1、2003年普通高等学校招生全国统一考试数 学(文史类)(北京卷)第卷(选择题 共50分)参考公式:三角函数的积化和差公式: 正棱台、圆台的侧面积公式 其中、分别表示上、下底面周长,表示斜高或母线长. 球体的体积公式:,其中R表示球的半径.一、选择题:本大题共10小题,每小题5分,共50分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合要求的.1设集合等于( )ABCD2设,则( )Ay3y1y2By2y1y3Cy1y2y3Dy1y3y23“”是“”的( )A必要非充分条 B充分非必要条件 C充分必要条件 D既非充分又非必要条件4已知,是平面,m,n是直线.下列命题中不正确的是( ) A若m,=n,则
2、m/nB若mn,=n,则nC若m,m,则D若m,则5如图,直线过椭圆的左焦点F1和 一个顶点B,该椭圆的离心率为( )A BC D6若且的最小值是( )A2B3C4D57如果圆台的母线与底面成60角,那么这个圆台的侧面积与轴截面面积的比为( )ABCD8若数列的通项公式是,则等于( )ABCD9从黄瓜、白菜、油菜、扁豆4种蔬菜品种中选出3种,分别种在不同土质的三块土地上,其中黄瓜必须种植,不同的种植方法共有( )A24种B18种C12种D6种10某班试用电子投票系统选举班干部候选人.全班k名同学都有选举权和被选举权,他们的编号分别为1,2,k,规定:同意按“1”,不同意(含弃权)按“0”,令
3、其中i=1,2,k,且j=1,2,k,则同时同意第1,2号同学当选的人数为( )ABCD第卷(非选择题 共100分)二、填空题:本大题共4小题,每小题4分,共16分,把答案填在题中横线上.11已知某球体的体积与其表面积的数值相等,则此球体的半径为 .12函数中, 是偶函数.13以双曲线右顶点为顶点,左焦点为焦点的抛物线的方程是 14将长度为1的铁丝分成两段,分别围成一个正方形和一个圆形,要使正方形与圆的面积之和最小,正方形的周长应为 .三、解答题:本大题共6小题,共84分.解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤.15(本小题满分13分)已知函数 ()求的最小正周期; ()求的最大值、最小值.1
4、6(本小题满分13分)已知数列是等差数列,且 ()求数列的通项公式; ()令求数列前n项和的公式.17(本小题满分15分) 如图,正三棱柱ABCA1B1C1中,D是BC的中点,AB=a. ()求证:直线A1DB1C1; ()求点D到平面ACC1的距离; ()判断A1B与平面ADC的位置关系,并证明你的结论.18(本小题满分15分) 如图,A1,A为椭圆的两个顶点,F1,F2为椭圆的两个焦点. ()写出椭圆的方程及准线方程; ()过线段OA上异于O,A的任一点K作OA的垂线,交椭圆于P,P1两点,直线 A1P与AP1交于点M. 求证:点M在双曲线上.19(本小题满分14分) 有三个新兴城镇,分别
5、位于A,B,C三点处,且AB=AC=13km,BC=10km.今计划合建一个中心医院,为同时方便三镇,准备建在BC的垂直平分线上的P点处,(建立坐标系如图) ()若希望点P到三镇距离的平方和为最小, 点P应位于何处? ()若希望点P到三镇的最远距离为最小,点P应位于何处?20(本小题满分14分) 设是定义在区间上的函数,且满足条件: (i) (ii)对任意的 ()证明:对任意的 ()判断函数是否满足题设条件; ()在区间1,1上是否存在满足题设条件的函数,且使得对任意的 若存在,请举一例:若不存在,请说明理由.2003年普通高等学校招生全国统一考试数学试题(文史类)(北京卷)参考解答一、选择题
6、:本题考查基本知识和基本运算. 每小题5分,满分50分.1A 2D 3A 4A 5D 6B 7C 8B 9B 10C二、填空题:本题考查基本知识和基本运算.每小题4分,满分16分.113 12 13 14三、解答题:本大题共6小题,共84分.解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤.15本小题主要考查三角函数的倍角、和角公式,以及三角函数的性质等基本知识,考查运算能力,满分13分. ()解:因为所以的最小正周期()解:因为所以的最大值为,最小值为16本小题主要考查等差、等比数列等基本知识,考查综合运用数学知识和方法解决问题的能力.满分13分. ()解:设数列公差为,则 又所以()解:由得 将式减
7、去式,得 所以17本小题主要考查直线与平面的位置关系,正棱柱的性质,棱锥的体积等基本知识,考查空间想象能力和逻辑推理能力. 满分15分.()证法一:点D是正ABC中BC边的中点,ADBC,又A1A底面ABC,A1DBC ,BCB1C1,A1DB1C1. 证法二:连结A1C1,则A1C=A1B. 点D是正A1CB的底边中BC的中点, A1DBC ,BCB1C1,A1DB1C1.()解法一:作DEAC于E, 平面ACC1平面ABC,DE平面ACC1于E,即DE的长为点D到平面ACC1的距离. 在RtADC中,AC=2CD=所求的距离解法二:设点D到平面ACC1的距离为,体积 即点D到平面ACC1的
8、距离为. ()答:直线A1B/平面ADC1,证明如下:证法一:如图1,连结A1C交AC1于F,则F为A1C的中点,D是BC的中点,DFA1B, 又DF 平面ADC1,A1B平面ADC1,A1B平面ADC1.证法二:如图2,取C1B1的中点D1,则ADA1D1,C1DD1B,AD平面A1D1B,且C1D平面A1D1B,平面ADC1平面A1D1B,A1B平面A1D1B,A1B平面ADC1.18本小主要考查直线、椭圆和双曲线等基本知识,考查分析问题和解决问题的能力.满分15分. ()解:由图可知,该椭圆的方程为准线方程为()证明:设K点坐标,点P、P1的坐标分别记为, 其中则 直线A1P,P1A的方
9、程分别为: 式除以式得化简上式得代入式得于是,直线A1P与AP1的交点M的坐标为因为所以,直线A1P与AP1的交点M在双曲线.19本小题主要考查函数,不等式等基本知识,考查运用数学知识分析问题和解决问题的能力.满分14分. ()解:设P的坐标为(0,),则P至三镇距离的平方和为 所以,当时,函数取得最小值. 答:点P的坐标是()解法一:P至三镇的最远距离为 由解得记于是 因为在上是增函数,而上是减函数. 所以时,函数取得最小值. 答:点P的坐标是 解法二:P至三镇的最远距离为 由解得记于是 函数的图象如图,因此,当时,函数取得最小值.答:点P的坐标是 解法三:因为在ABC中,AB=AC=13,
10、且,所以ABC的外心M在线段AO上,其坐标为, 且AM=BM=CM. 当P在射线MA上,记P为P1;当P在射线MA的反向延长线上,记P为P2,这时P到A、B、C三点的最远距离为P1C和P2A,且P1CMC,P2AMA,所以点P与外心M重合时,P到三镇的最远距离最小.答:点P的坐标是20本小题考查函数、不等式等基本知识,考查综合运用数学知识分析问题和解决问题的能力.满分14分.()证明:由题设条件可知,当时,有即()答:函数满足题设条件.验证如下:对任意的,当当当不妨设 有所以,函数满足题设条件.()答:这样满足的函数不存在.理由如下: 假设存在函数满足条件,则由得 由于对任意的,都有 所以, 与矛盾,因此假设不成立,即这样的函数不存在.