1、第三章函数的概念与性质3.2 函数的基本性质3.2.2 奇偶性【素养目标】1.掌握利用函数奇偶性求函数解析式的方法；2.理解并能运用函数的单调性和奇偶性解决比较大小、求最值、解不等式等综合问题【重点】利用函数奇偶性求函数解析式，求函数值【难点】运用函数的单调性和奇偶性解决综合问题第二课时函数奇偶性的应用要点整合夯基础基础知识知识点一函数奇偶性的性质1奇、偶函数代数特征的灵活变通由f(x)f(x)，可得f(x)f(x)_0_或_-1_(f(x)0)；由f(x)f(x)，可得f(x)f(x)_0_或_1_(f(x)0)在判定函数的奇偶性方面，有时利用变通后的等式更为方便2函数奇偶性的重要结论(1)
2、如果一个奇函数f(x)在原点处有定义，即f(0)有意义，那么一定有_，有时可以用这个结论来否定一个函数为奇函数(2)如果函数f(x)是偶函数，那么_.思考1：什么函数既是奇函数又是偶函数？提示：设f(x)既是奇函数又是偶函数，则f(x)f(x)，且f(x)f(x)，故f(x)f(x)，所以f(x)0，但定义域需关于原点对称故既是奇函数又是偶函数的函数有无数多个，它们为f(x)0且其定义域是关于原点对称的非空数集思考2：利用奇、偶函数的图象特征，直接观察函数奇偶性与单调性、最值之间有怎样的关系？提示：(1)奇函数在关于原点对称的区间上有相同的单调性；偶函数在关于原点对称的区间上有相反的单调性(2
3、)偶函数在关于原点对称的区间上有相同的最大(小)值，取最值时的自变量互为相反数；奇函数在关于原点对称的区间上的最值互为相反数，取最值时的自变量也互为相反数知识点二函数奇偶性与单调性的联系由于奇函数的图象关于原点对称，因此奇函数在定义域内关于原点对称的区间上的单调性_相同_，而偶函数的图象关于y轴对称，因此偶函数在定义域内关于原点对称的区间上的单调性_相反_，求解函数单调性与奇偶性的综合问题，要注意应用思考3：设f(x)是R上的偶函数，且在0，)上单调递增，则f(2)，f()，f(3)的大小顺序是_.解析：f(x)是R上的偶函数，f(2)f(2)，f()f()，又f(x)在0，)上递增，而23f
4、(3)f(2)，即f()f(3)f(2).典例讲练破题型题型探究类型一利用函数的奇偶性求函数的值或解析式【例1】(1)已知函数f(x)ax3bx3(其中a、b为常数)，若f(3)2015，则f(3)_.(2)已知f(x)是R上的奇函数，且当x0时，f(x)x3x1，求f(x)的解析式【解析】(1)法1：设g(x)f(x)3，则g(x)ax3bx，显然g(x)为R上的奇函数又g(3)f(3)3201532012，所以g(3)g(3)，即f(3)32012，解得f(3)2009.法2：f(x)f(x)6，f(3)6f(3)620152009.(2)设x0，f(x)(x)3x1x3x1.又f(x)是
5、奇函数，则f(x)f(x)f(x)x3x1，即f(x)x3x1.x0时，f(x)x2x，则x0时，f(x)_.【解析】(1)f(x)是奇函数，g(x)是偶函数，f(1)g(1)2，即f(1)g(1)2.f(1)g(1)4，即f(1)g(1)4.由得g(1)3，故选B.(2)设x0.f(x)(x)2xx2x.又f(x)是定义域为R的偶函数，f(x)f(x)x2x，当xf(7)Bf(6)f(9)Cf(7)f(9)Df(7)f(10)【解析】由题易知yf(x8)为偶函数，则f(x8)f(x8)，则f(x)的图象的对称轴为x8.不妨画出符合已知条件的一个函数的大致图象(如图)，则有f(6)f(7)，f
6、(6)f(10)f(10)故选D.命题视角2：解不等式【例3】设定义在2,2上的奇函数f(x)在区间0,2上是减函数，若f(1m)f(m)，求实数m的取值范围【分析】由于f(x)是奇函数，可得f(x)在2,0上递减，借助函数的奇偶性及其单调区间，可将抽象不等式f(1m)f(m)转化为具体的不等式组求解【解析】因为f(x)是奇函数且f(x)在0,2上是减函数，所以f(x)在2,2上是减函数所以不等式f(1m)f(x2)或f(x1)f(x2)的形式，再根据奇函数在对称区间上单调性一致，偶函数在对称区间上单调性相反，列出不等式或不等式组，同时不能漏掉函数自身定义域对参数的影响.【变式训练3】已知偶函
