1、2.3随机变量的数字特征2.3.1离散型随机变量的数学期望学习目标：1.理解离散型随机变量的数学期望的意义和性质，会根据离散型随机变量的分布列求出数学期望(重点)2.掌握二点分布、二项分布的数学期望(重点)3.会利用离散型随机变量的数学期望解决一些相关问题(难点)教材整理1离散型随机变量的数学期望阅读教材P59P60，完成下列问题1定义一般地，设一个离散型随机变量X所有可能取的值是x1，x2，xn，这些值对应的概率是p1，p2，pn，则E(X)x1p1x2p2xnpn叫做这个离散型随机变量X的均值或数学期望(简称期望)2意义刻画了离散型随机变量的平均取值水平1下列说法正确的有_(填序号)随机变
2、量X的数学期望E(X)是个变量，其随X的变化而变化；随机变量的均值反映样本的平均水平；若随机变量X的数学期望E(X)2，则E(2X)4；随机变量X的均值E(X).【解析】错误，随机变量的数学期望E(X)是个常量，是随机变量X本身固有的一个数字特征错误，随机变量的均值反映随机变量取值的平均水平正确，由均值的性质可知错误，因为E(X)x1p1x2p2xnpn.【答案】2已知离散型随机变量X的分布列为：X123P则X的数学期望E(X)_.【解析】E(X)123.【答案】3设E(X)10，则E(3X5)_.【解析】E(3X5)3E(X)5310535.【答案】35教材整理2常见的几种分布的数学期望阅读
3、教材P60例1以上部分，完成下列问题名称二点分布二项分布超几何分布公式E(X)pE(X)npE(X)1若随机变量X服从二项分布B，则E(X)的值为_【解析】E(X)np4.【答案】2篮球运动员在比赛中每次罚球命中得1分，不命中得0分已知他命中的概率为0.8，则罚球一次得分X的期望是_【解析】因为P(X1)0.8，P(X0)0.2，所以E(X)10.800.20.8.【答案】0.8二点分布与二项分布的数学期望【例1】某运动员投篮命中率为p0.6.(1)求投篮1次时命中次数X的数学期望；(2)求重复5次投篮时，命中次数Y的数学期望【精彩点拨】(1)利用二点分布求解(2)利用二项分布的数学期望公式求
4、解【解】(1)投篮1次，命中次数X的分布列如下表：X01P0.40.6则E(X)0.6.(2)由题意，重复5次投篮，命中的次数Y服从二项分布，即YB(5,0.6)，则E(Y)np50.63.1常见的两种分布的均值设p为一次试验中成功的概率，则(1)二点分布E(X)p；(2)二项分布E(X)np.熟练应用上述公式可大大减少运算量，提高解题速度2二点分布与二项分布辨析(1)相同点：一次试验中要么发生要么不发生(2)不同点：随机变量的取值不同，二点分布随机变量的取值为0,1，二项分布中随机变量的取值x0,1,2，n.试验次数不同，二点分布一般只有一次试验；二项分布则进行n次试验1(1)某种种子每粒发
5、芽的概率为0.9，现播种了1 000粒，对于没有发芽的种子，每粒需再补种2粒，每个坑至多补种一次，补种的种子数记为X，则X的数学期望为()A100B200C300 D400(2)已知某离散型随机变量X服从的分布列如下，则随机变量X的数学期望E(X)等于()X01Pm2mA. BC. D【解析】(1)由题意可知，补种的种子数记为X，X服从二项分布，即XB(1 000,0.1)，所以不发芽种子的数学期望为1 0000.1100.所以补种的种子数的数学期望为2100200.(2)由题意可知m2m1，所以m，所以E(X)01.【答案】(1)B(2)D求离散型随机变量的数学期望【例2】在甲、乙等6个单位
6、参加的一次“唱读讲传”演出活动中，每个单位的节目集中安排在一起，若采用抽签的方式随机确定各单位的演出顺序(序号为1,2，6)，求：(1)甲、乙两单位的演出序号至少有一个为奇数的概率；(2)甲、乙两单位之间的演出单位个数的分布列与均值【精彩点拨】(1)可先求“甲乙两单位的演出序号至少有一个为奇数”的对立事件的概率；(2)先求出的取值及每个取值的概率，然后求其分布列和均值【解】只考虑甲、乙两单位的相对位置，故可用组合计算基本事件数(1)设A表示“甲、乙的演出序号至少有一个为奇数”，则表示“甲、乙的演出序号均为偶数”，由等可能性事件的概率计算公式得P(A)1P()11.(2)的所有可能取值为0,1,
7、2,3,4，且P(0)，P(1)，P(2)，P(3)，P(4).从而知的分布列为01234P所以E()01234.求离散型随机变量的数学期望的步骤(1)根据的实际意义，写出的全部取值(2)求出的每个值的概率(3)写出的分布列(4)利用定义求出数学期望其中第(1)、(2)两条是解答此类题目的关键，在求解过程中应注重分析概率的相关知识2盒中装有5节同牌号的五号电池，其中混有两节废电池现在无放回地每次取一节电池检验，直到取到好电池为止，求抽取次数X的分布列及数学期望【解】X可取的值为1,2,3，则P(X1)，P(X2)，P(X3)1.抽取次数X的分布列为X123PE(X)123.离散型随机变量的均值
