1、【知识重温】一、必记 2 个知识点1直线的倾斜角和斜率(1)直线的倾斜角的定义当直线 l 与 x 轴相交时,我们取 x 轴作为基准,x 轴_与直线 l_之间所成的_ 叫做直线的倾斜角当直线和 x 轴平行或重合时,我们规定它的倾斜角为 0,因此,直线倾斜角 的取值范围是_.正向向上方向最小正角0180(2)斜率的定义倾斜角不是 90的直线,它的倾斜角的_叫做这条直线的斜率,常用 k 表示,即_.倾斜角是 90的直线,斜率 k 不存在(3)斜率公式当直线 l 经过两点 P1(x1,y1)、P2(x2,y2)时,l 的斜率 k_(其中 x1x2)(4)直线的方向向量经过两点 P1(x1,y1)、P2
2、(x2,y2)的直线的方向向量的坐标可记为_ _ _,当直线的斜率 k 存在时,方向向量的坐标可记为_ _正切值ktany2y1x2x1(x2x1,y2y1)(1,k)2直线方程的几种基本形式名称方程适用范围斜截式 _不能表示垂直于 x 轴的直线点斜式 _不能表示垂直于 x 轴的直线两点式 _不能表示垂直于坐标轴的直线截距式 _不能表示垂直于坐标轴及过原点的直线一般式 _能表示平面上任何直线ykxbyy0k(xx0)yy1y2y1 xx1x2x1xayb1AxByC0(A2B20)二、必明 4 个易误点1利用两点式计算斜率时易忽视 x1x2 时斜率 k 不存在的情况2用直线的点斜式求方程时,在
3、斜率 k 不明确的情况下,注意分 k 存在与不存在讨论,否则会造成失误3直线的截距式中易忽视截距均不为 0 这一条件,当截距为 0时可用点斜式4由一般式 AxByC0 确定斜率 k 时易忽视判断 B 是否为 0,当 B0 时,k 不存在;当 B0 时,kAB.【小题热身】1判断下列说法是否正确(请在括号中打“”或“”)(1)坐标平面内的任何一条直线均有倾斜角与斜率()(2)过点 M(a,b),N(b,a)(ab)的直线的倾斜角是 45.()(3)直线的倾斜角越大,斜率 k 就越大()(4)经过点 P(x0,y0)的直线都可以用方程 yy0k(xx0)表示()(5)经过任意两个不同的点 P1(x
4、1,y1),P2(x2,y2)的直线都可以用方程(yy1)(x2x1)(xx1)(y2y1)表示()2过点 M(2,m),N(m,4)的直线的斜率等于 1,则 m 的值为()A1 B4C1 或 3 D1 或 4解析:kMN m42m1,m1.答案:A3直线 3xya0(a 为常数)的倾斜角是()A30 B60C120 D150解析:由直线方程得 y 3xa,所以斜率 k 3,设倾斜角为.所以 tan 3,又因为 0180,所以 60.答案:B4倾斜角为 135,在 y 轴上的截距为1 的直线方程是()Axy10 Bxy10Cxy10 Dxy10解析:直线的斜率为 ktan 1351,所以直线方
5、程为 yx1,即 xy10.答案:D5 经 过 两 点M(1,2),N(3,4)的 直 线 方 程 为_解析:经过两点 M(1,2),N(3,4)的直线方程为y242x131,即 3x2y10.答案:3x2y10考点一 直线的倾斜角与斜率自主练透型12020河北衡水模拟过不重合的 A(m22,m23),B(3mm2,2m)两点的直线 l 的倾斜角为 45,则 m 的值为()A1 B2C1 或 2 D1 或2解析:过 A(m22,m23),B(3mm2,2m)两点的直线 l 的斜率 km232mm223mm2.直线 l 的倾斜角为 45,km232mm223mm21,解得 m1 或 m2.当 m
