1、第二章 平面向量 2.3 平面向量的基本定理及坐标表示 2.3.4 平面向量共线的坐标表示 学 习 目 标核 心 素 养 1.理解用坐标表示两向量共线的条件(难点)2.能根据平面向量的坐标判断向量是否共线，并掌握三点共线的判断方法(重点)3.两直线平行与两向量共线的判定(易混点)通过平面向量共线的坐标表示及应用，培养学生、逻辑推理和数学运算素养.自 主 预 习 探 新 知 平面向量共线的坐标表示(1)设 a(x1，y1)，b(x2，y2)，其中 b0，a，b 共线，当且仅当存在实数，使.(2)如果用坐标表示，可写为(x1，y1)(x2，y2)，当且仅当_时，向量 a，b(b0)共线abx1y2
2、x2y10思考：两向量 a(x1，y1)，b(x2，y2)共线的坐标条件能表示成x1x2y1y2吗？提示 不一定，x2，y2 有一者为零时，比例式没有意义，只有x2y20 时，才能使用1已知 A(2，1)，B(3,1)，则与AB平行且方向相反的向量 a 是()A(2,1)B(6，3)C(1,2)D(4，8)D AB(1,2)，根据平行条件知选 D.2下列各对向量中，共线的是()Aa(2,3)，b(3，2)Ba(2,3)，b(4，6)Ca(2，1)，b(1，2)Da(1，2)，b(2，2)D A，B，C 中各对向量都不共线，D 中 b 2a，两个向量共线3已知 a(3,2)，b(6，y)，且 a
3、b，则 y_.4 ab，63y2，解得 y4.4若 A(3，6)，B(5,2)，C(6，y)三点共线，则 y_.9 AB(8,8)，AC(3，y6)，A，B，C三点共线，即ABAC，8(y6)830，解得y9.合 作 探 究 释 疑 难 向量共线的判定与证明【例1】(1)下列各组向量中，共线的是()Aa(2,3)，b(4,6)Ba(2,3)，b(3,2)Ca(1，2)，b(7,14)Da(3,2)，b(6，4)(2)已知A(1，1)，B(1,3)，C(1,5)，D(2,7)，向量 AB 与 CD 平行吗？直线AB平行于直线CD吗？思路点拨：(1)利用“纵横交错积相减”判断(2)判断向量AB，C
4、D 平行无相关点 ABCD(1)D A中，26340，B中33220，C中114(2)70，D中(3)(4)260.故选D.(2)解 AB(1(1)，3(1)(2,4)，CD(21,75)(1,2)又22410，ABCD.又AC(2,6)，AB(2,4)，24260，A，B，C不共线，AB与CD不重合，ABCD.向量共线的判定方法提醒：向量共线的坐标表达式极易写错，如写成x1y1x2y20或x1x2y1y20都是不对的，因此要理解并记熟这一公式，可简记为：纵横交错积相减跟进训练1已知A(1，3)，B8，12，C(9,1)，求证：A，B，C三点共线证明 AB81，123 7，72，AC(91,1
5、3)(8,4)，747280，ABAC，且AB，AC有公共点A，A，B，C三点共线.已知平面向量共线求参数【例2】已知a(1,2)，b(3,2)，当k为何值时，kab与a3b平行？平行时它们是同向还是反向？思路点拨：法一：可利用b与非零向量a共线等价于ba(0，b与a同向；0，b与a反向)求解；法二：可先利用坐标形式的等价条件求k，再利用ba判定同向还是反向 解 法一：(共线向量定理法)kabk(1,2)(3,2)(k3,2k2)，a3b(1,2)3(3,2)(10，4)，当kab与a3b平行时，存在唯一实数，使kab(a3b)由(k3,2k2)(10，4)，所以k310，2k24，解得k13
6、.当k13时，kab与a3b平行，这时kab13ab13(a3b)，因为130，所以kab与a3b反向 法二：(坐标法)由题知kab(k3,2k2)，a3b(10，4)，因为kab与a3b平行，所以(k3)(4)10(2k2)0，解得k13.这时kab133，232 13(a3b)，所以当k13时，kab与a3b平行，并且反向利用向量平行的条件处理求值问题的思路：(1)利用共线向量定理ab(b0)列方程组求解(2)利用向量平行的坐标表达式x1y2x2y10直接求解跟进训练2已知向量a(1,2)，b(2，2)，c(1，)，若c(2ab)，则_.12 由题可得2ab(4,2)，c(2ab)，c(1
