1、2014-2015学年安徽省淮北一中高二（下）第一次质检数学试卷（理科）一、选择题（本大题共50分，单项选择）1已知复数Z1=cos23+isin23和复数Z2=sin53+isin37，则Z1Z2=（）A B C D 2已知a，bR+，则“（a1）（b1）0”是“logab0”的（）A 充分不必要条件B 必要不充分条件C 充要条件D 既不充分也不必要条件3过曲线y=上的点P的切线l的方程为12x3y=16，那么P点坐标可能为（）A （1，）B （2，）C （1，）D （3，）4设点G是ABC的重心，若A=120，则的最小值是（）A B C D 5若函数y=f（x）图象上的任意一点P的坐标（x
2、，y）满足条件|x|y|，则称函数f（x）具有性质S，那么下列函数中具有性质S的是（）A f（x）=ex1B f（x）=ln（x+1）C f（x）=sinxD f（x）=tanx6在ABC，内角A，B，C所对的边长分别为a，b，casinBcosC+csinBcosA=b，且ab，则B=（）A B C D 7已知函数f（x）=x3+ax2+bx+c，下列结论中错误的是（）A xR，f（x）=0B 函数y=f（x）的图象是中心对称图形C 若x是f（x）的极小值点，则f（x）在区间（，x）单调递减D 若x是f（x）的极值点，则f（x）=08设双曲线=1（a0，b0）的右焦点为F，过点F作与x轴垂直
3、的直线l交两渐近线于A，B两点，且与双曲线在第一象限的交点为P，设O为坐标原点，若，若=+（，R），=，则双曲线的离心率为（）A B C D 9设等差数列an满足：，公差若当且仅当n=11时，数列an的前n项和Sn取得最大值，则首项a1的取值范围是（）A B C D 10已知f（x）=ex，xR，ab，记A=f（b）f（a），B=（ba）（f（a）+f（b），则A，B的大小关系是（）A ABB ABC ABD AB二、填空题（25分，每小题5分）11已知向量=（1，1），=（1，）（x0，y0），若，则x+4y的最小值为12已知点F为抛物线y=2x2的焦点，点A为椭圆4x2+3y2=1的右顶点
4、，则|AF|=13将全体正整数自小到大一个接一个地顺次写成一排，如第11个数字是0，则从左至右的第2015个数字是14定义：如果函数y=f（x）在区间a，b上存在x1，x2（ax1x2b），满足f（x1）=，则称函数y=f（x）在区间a，b上是一个双中值函数，已知函数f（x）=+a是区间0，a上的双中值函数，则实数a的取值范围是15设二次函数g（x）的图象在点（m，g（m）的切线方程为y=h（x），若f（x）=g（x）h（x）则下面说法正确的有：存在相异的实数x1，x2使f（x1）=f（x2）成立；f（x）在x=m处取得极小值；f（x）在x=m处取得极大值；不等式的解集非空；直线 x=m一定为
5、函数f（x）图象的对称轴三、解答题（本大题共75分）1）已知a，b，c0且a+b+c=1，求证：；（2）已知nN*，求证：17已知公比q不为1的等比数列an的首项，前n项和为Sn，且a4+S4，a5+S5，a6+S6成等差数列（1）求数列an的通项公式；（2）对nN+，在an与an+1之间插入n个数，使这n+2个数成等差数列，记插入的这n个数的和为bn，求数列bn的前n项和Tn18如图，已知点A（11，0），函数的图象上的动点P在x轴上的射影为H，且点H在点A的左侧设|PH|=t，APH的面积为f（t）（）求函数f（t）的解析式及t的取值范围；（）求函数f（t）的最大值19已知数列an，Sn是
6、其前n项的和，且满足3an=2Sn+n（nN*）（）求证：数列an+为等比数列；（）记Tn=S1+S2+Sn，求Tn的表达式20已知双曲线C：=1（a0，b0），F1、F2分别是它的左、右焦点，A（1，0）是其左顶点，且双曲线的离心率为e=2设过右焦点F2的直线l与双曲线C的右支交于P、Q两点，其中点P位于第一象限内（1）求双曲线的方程；（2）若直线AP、AQ分别与直线x=交于M、N两点，求证：MF2NF2；（3）是否存在常数，使得PF2A=PAF2恒成立？若存在，求出的值，若不存在，请说明理由21已知函数f（x）=lnxmx2，g（x）=+x，mR令F（x）=f（x）+g（x）（）当m=时，
