2yDy2x或x2y答案A解析设抛物线的标准方程为y2kx或x2my，代入点P(2,3)，解得k，m，y2x或x2y，选A.3已知点P是抛物线y22x上的动点，点P到准线的距离为d，且点P在y轴上的射影是M，点A(，4)，则|PA|PM|的最小值是()A. B4C. D5答案C解析设抛物线y22x的焦点为F，则F(，0)又点A(，4)在抛物线的外侧，抛物线的准线方程为x，则|PM
2、|d.又|PA|d|PA|PF|AF|5，所以|PA|PM|.4等轴双曲线C的中心在原点，焦点在x轴上，C与抛物线y216x的准线交于A，B两点，|AB|4，则C的实轴长为()A. B2C4 D8答案C解析设双曲线的方程为1，抛物线的准线为x4，且|AB|4，故可得A(4,2)，B(4，2)，将点A的坐标代入双曲线方程得a24，故a2.故实轴长为4.5(2015甘肃天水期末)以坐标轴为对称轴，原点为顶点，且过圆x2y22x6y90圆心的抛物线方程是()Ay3x2或y3x2 By3x2Cy29x或y3x2 Dy3x2或y29x答案D解析易知圆x2y22x6y90的圆心坐标为(1，3)，当抛物线的
3、焦点在x轴上时，设抛物线方程为y2mx，将(1，3)代入得m9，所以抛物线方程为y29x；当抛物线的焦点在y轴上时，设抛物线的方程为x2ny，将(1，3)代入得n，所以抛物线方程为y3x2.综上知，所求抛物线方程为y3x2或y29x.6(2015山东烟台期末)已知直线l过抛物线y24x的焦点F，交抛物线于A，B两点，且点A，B到y轴的距离分别为m，n，则mn2的最小值为()A4 B6C4 D6答案C解析抛物线y24x的焦点F(1,0)，准线方程为x1，由于直线l过抛物线y24x的焦点F，交抛物线于A，B两点，且点A，B到y轴的距离分别为m，n，所以由抛物线的定义得mn2|AB|，其最小值即为通
4、径长2p4.故选C.7(2015吉林长春调研测试)已知直线l1：4x3y60和直线l2：x1，抛物线y24x上一动点P到直线l1和直线l2的距离之和的最小值是()A. B2C. D3答案B解析由题可知l2：x1是抛物线y24x的准线，设抛物线的焦点为F(1,0)，则动点P到l2的距离等于|PF|，则动点P到直线l1和直线l2的距离之和的最小值，即焦点F到直线l1：4x3y60的距离，所以最小值是2，故选B.8(2015湖北武汉调研)已知O为坐标原点，F为抛物线C：y24x的焦点，P为C上一点，若|PF|4，则POF的面积为()A2 B2C2 D4答案C解析设点P(x0，y0)，则点P到准线x的
5、距离为x0.由抛物线定义，得x04，x03，则|y0|2.故POF的面积为22.9点A是抛物线C1：y22px(p0)与双曲线C2：1(a0，b0)的一条渐近线的交点，若点A到抛物线C1的准线的距离为p，则双曲线C2的离心率等于()A. B.C. D.答案C解析求抛物线C1：y22px(p0)与双曲线C2：1(a0，b0)的一条渐近线的交点为解得所以，c25a2，e，故选C.10(2013新课标全国理)设抛物线C：y22px(p0)的焦点为F，点M在C上，|MF|5，若以MF为直径的圆过点(0,2)，则C的方程为()Ay24x或y28x By22x或y28xCy24x或y216x Dy22x或
6、y216x答案C解析方法一：设点M的坐标为(x0，y0)，由抛物线的定义，得|MF|x05，则x05.又点F的坐标为(，0)，所以以MF为直径的圆的方程为(xx0)(x)(yy0)y0.将x0，y2代入得px084y00，即4y080，所以y04.由y2px0，得162p(5)，解之得p2或p8.所以C的方程为y24x或y216x.故选C.方法二：由已知得抛物线的焦点F(，0)，设点A(0,2)，抛物线上点M(x0，y0)，则(，2)，(，y02)由已知得，0，即y8y0160，因而y04，M(，4)由抛物线定义可知：|MF|5.又p0，解得p2或p8，故选C.11(2015河南许昌一模)设抛