6、1 时,A、B 重合,故舍去,m2.故选 B.答案:B2若直线 l 经过点 A(1,2),在 x 轴上的截距的取值范围是(3,3),则其斜率的取值范围是_解析:设直线 l 的斜率为 k,则直线方程为 y2k(x1),在 x 轴上的截距为 12k.令312k3,解得 k12.答案:(,1)12,悟技法1.斜率的求法(1)定义法:若已知直线的倾斜角 或 的某种三角函数值,一般根据 ktan 求斜率(90)(2)公式法:若已知直线上两点 A(x1,y1),B(x2,y2),一般根据斜率公式 ky2y1x2x1(x1x2)求斜率2斜率取值范围的三种求法(1)数形结合法:作出直线在平面直角坐标系中可能的
7、位置,借助图形,结合正切函数的单调性确定(2)构建不等式法:利用不等式所表示的平面区域的性质,转化为线线、线面的位置关系,构造不等式求范围(3)利用斜率关于倾斜角的函数图象,由倾斜角范围求斜率范围,反之亦可.考点二 直线的方程互动讲练型例 1 根据所给条件求直线的方程:(1)直线过点(4,0),倾斜角的正弦值为 1010;(2)直线过点(3,4),且在两坐标轴上的截距之和为 12.解析:(1)由题设知,该直线的斜率存在,故可采用点斜式设倾斜角为,则 sin 1010(0)ktan 13,故所求直线方程为 y13(x4),即 x3y40 或 x3y40.(2)由题设知截距不为 0,设直线方程为x
8、ay12a1,又直线过点(3,4),从而3a 412a1,解得 a4 或 a9.故所求直线方程为 4xy160 或 x3y90.悟技法求直线方程的关注点在求直线方程时,应选择适当的直线方程的形式,并注意各种形式的适用条件用斜截式及点斜式时,直线的斜率必须存在,而两点式不能表示与坐标轴垂直的直线,截距式不能表示与坐标轴垂直或经过原点的直线故在解题时,若采用截距式,应注意分类讨论,判断截距是否为零;若采用点斜式,应先考虑斜率不存在的情况.变式练(着眼于举一反三)1求适合下列条件直线方程(1)过点 A(1,3),斜率是直线 y3x 的斜率的14倍;(2)经过点 P(3,2),且在两坐标轴上的截距相等
9、解析:(1)设所求直线的斜率为 k,依题意k14334.又直线经过点 A(1,3),因此所求直线方程为 y334(x1),即 3x4y150.(2)由题意,所求直线的斜率 k 存在且 k0,设直线方程为 y2k(x3),令 y0,得 x32k,令 x0,得 y23k,由已知 32k23k,解得 k1 或 k23,直线 l 的方程为 y2(x3)或 y223(x3),即 xy50 或 2x3y0.考点三 直线方程的综合应用互动讲练型例 2 直线 l 过点 P(1,4),分别交 x 轴的正半轴和 y 轴的正半轴于 A,B 两点,O 为坐标原点,当|OA|OB|最小时,求 l 的方程解析:解法一 依
10、题意,l 的斜率存在,且斜率为负,设直线 l 的斜率为 k,则直线 l 的方程为 y4k(x1)(k0)令 y0,可得 A14k,0;令 x0,可得 B(0,4k)|OA|OB|14k(4k)5k4k 5k 4k 549.当且仅当k 4k且 k0,即 k2 时,|OA|OB|取最小值这时 l 的方程为 2xy60.解法二 依题意,l 的截距都存在,且不为 0,设 l 的方程为xayb1,过 P(1,4),1a4b1,|OA|OB|ab(ab)1a4b 5ba4ab 52 49当且仅当 a3,b6 时,取最小值这时 l 的方程为 2xy60.悟技法直线方程的综合应用(1)含有参数的直线方程可看作直线系方程,这时要能够整理成过两条定直线交点的直线系,即能够看出“动中有定”(2)求解与直线方程有关的最值问题,先设出直线方程,建立目标函数,再利用基本不等式求解最值.变式练(着眼于举一反三)2在本例条件下,若|PA|PB|最小,求 l 的方程解析:|PA|PB|4k216 1k24k(1k2)41k k 8.(k0)当且仅当 1kk 且 k0,即 k1 时,|PA|PB|取最小值这时 l 的方程为 xy50.