7、求函数f（x）的单调递增区间；（）若关于x的不等式F（x）mx1恒成立，求整数m的最小值；（）若m=2，正实数x1，x2满足F（x1）+F（x2）+x1x2=0，证明：x1+x22014-2015学年安徽省淮北一中高二（下）第一次质检数学试卷（理科）参考答案与试题解析一、选择题（本大题共50分，单项选择）1已知复数Z1=cos23+isin23和复数Z2=sin53+isin37，则Z1Z2=（）A B C D 考点：复数代数形式的乘除运算专题：数系的扩充和复数分析：化sin53为cos37，展开后结合两角和与差的三角函数化简求值解答：解：Z1=cos23+isin23，Z2=sin53+is
8、in37，则Z1Z2=（cos23+isin23）（sin53+isin37）=（cos23+isin23）（cos37+isin37）=（cos23cos37sin23sin37）+（sin37cos23+cos37sin23）i=cos60+isin60=故选：B点评：本题考查复数代数形式的混合运算，考查两角和与差的三角函数，考查计算能力，是基础题2已知a，bR+，则“（a1）（b1）0”是“logab0”的（）A 充分不必要条件B 必要不充分条件C 充要条件D 既不充分也不必要条件考点：必要条件、充分条件与充要条件的判断专题：简易逻辑分析：根据充分条件和必要条件的定义结合不等式的性质进行
9、判断即可解答：解：a，bR+，若（a1）（b1）0，则或，此时都有logab0成立，若logab0，则当a1是，b1，当0a1，则0b1，此时（a1）（b1）0成立，即“（a1）（b1）0”是“logab0”的充要条件，故选：C点评：本题主要考查充分条件和必要条件的判断，根据不等式的性质是解决本题的关键3过曲线y=上的点P的切线l的方程为12x3y=16，那么P点坐标可能为（）A （1，）B （2，）C （1，）D （3，）考点：利用导数研究曲线上某点切线方程专题：导数的综合应用分析：设出P点坐标，求出函数在P点处的导数值，即直线l的斜率，再由点P在曲线和直线上得到关于P点横坐标的另一方程，联
10、立可求P的坐标解答：解：设P（），由y=，得y=x2过曲线y=上的点P的切线l的方程为12x3y=16，解得：x0=2P点坐标可能为故选：B点评：本题考查利用导数研究曲线上某点的切线方程，曲线过某点处的切线的斜率，就是该点处的导数值，是中档题4设点G是ABC的重心，若A=120，则的最小值是（）A B C D 考点：基本不等式；向量在几何中的应用专题：计算题；平面向量及应用分析：先利用数量积公式，求得，再利用G是ABC的重心，可得，进而利用基本不等式，即可求得结论解答：解：A=120，G是ABC的重心，=故选B点评：本题考查数量积公式，考查向量的运算，考查基本不等式的运用，属于中档题5若函数y
11、=f（x）图象上的任意一点P的坐标（x，y）满足条件|x|y|，则称函数f（x）具有性质S，那么下列函数中具有性质S的是（）A f（x）=ex1B f（x）=ln（x+1）C f（x）=sinxD f（x）=tanx考点：函数的图象专题：函数的性质及应用分析：根据性质S的定义，只需要满足函数的图象都在区域|x|y|内即可解答：解：要使函数具有性质S，则对应的函数图象都在区域|x|y|内，分别作出函数的对应的图象，由图象可知满足条件的只有函数f（x）=sinx，故选：C点评：本题主要考查与函数有关的新定义题，正确理解题意是解决本题的关键，利用数形结合是解决本题的基本方法，本题也可以通过特殊值法进