7、，)，420，即12.故答案为12.向量共线的综合应用【例3】(1)已知向量a(cos，2)，b(sin，1)，且ab，则2sin cos 等于()A3 B3C45D.45(2)如图所示，已知点A(4,0)，B(4,4)，C(2，6)，求AC与OB的交点P的坐标思路点拨：(1)先由ab推出sin 与cos 的关系，求tan，再用“1”的代换求2sin cos.(2)要求点P的坐标，只需求出向量OP 的坐标，由OP 与OB 共线得到 OP OB，利用 AP 与 AC 共线的坐标表示求出即可；也可设P(x，y)，由OP OB 及APAC，列出关于x，y的方程组求解(1)C 因为ab，所以cos 1
8、(2)sin 0，即cos 2sin，tan 12，所以2sin cos 2sin cos sin2cos2 2tan tan21 212122145.(2)解 法一：(定理法)由O，P，B三点共线，可设OP OB(4，4)，则APOP OA(44,4)，ACOC OA(2,6)由 AP 与 AC 共线得(44)64(2)0，解得 34，所以OP 34OB(3,3)，所以P点的坐标为(3,3)法二：(坐标法)设P(x，y)，则 OP(x，y)，因为 OB(4,4)，且OP 与OB 共线，所以x4y4，即xy.又 AP(x4，y)，AC(2,6)，且 AP 与 AC 共线，则得(x4)6y(2)
9、0，解得xy3，所以P点的坐标为(3,3)应用向量共线的坐标表示求解几何问题的步骤跟进训练3.如图所示，已知AOB中，A(0,5)，O(0,0)，B(4,3)，OC 14OA，OD 12OB，AD与BC相交于点M，求点M的坐标解 因为OC 14OA 14(0,5)0，54，所以C0，54.因为OD 12OB 12(4,3)2，32，所以D2，32.设M(x，y)，则AM(x，y5)，AD 20，325 2，72.因为AM AD，所以72x2(y5)0，即7x4y20.又CM x，y54，CB4，74，因为CM CB，所以74x4y54 0，即7x16y20.联立解得x127，y2，故点M的坐标
10、为127，2.共线向量与线段分点点坐标的计算 探究问题1设P1，P2的坐标分别是(x1，y1)，(x2，y2)，如何求线段P1P2的中点P的坐标？提示：如图所示，P为P1P2的中点，P1P PP2，OP OP1 OP2 OP，OP 12(OP1 OP2)x1x22，y1y22，线段P1P2的中点坐标是x1x22，y1y22.2设P1，P2的坐标分别是(x1，y1)，(x2，y2)，点P是线段P1P2的一个三等分点，则P点坐标是什么？提示：点P是线段P1P2的一个三等分点，分两种情况：当P1P 13P1P2 时，OP OP1 P1P OP1 13P1P2 OP1 13(OP2 OP1)23OP1
11、 13OP2 2x1x23，2y1y23；当P1P 23P1P2 时，OP OP1 P1P OP1 23P1P2 OP1 23(OP2 OP1)13OP1 23OP2 x12x23，y12y23.3当P1P PP2 时，点P的坐标是什么？提示：OP OP1 P1P OP1 PP2 OP1(OP2 OP)OP1OP2 OP，OP OP1 OP21 11(x1，y1)1(x2，y2)11x1，11y1 1x2，1y2 x1x21，y1y21，Px1x21，y1y21.【例4】已知点A(3，4)与点B(1,2)，点P在直线AB上，且|AP|2|PB|，求点P的坐标思路点拨：点P在直线AB上，包括点P