7、数f(x)在区间0，)上单调递增，则满足f(2x1)的x的取值范围是( A )A. B.C. D.【解析】因为f(x)为偶函数且在0，)上是增函数，所以结合图象(如图)由f(2x1)得2x1.解得.命题视角3：奇偶性与单调性的综合应用【例4】函数f(x)的定义域为x|x0，且满足对于定义域内任意的x1，x2都有等式f(x1x2)f(x1)f(x2)成立(1)求f(1)的值(2)判断f(x)的奇偶性并证明(3)若f(4)1，且f(x)在(0，)上是增函数，解关于x的不等式f(3x1)f(6)3.【解析】(1)令x1x21得，f(1)f(1)f(1)，f(1)0.(2)f(x)为偶函数证明如下：令
8、x1x21，则f(1)0，令x11，x2x，f(x)f(x)，又定义域为x|x0，关于原点对称，f(x)为偶函数(3)f(4)1，又f(x1x2)f(x1)f(x2)，f(4)f(4)f(44)f(16)，f(16)f(4)f(164)f(64)，f(64)f(4)f(4)f(4)，f(64)3.f(3x1)f(6)3等价于f(6(3x1)3，f(|6(3x1)|)f(64)，解得x.【通法提炼】对于抽象函数奇偶性、单调性的判断，定义法是一种常用手段.具体的解题策略是：首先通过赋值得到f(1)，f(0)，f(1)之类的特殊自变量的函数值，然后通过赋值构造f(x)与f(x)或f(x2)与f(x1
9、)之间的关系式进行函数奇偶性或单调性的判断.【变式训练4】已知定义在(1,1)上的奇函数是增函数，且.(1)求函数f(x)的解析式；(2)解不等式f(t1)f(2t)0.【解析】(1)因为是定义在(1，1)上的奇函数，则f(0)0，得b0.又因为，则.所以.(2)因为定义在(1,1)上的奇函数f(x)是增函数，由f(t1)f(2t)0，得f(t1)f(2t)f(2t)所以有解得0t.故不等式f(t1)f(2t)0的解集为t|0t课堂达标练经典1若偶函数f(x)在(0，)上是增函数，则af()，bf()，cf()的大小关系是( C )AbacBbcaCacbDcab【解析】f(x)为偶函数，则a
10、f()f()又，f(x)在(0，)上是增函数，即acb.2已知函数f(x)是偶函数，且x0时，f(x)( C )A3x1B3x1C3x1D3x1【解析】设x0，则x0时，f(x)f(x)3x1.3若f(x)是定义在6,6上的偶函数，且f(4)f(1)，则下列各式一定成立的是( D )Af(0)f(3)Cf(2)f(0)Df(1)f(1)，f(4)f(1)4已知函数f(x)是R上的奇函数，且在R上是减函数，若f(a1)f(1)0，则实数a的取值范围是_【解析】f(a1)f(1)0，f(a1)f(1)f(x)是奇函数，f(1)f(1)f(a1)f(1)又f(x)在R上是减函数，a11，即a0.5已
11、知奇函数f(x)在R上是减函数，且f(3a10)f(42a)0，求a的取值范围【解析】f(3a10)f(42a)0，f(3a10)f(42a)，f(x)为奇函数，f(42a)f(2a4)，f(3a10)2a4，a6.故a的取值范围为(6，)课时作业A组素养自测1已知函数f(x)为奇函数，且当x0时，f(x)x2，则f(1)等于(A)A2 B0C1 D2【解析】因为x0时，f(x)x2，所以f(1)112.又f(x)为奇函数，所以f(1)f(1)2.故选A2已知f(x)ax7bx5cx32，且f(5)m，则f(5)f(5)的值为(A)A4 B0C2mDm4【解析】由f(5)a(5)7b(5)5c
12、(5)32a57b55c532m，得a57b55c532m，则f(5)a57b55c5322m24m.所以f(5)f(5)4mm4.故选A3已知函数f(x)是定义在(，)上的奇函数，当x(，0)时，f(x)xx4，则当x(0，)时，f(x)等于(A)Axx4Bxx4Cxx4Dxx4【解析】当x(0，)时，x(，0)则f(x)x(x)4xx4.又因为函数f(x)为奇函数，所以f(x)f(x)，x(0，)从而在区间(0，)上的函数表达式为f(x)xx4.故选A4偶函数yf(x)在区间0，)上单调递增，则有(A)Af()ff(1)Bff(1)f()Cf()f(1)fDf(1)f()f【解析】由题意，
13、得f()f()，f(1)f(1)又函数f(x)在0，)上单调递增，且1，所以f(1)ff()，即f(1)f0，或又f(2)f(2)0，f(x)在(0，)上为减函数，x(0,2)或x(，2)故选B7设函数yf(x)是偶函数，它在0,1上的图象如图则它在1,0上的解析式为f(x)x2.【解析】由题意知f(x)在1,0上为一条线段，且过(1,1)，(0,2)，设f(x)kxb，代入解得k1，b2.所以f(x)x2.8已知f(x)是定义在R上的奇函数，当x0时，f(x)x2mx1，若f(2)3f(1)，则m.【解析】x0时，f(x)x2mx1，f(2)52m，f(1)2m，又f(1)f(1)2m，由f