12、行排除6在ABC，内角A，B，C所对的边长分别为a，b，casinBcosC+csinBcosA=b，且ab，则B=（）A B C D 考点：正弦定理；两角和与差的正弦函数专题：解三角形分析：利用正弦定理化简已知的等式，根据sinB不为0，两边除以sinB，再利用两角和与差的正弦函数公式化简求出sinB的值，即可确定出B的度数解答：解：利用正弦定理化简已知等式得：sinAsinBcosC+sinCsinBcosA=sinB，sinB0，sinAcosC+sinCcosA=sin（A+C）=sinB=，ab，AB，即B为锐角，则B=故选A点评：此题考查了正弦定理，两角和与差的正弦函数公式，以及诱
13、导公式，熟练掌握正弦定理是解本题的关键7已知函数f（x）=x3+ax2+bx+c，下列结论中错误的是（）A xR，f（x）=0B 函数y=f（x）的图象是中心对称图形C 若x是f（x）的极小值点，则f（x）在区间（，x）单调递减D 若x是f（x）的极值点，则f（x）=0考点：函数在某点取得极值的条件；命题的真假判断与应用专题：导数的综合应用分析：利用导数的运算法则得出f（x），分0与0讨论，列出表格，即可得出解答：解：f（x）=3x2+2ax+b（1）当=4a212b0时，f（x）=0有两解，不妨设为x1x2，列表如下 x（，x1）x1（x1，x2）x2（x2，+）f（x）+00+f（x）单调
14、递增极大值单调递减极小值单调递增由表格可知：x2是函数f（x）的极小值点，但是f（x）在区间（，x2）不具有单调性，故C不正确+f（x）=+x3+ax2+bx+c=，=，+f（x）=，点P为对称中心，故B正确由表格可知x1，x2分别为极值点，则，故D正确x时，f（x）；x+，f（x）+，函数f（x）必然穿过x轴，即xR，f（x）=0，故A正确（2）当0时，故f（x）在R上单调递增，此时不存在极值点，故D正确，C不正确；B同（1）中正确；x时，f（x）；x+，f（x）+，函数f（x）必然穿过x轴，即xR，f（x）=0，故A正确综上可知：错误的结论是C由于该题选择错误的，故选：C点评：熟练掌握导数
15、的运算法则、中心得出的定义、单调性与极值的关系等基础知识与方法，考查了分类讨论的思想方法等基本方法8设双曲线=1（a0，b0）的右焦点为F，过点F作与x轴垂直的直线l交两渐近线于A，B两点，且与双曲线在第一象限的交点为P，设O为坐标原点，若，若=+（，R），=，则双曲线的离心率为（）A B C D 考点：双曲线的简单性质专题：圆锥曲线的定义、性质与方程分析：由方程可得渐近线，求出A，B，P的坐标，由已知向量式建立，的关系，由=可得a，c的关系，由离心率的定义可得解答：解：双曲线=1的渐近线为：y=x，设焦点F（c，0），则A（c，），B（c，），P（c，），=+，（c，）=（+）c，（），+=
16、1，=，解得=，=，又由=，得=，解得=，e=，即双曲线的离心率为，故选：A点评：本题考查双曲线的简单性质，涉及双曲线的离心率的求解，根据条件求出，A，B，P的坐标是解决本题的关键属中档题9设等差数列an满足：，公差若当且仅当n=11时，数列an的前n项和Sn取得最大值，则首项a1的取值范围是（）A B C D 考点：等差数列的前n项和专题：等差数列与等比数列分析：利用三角函数的倍角公式、积化和差与和差化积公式化简已知的等式，根据公差d的范围求出公差的值，代入前n项和公式后利用二次函数的对称轴的范围求解首项a1取值范围解答：解：由，得=sin（a2a7）=sin（5d）=1sin（5d）=1d
17、（，0），5d（，0），则5d=，d=由Sn=na1+=na1=+（a1+）n对称轴方程为n=（a1+），由题意当且仅当n=11时，数列an的前n项和Sn取得最大值，（a1+），解得：a1首项a1的取值范围是（，）故选：D点评：本题考查了等差数列的通项公式，考查了三角函数的有关公式，考查了等差数列的前n项和，训练了二次函数取得最值得条件，考查了计算能力10已知f（x）=ex，xR，ab，记A=f（b）f（a），B=（ba）（f（a）+f（b），则A，B的大小关系是（）A ABB ABC ABD AB考点：指数函数单调性的应用专题：计算题分析：利用特殊值验证，推出A，B的大小，然后利用反证法推出
