1、2.1.1椭圆及其标准方程课时过关能力提升一、基础巩固1.若动点M到两个定点F1,F2的距离之和为定值m,则点M的轨迹是()A.椭圆B.线段C.不存在D.以上都可能解析:|MF1|+|MF2|=m,当m|F1F2|时,点M的轨迹为椭圆;当m=|F1F2|时,点M的轨迹是线段F1F2;当m|F1F2|时,点M的轨迹不存在.答案:D2.椭圆x216+y225=1的焦点坐标是()A.(4,0)B.(0,4)C.(3,0)D.(0,3)答案:D3.已知椭圆x225+y29=1上的点M到该椭圆一个焦点F的距离为2,N是MF的中点,O为坐标原点,那么线段ON的长是()A.2B.4C.8D.32答案:B4.
2、若方程x225-m+y2m+9=1表示焦点在y轴上的椭圆,则实数m的取值范围是()A.-9m25B.8m25C.16m8解析:由题意,得m+90,25-m0,m+925-m,解得8mb0),M为椭圆上一动点,F1为椭圆的左焦点,则线段MF1的中点P的轨迹是()A.圆B.椭圆C.线段D.直线解析:因为|PF1|+|PO|=12|MF1|+12|MF2|=12(|MF1|+|MF2|)=a|F1O|,所以点P的轨迹是椭圆.答案:B7.已知椭圆x29+y22=1的焦点为F1,F2,点P在椭圆上.若PF1=4,则PF2=_,F1PF2=.解析:由|PF1|+|PF2|=6,且|PF1|=4,知|PF2
3、|=2.在PF1F2中,cosF1PF2=|PF1|2+|PF2|2-|F1F2|22|PF1|PF2|=-12.故F1PF2=120.答案:21208.已知F1,F2是椭圆C:x2a2+y2b2=1(ab0)的两个焦点,P为椭圆C上一点,且PF1PF2.若PF1F2的面积为9,则b=.解析:依题意,有|PF1|+|PF2|=2a,|PF1|PF2|=18,|PF1|2+|PF2|2=4c2,解得4c2+36=4a2,即a2-c2=9,故有b=3.答案:39.求适合下列条件的椭圆的标准方程:(1)两个焦点的坐标分别是(-2,0),(2,0),椭圆上一点P到两焦点的距离之和等于6,求椭圆的方程;
4、(2)椭圆的焦点为F1(0,-5),F2(0,5),点P(3,4)是椭圆上的一个点,求椭圆的方程.解:(1)设椭圆方程为x2a2+y2b2=1(ab0),则由题意,a=3,c=2,得b2=5.故椭圆方程为x29+y25=1.(2)因为焦点为F1(0,-5),F2(0,5),所以可设椭圆方程为y2a2+x2b2=1(ab0).2a=32+(4+5)2+32+(4-5)2=410,所以a=210,c=5,b2=40-25=15,故椭圆方程为y240+x215=1.10.已知点A(0,3)和圆O1:x2+(y+3)2=16,点M在圆O1上运动,点P在半径O1M上,且|PM|=|PA|,求动点P的轨迹
5、方程.解:因为|PM|=|PA|,|PM|+|PO1|=4,所以|PO1|+|PA|=4,又因为|O1A|=234,所以点P的轨迹是以A,O1为焦点的椭圆,所以c=3,a=2,b=1.所以动点P的轨迹方程为x2+y24=1.二、能力提升1.椭圆mx2+ny2+mn=0(mn0)的焦点坐标是()A.(0,m-n)B.(m-n,0)C.(0,n-m)D.(n-m,0)解析:化为标准方程是x2-n+y2-m=1.mn0,0-n0).又|PQ|=|PF2|,|PF1|+|PQ|=2a,即|QF1|=2a.由题意知a=2,b=3,c=a2-b2=4-3=1.|QF1|=4,F1(-1,0).动点Q的轨迹
6、是以F1为圆心,4为半径的圆,动点Q的轨迹方程是(x+1)2+y2=16.答案:(x+1)2+y2=167.求符合下列条件的椭圆的标准方程:(1)过点A63,3和B223,1的椭圆;(2)过点(-3,2),且与x29+y24=1有相同焦点的椭圆.解:(1)设所求椭圆方程为mx2+ny2=1(m0,n0,mn).椭圆过点A63,3和B223,1,m632+n(3)2=1,m2232+n12=1,解得m=1,n=19. 所求椭圆的标准方程为x2+y29=1.(2)在椭圆x29+y24=1中,可知a=3,b=2,且焦点在x轴上,c2=9-4=5.设所求椭圆方程为x2a2+y2a2-5=1.点(-3,
7、2)在所求椭圆上,9a2+4a2-5=1.a2=15或a2=3(舍去).所求椭圆方程为x215+y210=1.8.已知动圆C与定圆C1:(x+3)2+y2=32内切,与定圆C2:(x-3)2+y2=8外切,点A的坐标为0,92.(1)求动圆的圆心C的轨迹方程;(2)若轨迹C上的两点P,Q满足AP=5AQ,求|PQ|的值.解:(1)如图,设动圆C的半径为R,则|CC1|=42-R,|CC2|=22+R,+得,|CC1|+|CC2|=626=|C1C2|.由椭圆的定义知圆心C的轨迹是以C1,C2为焦点,长轴长为62的椭圆,其轨迹方程为x218+y29=1.(2)设P(x1,y1),Q(x2,y2),则AP=x1,y1-92,AQ=x2,y2-92. 由AP=5AQ,可得x1,y1-92=5x2,y2-92. 所以x1=5x2,y1=5y2-925+92=5y2-18.由P,Q是椭圆C上的两点,得x2218+y229=1,25x2218+(5y2-18)29=1. 由得y2=3.将y2=3代入,得y1=-3,将y2=3代入,得x2=0,所以x1=0,所以P(0,-3),Q(0,3),即|PQ|=6.