7、物线的顶点在原点，准线方程为x2，则抛物线的方程为_答案y28x解析设抛物线方程为y22px(p0)，因为准线方程为x2，p4.故抛物线方程为y28x.12(2015黑龙江大庆一模)已知圆x2y2mx0与抛物线y24x的准线相切，则m_.答案解析圆x2y2mx0圆心为(，0)，半径r，抛物线y24x的准线为x1.由|1|，得m.13.右图是抛物线形拱桥，当水面在l时，拱顶离水面2米，水面宽4米水位下降1米后，水面宽_米答案2解析建立如图所示的平面直角坐标系，设抛物线的方程为x22py(p0)，由点(2，2)在抛物线上，可得p1，则抛物线方程为x22y.当y3时，x，所以水面宽为2 米14(20
8、15衡水调研)抛物线y22px(p0)的焦点为F，其准线经过双曲线1(a0，b0)的左顶点，点M为这两条曲线的一个交点，且|MF|2p，则双曲线的离心率为_答案解析设点M在第一象限，|MF|2p，M的坐标为(p，p)又准线经过双曲线的左顶点，a.双曲线方程为1.将点M代入可得b2p2.e211.e.15(2015北京顺义一模)已知抛物线y22px(p0)的焦点为F，准线为l，P为抛物线上一点，PAl，垂足为A.如果APF是边长为4的正三角形，那么此抛物线的焦点坐标为_，点P的横坐标xP_.答案(1,0)，3解析如图所示设P(，y0)，则|PA|4.又在RtAMF中，AFMFAP60，故tanA
9、FM.联立式，得p2，|y0|2.故焦点坐标为(1,0)，点P的横坐标为x3.16抛物线y22px(p0)有一个内接直角三角形，直角顶点是原点，一条直角边所在直线方程为y2x，斜边长为5，求此抛物线方程答案y24x解析设抛物线y22px(p0)的内接直角三角形为AOB，直角边OA所在直线方程为y2x，另一直角边所在直线方程为yx.解方程组可得点A的坐标为；解方程组可得点B的坐标为(8p，4p)|OA|2|OB|2|AB|2，且|AB|5，(64p216p2)325.p2，所求的抛物线方程为y24x.17(2015河北唐山模拟)已知抛物线E：y22px(p0)的准线与x轴交于点M，过点M作圆C：
10、(x2)2y21的两条切线，切点为A，B，|AB|.(1)求抛物线E的方程；(2)过抛物线E上的点N作圆C的两条切线，切点分别为P，Q，若P，Q，O(O为原点)三点共线，求点N的坐标答案(1)y24x(2)(，)或(，)解析(1)由已知得M(，0)，C(2,0)设AB与x轴交于点R，由圆的对称性可知，|AR|.于是|CR|.所以|CM|3.即23，p2.故抛物线E的方程为y24x.(2)设N(s，t)P，Q是以NC为直径的圆D与圆C的两交点圆D方程为(x)2(y)2，即x2y2(s2)xty2s0.又圆C方程为x2y24x30，得(s2)xty32s0.P，Q两点坐标是方程和的解，也是方程的解
11、，从而为直线PQ的方程因为直线PQ经过点O，所以32s0，s.故点N坐标为(，)或(，)过点M(2，2p)作抛物线x22py(p0)的两条切线，切点分别为A，B，若线段AB中点的纵坐标为6，求抛物线方程答案x22y或x24y解析x22py变形为yx2，y.设A(x1，y1)，B(x2，y2)，y|xx1.切线AM方程为yy1(xx1)即yx.同理BM方程为yx.又(2，2p)在两条直线上，2p，2p.x1，x2是方程2p0的两根即x24x4p20.x1x24，x1x24p2.y1y2(xx)(x1x2)22x1x2(168p2)又线段AB中点纵坐标为6，y1y212，即(168p2)12.解得p1或p2.抛物线方程为x22y或x24y.