18、A=B不成立，得到结果解答：解：考查选项，不妨令b=1，a=0，则A=e1，B=（e+1）e3，2e2e+1e1（e+1）即AB排除A、B选项若A=B，则ebea=（ba）（eb+ea），整理得：（2b+a）eb=（ba+2）ea观察可得a=b，与ab矛盾，排除D故选：C点评：本题考查函数的单调性的应用，选择题的解法，如果常用直接法，解答本题难度比较大考查学生灵活解题能力二、填空题（25分，每小题5分）11已知向量=（1，1），=（1，）（x0，y0），若，则x+4y的最小值为9考点：平面向量数量积的运算专题：平面向量及应用分析：根据，得到x+y=xy，由x+4y4结合“=”成立的条件，求出此
19、时x，y的值，从而得到答案解答：解：，（x0，y0），=1+=0，+=1，x+4y=（x+4y）（+）=1+45+2=9，当且仅当=即x2=4y2时“=”成立，故答案为：9点评：本题考查了平面向量数量积的运算，考查了基本不等式的性质，是一道基础题12已知点F为抛物线y=2x2的焦点，点A为椭圆4x2+3y2=1的右顶点，则|AF|=考点：椭圆的简单性质专题：圆锥曲线的定义、性质与方程分析：根据抛物线和椭圆的性质，分别求出A，F两点的坐标，代入两点之间距离公式，可得答案解答：解：抛物线y=2x2的标准方程为：x2=，故抛物线y=2x2的焦点为F（0，），椭圆4x2+3y2=1的标准方程为：，故椭
20、圆4x2+3y2=1的右顶点为A（，0），|AF|=，故答案为：点评：本题考查的知识点是抛物线和椭圆的性质，两点之间距离公式，难度不大，属于基础题13将全体正整数自小到大一个接一个地顺次写成一排，如第11个数字是0，则从左至右的第2015个数字是0考点：计数原理的应用专题：排列组合分析：分类讨论，全体一位数共占据9个数位，全体两位数共占据290=180个数位，接下来是顺次排列的三位数，从而可得结论解答：解：全体一位数共占据9个数位，全体两位数共占据290=180个数位，接下来是顺次排列的三位数，由于20159180=1826，而=6082，因608+99=707，从左至右的第2015个数字是7
21、08的第二个数字，则从左至右的第2015个数字是0，故答案为：0点评：本题考查计数原理的运用，考查学生分析解决问题的能力，属于中档题14定义：如果函数y=f（x）在区间a，b上存在x1，x2（ax1x2b），满足f（x1）=，则称函数y=f（x）在区间a，b上是一个双中值函数，已知函数f（x）=+a是区间0，a上的双中值函数，则实数a的取值范围是（，3）考点：利用导数研究函数的单调性专题：导数的综合应用分析：先求出函数f（x）的导数，问题转化为：方程在区间0，a有两个解，解不等式组解出即可解答：解：由题意可知，在区间0，a上存在x1，x2（0x1x2a），满足，f（x）=x22x，方程在区间0
22、，a有两个解，令，则，解得：，故答案为：点评：本题考查了二次函数的性质，考查导数的应用，解不等式问题，理解所给 定义是解题的关键，本题是一道中档题15设二次函数g（x）的图象在点（m，g（m）的切线方程为y=h（x），若f（x）=g（x）h（x）则下面说法正确的有：存在相异的实数x1，x2使f（x1）=f（x2）成立；f（x）在x=m处取得极小值；f（x）在x=m处取得极大值；不等式的解集非空；直线 x=m一定为函数f（x）图象的对称轴考点：二次函数的性质；命题的真假判断与应用专题：函数的性质及应用；推理和证明分析：设g（x）=ax2+bx+c，（a0）然后求出在点（m，g（m）的切线方程为y
23、=h（x），从而得到f（x）的解析式，根据二次函数的性质可得结论解答：解：设g（x）=ax2+bx+c，（a0）则g（x）=2ax+b，g（m）=2am+b则在点（m，g（m）的切线方程为 h（x）g（m）=（2am+b）（xm），即 h（x）=（2am+b）xam2+c，f（x）=ax2+bx+c（2am+b）x+am2c=ax22amx+am2=a（xm）2，f（x）是二次函数，关于x=m对称，故正确；当x1，x2关于x=m对称时，f（x1）=f（x2）成立，故正确；当a0时，在x=m处取得极大值，故不正确； 当a0时，在x=m处取得极小值，故不正确；x=m时f（x）=0，满足|f（x）|
