1、高考资源网（） 您身边的高考专家9.13 空间距离（2）一内容归纳. 知识精讲:（1）点到平面的距离：点到平面的距离为点到平面的垂线段的长常用求法作出点到平面的垂线后求出垂线段的长转移法，如果平面的斜线上两点，到斜足的距离，的比为，则点，到平面的距离之比也为特别地，时，点，到平面的距离相等体积法向量法（2）直线到平面的距离：只存在于直线和平面平行之间为直线上任意一点到平面间的距离（3）平面与平面间的距离：只存在于两个平行平面之间为一个平面上任意一点到另一个平面的距离注：以上所说的所有距离：点线距，点面距，线线距，线面距，面面距都是对应图形上两点间的最短距离。所以均可以用求函数的最小值法求各距离
2、。重点、难点：在求各距离时所巧用转移方法。思维方式：发散的思维和空间思维大胆的设想，严密的推理特别注意：了解求距离的各种方法并能掌握运用。二问题讨论：例在梯形ABCD中，ADBC，ABC/2，ABa，AD=3a且ADC =，又PA平面ABCD，PA=a求：（）二面角PCDA的大小；（）点到平面PBC的距离PCABDFH解：（）作于，连结，因为平面，就是二面角的平面角，在中，在中， ,.（）因为平面ABCD,PABC，又BCAB，BC平面PAB，作AHPB，则BCAH，AH平面，。故，点到平面的距离为思维点拔利用定义法求点到平面的距离常需要借助三垂线定理或其逆定理。例如图，已知为边长是的正方形，
3、分别是，的中点，垂直于所在的平面，且，求点到平面的距离解法一：连结，又，分别是，的中点，解法二，分别是，的中点，EFBD，到平面GEF的距离为BD上任一点到平面GEF的距离，BDAC于，EFBD，EFAC又GC平面ABCD，EF平面ABCD，EFGC，EF平面GEF，平面GEF平面GCH，过点作，则平面，为到平面GCH的距离，即到平面GEF的距离由解法一知，由得 思维点拔注意点距，线面距，面面距的转化，利用平面互相垂直作距离也是一种常用的方法例如图，在平面四边形ABCD中，AB=BC=CD=，沿对角线AC折成直二面角，（1）求证：AB平面BCD。（2）求平面ABD与平面ACD所成的角。（3）求
4、点C到平面ABD的距离。（1）证明：因为AB=BC=CD=a，ABC=900，ACB=450，ACD=900，CDAC，又平面ABC平面ACD，CD平面ABC，CDAB又ABBC，所以，AB平面BCD。ABCDACBDOE（2）作BOAC于O，作OEAD于E，连结BE，则即为所求二面角的平面角，易知： ，即平面ABD与平面ACD所成的角为。（3）连结OD，在直角三角形BOD中，是直角三角形，由，得，即为点C到平面ABD的距离。思维点拔体积法求点面距离是最常用的方法。 例4已知正三棱柱ABCA1B1C1的底面边长为8，对角线B1C=10，D是AC的中点。（1）求点B1到直线AC的距离。（2）求直
5、线AB1到平面C1BD的距离BACD解：（1）连结BD，B1D，由三垂线定理可得：B1D AC，所以B1D就是B1点到直线AC的距离。在RtB1BD中（2）因为AC与平面BDC1交于的中点，设B1CBC1=E，则AB1/DE，所以AB1/平面C1BD，所以AB1到平面BDC1的距离等于点到平面BDC1的距离，等于点到平面BDC1的距离，也就等于三棱锥CBDC1的高，所以，直线到平面BD的距离是思维点拔求空间距离多用转化的思想例线段AB与平面平行，平面的斜线A1A，B1B与平面所成角分别是300，600，且A1AB=B1BA=900，AB=a，A1B1=b（ba）求与平面的距离解：作AC平面于，
6、作BD平面于，因为AB，平面平面ABCD，所以ABCD，又CDCA，所以ABCA又因为ABAA1，所以AB平面A1AC同理， AB平面B1BD所以平面A1AC/平面B1BD，所以A1CB1D考虑到B1在CD的同侧或在CD的异侧，所以应分两种情形讨论ACBaDEbab(1)如图，当在的同侧时，在内作于点，则已知AA1C=300，BB1D=600设BD=x，则，所以又在中，, 由得，所以，（2）如图，当在的异侧时，在内作交的延长线于设，则，由得：故与平面的的距离是或思维点拔在立几中要特别小心这种不同情形的讨论三.课堂小结：求各类距离主要还是要熟悉各种解题的方法，并且把它记住，灵活运用，平时多训练一
7、些，会有较大的提高。四作业布置1、在正方体ABCD-A1B1C1D1中,E、F分别是BB1、CD的中点. ( I ) 证明ADD1F; (II ) 求AE与D1F所成的角; (III) 证明面AED面A1FD1; (IV) 设AA1=2,求三棱锥F-A1ED1的体积、已知斜三棱柱ABC-A1B1C1的侧面A1ACC1与底面垂直, ABC=900, BC=3, AC=2(3)1/2, AA1 A1C, AA1= A1C1）求侧棱A1A与底面ABC所成角的大小;（450） 2）求侧面A1ABB1与底面ABC所成二面角的大小;（600）3）求顶点C到侧面A1ABB1的距离.、四棱锥PABCD的底面是边长为a的正方形，PB面ABCD。（）若面PAD与面ABCD所成的二面角为600，求这个四棱锥的体积；（） （）证明无论四棱锥的高怎样变化，面PAD与面PCD所成的二面角恒大于900、已知正四棱柱ABCD-A1B1C1D1，点E在棱D1D上，截面EAC / D1B，且面EAC与底面ABCD 所成的角为45o，AB = a. （I） 求截面EAC的面积； （II）求异面直线A1B与AC 之间的距离； （III）求三棱锥B1-EAC的体积. - 4 - 版权所有高考资源网