12、在线段AB内和在线段AB的延长线上，因此应分类讨论 解 设P点坐标为(x，y)，|AP|2|PB|.当P在线段AB上时，AP2PB，(x3，y4)2(1x,2y)，x322x，y442y，解得x13，y0，P点坐标为13，0.当P在线段AB延长线上时，AP2PB，(x3，y4)2(1x,2y)，x322x，y442y，解得x5，y8，P点坐标为(5,8)综上所述，点P的坐标为13，0 或(5,8)1若将本例条件“|AP|2|PB|”改为“AP 3PB”其他条件不变，求点P的坐标解 因为AP3PB，所以(x3，y4)3(1x,2y)，所以x333x，y463y，解得x0，y12，所以点P的坐标为
13、0，12.2若将本例条件改为“经过点P(2,3)的直线分别交x轴、y轴于点A，B，且|AB|3|AP|”，求点A，B的坐标解 由题设知，A，B，P三点共线，且|AB|3|AP|，设A(x,0)，B(0，y)，点P在A，B之间，则有AB3AP，(x，y)3(2x,3)，解得x3，y9，点A，B的坐标分别为(3,0)，(0,9)点P不在A，B之间，则有AB3AP，同理，可求得点A，B的坐标分别为32，0，(0，9)综上，点A，B的坐标分别为(3,0)，(0,9)或32，0，(0，9)求点的坐标时注意的问题 1设 P1x1，y1，P2x2，y2.若点 P 是 P1P2 的中点时，则 Px，y为 2求
14、线段 P1P2 上或延长线上的点的坐标时，不必过分强调公式的记忆，可以转化为向量问题后列出方程组求解，同时要注意分类讨论.3若 01时，P在线段P1P2上；1时，P与P2重合；1时，点P在线段P1P2延长线上；,0时，点P在线段P1P2反向延长线上.课 堂 小 结 提 素 养 1两个向量共线条件的表示方法已知a(x1，y1)，b(x2，y2)(1)当b0时，ab.(2)x1y2x2y10.(3)当x2y20时，x1x2y1y2，即两向量的相应坐标成比例2向量共线的坐标表示的应用两向量共线的坐标表示的应用，可分为两个方面(1)已知两个向量的坐标判定两向量共线联系平面几何平行、共线知识，可以证明三
15、点共线、直线平行等几何问题要注意区分向量的共线、平行与几何中的共线、平行的不同(2)已知两个向量共线，求点或向量的坐标，求参数的值，求轨迹方程，要注意方程思想的应用，向量共线的条件，向量相等的条件等都可作为列方程的依据1下列说法不正确的是()A若a(x1，y1)，b(x2，y2)，且a与b共线，则x1x2y1y2.B若a(x1，y1)，b(x2，y2)，且x1y2x2y1，则a与b不共线C若A，B，C三点共线，则向量AB，BC，CA都是共线向量D若A(3，6)，B(5,2)，C(6，y)三点共线，则y9.A A中，x2或y2为零时，比例式无意义，B、C很明显都正确；D中ABBC，由AB(8,8
16、)，BC(11，y2)，则8(y2)8110，解得y9.D正确2已知两点 A(2，1)，B(3,1)，则与AB平行且方向相反的向量a 可以是()A(1，2)B(9,3)C(2,4)D(4，8)D 由题意，得 AB(1,2)，所以a AB(，2)(其中0)符合条件的只有D项，故选D.3已知平面向量a(1,2)，b(2，m)，且ab，则2a3b等于_(4，8)ab，1m(2)20，m4，a(1,2)，b(2，4)，2a3b2(1,2)3(2，4)(4，8)4已知直角坐标平面上四点A(1,0)，B(4,3)，C(2,4)，D(0,2)，求证：四边形ABCD是等腰梯形证明 由已知得，AB(4,3)(1,0)(3,3)，CD(0,2)(2,4)(2，2)3(2)3(2)0，AB与CD 共线 AD(1,2)，BC(2,4)(4,3)(2,1)，(1)12(2)0，AD 与BC不共线 四边形ABCD是梯形 BC(2,1)，AD(1,2)，|BC|5|AD|，即BCAD.故四边形ABCD是等腰梯形点击右图进入 课 时 分 层 作 业 Thank you for watching!