8、实际应用探究问题1某篮球明星罚球命中率为0.7，罚球命中得1分，不中得0分，则他罚球一次的得分X可以取哪些值？X取每个值时的概率是多少？【提示】随机变量X可能取值为0,1.X取每个值的概率分别为P(X0)0.3，P(X1)0.7.2在探究1中，若该球星在一场比赛中共罚球10次，命中8次，那么他平均每次罚球得分是多少？【提示】每次平均得分为0.8.3在探究1中，你能求出在他参加的各场比赛中，罚球一次得分大约是多少吗？为什么？【提示】在球星的各场比赛中，罚球一次的得分大约为00.310.70.7(分)因为在该球星参加各场比赛中平均罚球一次的得分只能用随机变量X的数学期望来描述他总体得分的平均水平具
9、体到每一场比赛罚球一次的平均得分应该是非常接近X的均值的一个分数【例3】随机抽取某厂的某种产品200件，经质检，其中一等品126件，二等品50件，三等品20件，次品4件已知生产1件一、二、三等品获得的利润分别为6万元、2万元、1万元，而1件次品亏损2万元，设1件产品的利润(单位：元)为X.(1)求X的分布列；(2)求1件产品的平均利润(即X的数学期望)；(3)经技术革新后，仍有四个等级的产品，但次品率降为1%，一等品率提高为70%，如果此时要求1件产品的平均利润不小于4.73万元，则三等品率最多是多少？【精彩点拨】【解】(1)X的所有可能取值有6,2,1，2.P(X6)0.63，P(X2)0.
10、25，P(X1)0.1，P(X2)0.02.故X的分布列为：X6212P0.630.250.10.02(2)E(X)60.6320.2510.1(2)0.024.34.(3)设技术革新后的三等品率为x，则此时1件产品的平均利润为E(X)60.72(10.70.01x)1x(2)0.014.76x(0x0.29)依题意，E(X)4.73，即4.76x4.73，解得x0.03，所以三等品率最多为3%.1实际问题中的期望问题均值在实际生活中有着广泛的应用，如对体育比赛的成绩预测，消费预测，工程方案的预测，产品合格率的预测，投资收益的预测等方面，都可以通过随机变量的期望来进行估计2概率模型的三个解答步
11、骤(1)审题，确定实际问题是哪一种概率模型，可能用到的事件类型，所用的公式有哪些(2)确定随机变量的分布列，计算随机变量的期望(3)对照实际意义，回答概率，均值等所表示的结论3甲、乙两射击运动员进行射击比赛，射击相同的次数，已知两运动员击中的环数X稳定在7,8,9,10环将他们的比赛成绩画成频率分布直方图如图甲和图乙所示(1)根据这次比赛的成绩频率分布直方图推断乙击中8环的概率P(X乙8)，以及甲击中9环以上(包括9环)的概率；(2)根据这次比赛的成绩估计甲、乙谁的水平更高(即平均每次射击的环数谁大)【解】(1)由图乙可知P(X乙7)0.2，P(X乙9)0.2，P(X乙10)0.35.所以P(
12、X乙8)10.20.20.350.25.同理P(X甲7)0.2，P(X甲8)0.15，P(X甲9)0.3，所以P(X甲10)10.20.150.30.35.P(X甲9)0.30.350.65.(2)因为E(X甲)70.280.1590.3100358.8，E(X乙)70.280.2590.2100.358.7，则有E(X甲)E(X乙)，所以估计甲的水平更高1一名射手每次射击中靶的概率为0.8，则独立射击3次中靶的次数X的数学期望是()A0.83B0.8C2.4D3【解析】E(X)30.82.4.【答案】C2口袋中有编号分别为1,2,3的三个大小和形状相同的小球，从中任取2个，则取出的球的最大编
13、号X的均值为()A. B C2 D【解析】X的取值为2,3.因为P(X2)，P(X3).所以E(X)23.【答案】D3某射手射击所得环数的分布列如下：78910Px0.10.3y已知的均值E()8.9，则y的值为_【解析】依题意得即解得y0.4.【答案】0.44设离散型随机变量X可能的取值为1,2,3，P(Xk)akb(k1,2,3)又X的均值E(X)3，则ab_.【解析】P(X1)ab，P(X2)2ab，P(X3)3ab，E(X)1(ab)2(2ab)3(3ab)3，14a6b3.又(ab)(2ab)(3ab)1，6a3b1.由可知a，b，ab.【答案】5袋中有4个黑球，3个白球，2个红球，从中任取2个球，每取到1个黑球记0分，每取到1个白球记1分，每取到1个红球记2分，用X表示取得的分数求：(1)X的分布列；(2)X的均值【解】(1)由题意知，X可能取值为0,1,2,3,4.P(X0)，P(X1)，P(X2)，P(X3)，P(X4).故X的分布列为X01234P(2)E(X)01234.