24、，故正确；故答案为：点评：本题考查一元二次方程根的分布与系数的关系，二次函数的性质，等差数列的性质，体现了转化的数学思想三、解答题（本大题共75分）1）已知a，b，c0且a+b+c=1，求证：；（2）已知nN*，求证：考点：不等式的证明专题：点列、递归数列与数学归纳法；不等式的解法及应用分析：（1）运用构造向量法，设=（1，1，1），=（，），由|，计算即可得证；（2）运用数学归纳法证明，注意解题步骤，当n=k+1时，要证的目标是，当代入归纳假设后，就是要证明：解答：证明：（1）设=（1，1，1），=（，），则|=，|=，由|，可得+3；（2）当n=1时，左边=1，右边=2左边右边，不等式成立
25、假设n=k时，不等式成立，即那么当n=k+1时，这就是说，当n=k+1时，不等式成立由、可知，原不等式对任意自然数n都成立点评：本题考查不等式的证明，考查构造向量法和数学归纳法的证明，属于中档题17已知公比q不为1的等比数列an的首项，前n项和为Sn，且a4+S4，a5+S5，a6+S6成等差数列（1）求数列an的通项公式；（2）对nN+，在an与an+1之间插入n个数，使这n+2个数成等差数列，记插入的这n个数的和为bn，求数列bn的前n项和Tn考点：数列的求和；等比数列的通项公式专题：等差数列与等比数列分析：（I）通过2（a5+S5）=a4+S4+a6+S6化简得2q23q+1=0，进而计
26、算可得结论；（II）通过bn=n，写出Tn、Tn的表达式，利用错位相减法计算即得结论解答：解：（I）由题可知：2（a5+S5）=a4+S4+a6+S6，化简得：2a63a5+a4=0，2q23q+1=0，解得：q=或q=1（舍），an=；（II）依题意bn=n，两式相减得：=（n），Tn=（1）点评：本题考查数列的通项及前n项和，考查运算求解能力，注意解题方法的积累，属于中档题18如图，已知点A（11，0），函数的图象上的动点P在x轴上的射影为H，且点H在点A的左侧设|PH|=t，APH的面积为f（t）（）求函数f（t）的解析式及t的取值范围；（）求函数f（t）的最大值考点：导数在最大值、最小
27、值问题中的应用专题：计算题；导数的概念及应用分析：（ I）SAPH=PHAH其中AH=OAOH，OH等于P的横坐标，P的纵坐标即为|PH|=t，利用函数解析式可求OH得出面积的表达式（ II）由（ I），面积为利用导数工具研究单调性，求出最值解答：解：（ I）由已知可得，所以点P的横坐标为t21，因为点H在点A的左侧，所以t2111，即由已知t0，所以，所以AH=11（t21）=12t2，所以APH的面积为（ II），由f（t）=0，得t=2（舍），或t=2函数f（t）与f（t）在定义域上的情况如右图：所以当t=2时，函数f（t）取得最大值8点评：本题考查了函数的综合应用，其中有利用导数来求函
28、数在某一区间上的最值问题，属于中档题19已知数列an，Sn是其前n项的和，且满足3an=2Sn+n（nN*）（）求证：数列an+为等比数列；（）记Tn=S1+S2+Sn，求Tn的表达式考点：数列的求和；等比关系的确定专题：等差数列与等比数列分析：（）由3an=2Sn+n，类比可得3an1=2Sn1+n1（n2），两式相减，整理即证得数列an+是以为首项，3为公比的等比数列；（）由（）得an+=3nan=（3n1），Sn=，分组求和，利用等比数列与等差数列的求和公式，即可求得Tn的表达式解答：（）证明：3an=2Sn+n，3an1=2Sn1+n1（n2），两式相减得：3（anan1）=2an+1
