1、2003年普通高等学校招生全国统一考试数 学（文史类）（北京卷）第卷（选择题 共50分）参考公式：三角函数的积化和差公式： 正棱台、圆台的侧面积公式 其中、分别表示上、下底面周长，表示斜高或母线长. 球体的体积公式：，其中R表示球的半径.一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合要求的.1设集合等于（ ）ABCD2设，则（ ）Ay3y1y2By2y1y3Cy1y2y3Dy1y3y23“”是“”的（ ）A必要非充分条 B充分非必要条件 C充分必要条件 D既非充分又非必要条件4已知，是平面，m，n是直线.下列命题中不正确的是（ ） A若m，=n，则
2、m/nB若mn，=n，则nC若m，m，则D若m，则5如图，直线过椭圆的左焦点F1和 一个顶点B，该椭圆的离心率为（ ）A BC D6若且的最小值是（ ）A2B3C4D57如果圆台的母线与底面成60角，那么这个圆台的侧面积与轴截面面积的比为（ ）ABCD8若数列的通项公式是，则等于（ ）ABCD9从黄瓜、白菜、油菜、扁豆4种蔬菜品种中选出3种，分别种在不同土质的三块土地上，其中黄瓜必须种植，不同的种植方法共有（ ）A24种B18种C12种D6种10某班试用电子投票系统选举班干部候选人.全班k名同学都有选举权和被选举权，他们的编号分别为1，2，k，规定：同意按“1”，不同意（含弃权）按“0”，令
3、其中i=1，2，k，且j=1，2，k，则同时同意第1，2号同学当选的人数为（ ）ABCD第卷（非选择题 共100分）二、填空题：本大题共4小题，每小题4分，共16分，把答案填在题中横线上.11已知某球体的体积与其表面积的数值相等，则此球体的半径为 .12函数中， 是偶函数.13以双曲线右顶点为顶点，左焦点为焦点的抛物线的方程是 14将长度为1的铁丝分成两段，分别围成一个正方形和一个圆形，要使正方形与圆的面积之和最小，正方形的周长应为 .三、解答题：本大题共6小题，共84分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.15（本小题满分13分）已知函数 （）求的最小正周期； （）求的最大值、最小值.1
4、6（本小题满分13分）已知数列是等差数列，且 （）求数列的通项公式； （）令求数列前n项和的公式.17（本小题满分15分） 如图，正三棱柱ABCA1B1C1中，D是BC的中点，AB=a. （）求证：直线A1DB1C1； （）求点D到平面ACC1的距离； （）判断A1B与平面ADC的位置关系，并证明你的结论.18（本小题满分15分） 如图，A1，A为椭圆的两个顶点，F1，F2为椭圆的两个焦点. （）写出椭圆的方程及准线方程； （）过线段OA上异于O，A的任一点K作OA的垂线，交椭圆于P，P1两点，直线 A1P与AP1交于点M. 求证：点M在双曲线上.19（本小题满分14分） 有三个新兴城镇，分别
5、位于A，B，C三点处，且AB=AC=13km，BC=10km.今计划合建一个中心医院，为同时方便三镇，准备建在BC的垂直平分线上的P点处，（建立坐标系如图） （）若希望点P到三镇距离的平方和为最小， 点P应位于何处？ （）若希望点P到三镇的最远距离为最小，点P应位于何处？20（本小题满分14分） 设是定义在区间上的函数，且满足条件： （i） （ii）对任意的 （）证明：对任意的 （）判断函数是否满足题设条件； （）在区间1，1上是否存在满足题设条件的函数，且使得对任意的 若存在，请举一例：若不存在，请说明理由.2003年普通高等学校招生全国统一考试数学试题（文史类）（北京卷）参考解答一、选择题
6、：本题考查基本知识和基本运算. 每小题5分，满分50分.1A 2D 3A 4A 5D 6B 7C 8B 9B 10C二、填空题：本题考查基本知识和基本运算.每小题4分,满分16分.113 12 13 14三、解答题：本大题共6小题，共84分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.15本小题主要考查三角函数的倍角、和角公式，以及三角函数的性质等基本知识，考查运算能力，满分13分. （）解：因为所以的最小正周期（）解：因为所以的最大值为,最小值为16本小题主要考查等差、等比数列等基本知识，考查综合运用数学知识和方法解决问题的能力.满分13分. （）解：设数列公差为，则 又所以（）解：由得 将式减
7、去式，得 所以17本小题主要考查直线与平面的位置关系，正棱柱的性质，棱锥的体积等基本知识，考查空间想象能力和逻辑推理能力. 满分15分.（）证法一：点D是正ABC中BC边的中点，ADBC，又A1A底面ABC，A1DBC ，BCB1C1，A1DB1C1. 证法二：连结A1C1，则A1C=A1B. 点D是正A1CB的底边中BC的中点， A1DBC ，BCB1C1，A1DB1C1.（）解法一：作DEAC于E， 平面ACC1平面ABC，DE平面ACC1于E，即DE的长为点D到平面ACC1的距离. 在RtADC中，AC=2CD=所求的距离解法二：设点D到平面ACC1的距离为，体积 即点D到平面ACC1的
8、距离为. （）答：直线A1B/平面ADC1，证明如下：证法一：如图1，连结A1C交AC1于F，则F为A1C的中点，D是BC的中点，DFA1B， 又DF 平面ADC1，A1B平面ADC1，A1B平面ADC1.证法二：如图2,取C1B1的中点D1，则ADA1D1，C1DD1B，AD平面A1D1B，且C1D平面A1D1B，平面ADC1平面A1D1B，A1B平面A1D1B，A1B平面ADC1.18本小主要考查直线、椭圆和双曲线等基本知识，考查分析问题和解决问题的能力.满分15分. （）解：由图可知,该椭圆的方程为准线方程为（）证明：设K点坐标,点P、P1的坐标分别记为， 其中则 直线A1P，P1A的方
9、程分别为： 式除以式得化简上式得代入式得于是，直线A1P与AP1的交点M的坐标为因为所以，直线A1P与AP1的交点M在双曲线.19本小题主要考查函数，不等式等基本知识，考查运用数学知识分析问题和解决问题的能力.满分14分. （）解：设P的坐标为（0，），则P至三镇距离的平方和为 所以，当时，函数取得最小值. 答:点P的坐标是（）解法一：P至三镇的最远距离为 由解得记于是 因为在上是增函数，而上是减函数. 所以时,函数取得最小值. 答:点P的坐标是 解法二：P至三镇的最远距离为 由解得记于是 函数的图象如图，因此，当时，函数取得最小值.答:点P的坐标是 解法三：因为在ABC中，AB=AC=13,
10、且，所以ABC的外心M在线段AO上,其坐标为, 且AM=BM=CM. 当P在射线MA上，记P为P1；当P在射线MA的反向延长线上，记P为P2，这时P到A、B、C三点的最远距离为P1C和P2A，且P1CMC，P2AMA，所以点P与外心M重合时，P到三镇的最远距离最小.答:点P的坐标是20本小题考查函数、不等式等基本知识，考查综合运用数学知识分析问题和解决问题的能力.满分14分.（）证明：由题设条件可知，当时，有即（）答：函数满足题设条件.验证如下：对任意的，当当当不妨设 有所以，函数满足题设条件.（）答：这样满足的函数不存在.理由如下： 假设存在函数满足条件，则由得 由于对任意的，都有 所以， 与矛盾，因此假设不成立，即这样的函数不存在.