14、(2)3f(1)知，52m63m，m.9已知函数f(x)是定义在2,0)(0,2上的奇函数当x0时，f(x)的图象如图所示，则函数f(x)的值域是3，2)(2,3【解析】函数f(x)为奇函数，在(0,2上的值域为(2,3，f(x)在2,0)上的值域为3，2)故f(x)的值域为3，2)(2,310函数f(x)是定义在R上的偶函数，且当x0时，函数的解析式为f(x)1.(1)求f(1)的值；(2)求当x0时函数的解析式；(3)用定义证明f(x)在(0，)上是减函数【解析】(1)因为f(x)是偶函数，所以f(1)f(1)211.(2)当x0，所以f(x)1.又因为f(x)为偶函数，所以当x0时，f(
15、x)f(x)11.(3)证明：设x1，x2是(0，)上的任意两个实数，且0x1x2，则f(x2)f(x1)1.因为x1x20.所以f(x2)f(x1)f(x2)因此f(x)1在(0，)上是减函数11已知函数f(x)的定义域是(，0)(0，)，对定义域内的任意x1，x2都有f(x1x2)f(x1)f(x2)，且当x1时，f(x)0.(1)求证：f(x)是偶函数；(2)求证：f(x)在(0，)上是增函数；(3)试比较f与f的大小【解析】(1)证明：函数的定义域是(，0)(0，)令x1x21，得f(11)f(1)f(1)，f(1)0.令x1x21，得f(1)f(1)(1)f(1)f(1)，2f(1)
16、0，f(1)0.f(x)f(1x)f(1)f(x)f(x)f(x)是偶函数(2)证明：设0x1x10，1，f0，即f(x2)f(x1)0.f(x2)f(x1)，即f(x1)f.ff.B组素养提升12若函数yf(x)是偶函数，定义域为R，且该函数图象与x轴的交点有3个，则下列说法正确的是(A)3个交点的横坐标之和为0；3个交点的横坐标之和不是定值，与函数解析式有关；f(0)0；f(0)的值与函数解析式有关ABCD【解析】由于偶函数图象关于y轴对称，若(x0,0)是函数与x轴的交点，则(x0,0)一定也是函数与x轴的交点，当交点个数为3个时，有一个交点一定是原点，从而正确13设f(x)是(，)上的
17、奇函数，f(x2)f(x)，当0x1时，f(x)x，则f(7.5)等于(B)A0.5 B0.5C1.5 D1.5【解析】由已知，可得f(7.5)f(5.52)f(5.5)f(23.5)f(3.5)f(3.5)f(21.5)f(1.5)f(20.5)f(0.5)f(0.5)f(0.5)0.5.14奇函数f(x)满足：f(x)在(0，)内单调递增；f(1)0.则不等式xf(x)0的解集为(，1)(1，)【解析】f(x)在(0，)上是增函数且是奇函数，f(1)0.f(x)在(，0)上是增函数，f(1)0.当x0时，f(x)0即f(x)f(1)，x1，当x0时，f(x)0，即f(x)f(1)，x0的解
18、集为(，1)(1，)15已知函数f(x)是定义在R上的偶函数，且当x0时，f(x)x22x.函数f(x)在y轴左侧的图象如图所示(1)写出函数f(x)，xR的增区间；(2)求函数f(x)，xR的解析式；(3)若函数g(x)f(x)2ax2，x1,2，求函数g(x)的最小值【解析】(1)f(x)的增区间为(1,0)，(1，)(2)设x0，则x0)，f(x)(3)由(2)知g(x)x2(22a)x2，x1,2，其图象的对称轴为xa1，当a11，即a0时，g(x)ming(1)12a；当1a12，即0a1时，g(x)ming(a1)a22a1；当a12，即a1时，g(x)ming(2)24A综上，g(x)min课堂小结本课堂需掌握的三个问题：1函数的奇偶性是其相应图象特殊对称性的反映，也体现了在关于原点对称的定义域的两个区间上函数值及其性质的相互转化，这是对称思想的应用2(1)根据奇函数的定义，如果一个奇函数在原点处有定义，即f(0)有意义，那么一定有f(0)0.有时可以用这个结论来否定一个函数为奇函数(2)偶函数的一个重要性质：f(|x|)f(x)，它能使自变量化归到0，)上，避免分类讨论3具有奇偶性的函数的单调性的特点：(1)奇函数在a，b和b，a上具有相同的单调性(2)偶函数在a，b和b，a上具有相反的单调性