29、（n2），an=3an1+1（n2），an+=3（an1+），又a1+=，数列an+是以为首项，3为公比的等比数列；（）解：由（）得an+=3n1=3n，an=3n=（3n1），Sn=（3+32+3n）n=（n）=，Tn=S1+S2+Sn=（32+33+3n+3n+1）（1+2+n）=点评：本题考查数列的求和，着重考查等比关系的确定，突出考查分组求和，熟练应用等比数列与等差数列的求和公式是关键，属于难题20已知双曲线C：=1（a0，b0），F1、F2分别是它的左、右焦点，A（1，0）是其左顶点，且双曲线的离心率为e=2设过右焦点F2的直线l与双曲线C的右支交于P、Q两点，其中点P位于第一象限内
30、（1）求双曲线的方程；（2）若直线AP、AQ分别与直线x=交于M、N两点，求证：MF2NF2；（3）是否存在常数，使得PF2A=PAF2恒成立？若存在，求出的值，若不存在，请说明理由考点：直线与圆锥曲线的综合问题专题：圆锥曲线中的最值与范围问题分析：（1）由题可知：a=1由于，可得c=2再利用b2=c2a2即可（2）设直线l的方程为：x=ty+2，另设：P（x1，y1）、Q（x2，y2）联立，可得根与系数的关系又直线AP的方程为，解得M同理解得N只要证明=0即可（3）当直线l的方程为x=2时，解得P（2，3）易知此时AF2P为等腰直角三角形，可得：=2当AF2P=2PAF2对直线l存在斜率的情
31、形也成立利用正切的倍角公式、斜率计算公式、双曲线的方程、正切函数的单调性即可证明解答：（1）解：由题可知：a=1，c=2b2=c2a2=3，双曲线C的方程为：（2）证明：设直线l的方程为：x=ty+2，另设：P（x1，y1），Q（x2，y2）联立，化为（3t21）y2+12ty+9=0又直线AP的方程为，代入x=，解得M同理，直线AQ的方程为，代入x=，解得N=+=+=MF2NF2（3）解：当直线l的方程为x=2时，解得P（2，3）易知此时AF2P为等腰直角三角形，其中，也即：=2下证：AF2P=2PAF2对直线l存在斜率的情形也成立tan2PAF2=1，结合正切函数在上的图象可知，AF2P=
32、2PAF2点评：本题综合考查了双曲线的标准方程及其性质、向量垂直与数量积的关系、正切的倍角公式、斜率计算公式、双曲线的方程、正切函数的单调性等基础知识与基本技能方法，考查了推理能力与计算能力，属于难题21已知函数f（x）=lnxmx2，g（x）=+x，mR令F（x）=f（x）+g（x）（）当m=时，求函数f（x）的单调递增区间；（）若关于x的不等式F（x）mx1恒成立，求整数m的最小值；（）若m=2，正实数x1，x2满足F（x1）+F（x2）+x1x2=0，证明：x1+x2考点：导数在最大值、最小值问题中的应用；利用导数研究函数的单调性专题：函数的性质及应用；导数的综合应用分析：（1）先求函数
33、的定义域，然后求导，通过导数大于零得到增区间；（2）不等式恒成立问题转化为函数的最值问题，应先求导数，研究函数的单调性，然后求函数的最值；（3）联系函数的F（x）的单调性，然后证明即可注意对函数的构造解答：解：（1）由f（x）0得1x20又x0，所以0x1所以f（x）的单增区间为（0，1）（2）令x+1所以=当m0时，因为x0，所以G（x）0所以G（x）在（0，+）上是递增函数，又因为G（1）=所以关于x的不等式G（x）mx1不能恒成立当m0时，令G（x）=0得x=，所以当时，G（x）0；当时，G（x）0因此函数G（x）在是增函数，在是减函数 故函数G（x）的最大值为令h（m）=，因为h（1）=，h（2）=又因为h（m）在m（0，+）上是减函数，所以当m2时，h（m）0所以整数m的最小值为2 （3）当m=2时，F（x）=lnx+x2+x，x0由F（x1）+F（x2）+x1x2=0，即化简得令t=x1x2，则由（t）=tlnt得（t）=可知（t）在区间（0，1）上单调递减，在区间（1，+）上单调递增所以（t）（1）=1所以，即成立点评：本题考查了利用导数研究函数的单调性的基本思路，不等式恒成立问题转化为函数最值问题来解的方法属于中档题，难度不大
